Рукавишников В.А., Ткаченко О.П. «Об уравнении Кортевега-де Вриза в цилиндрическом трубопроводе» Журнал вычислительной математики и математической физики, 48, № 1, с. 146-153 (2008)

Построена математическая модель распространения нелинейных волн в трубопроводе. За счет определения асимптотик решения и замены переменных выведено уравнение Кортевега-де Вриза. Функция скорости жидкости в найденном частном решении уравнений математической модели имеет вид уединенной волны. Таким образом, установлено расширение класса задач нелинейной гидродинамики, описываемых уравнением КдВ.

Асташёнок А.В., Зайцев А.А. «Влияние кубической нелинейности на дисперсионное соотношение для длинных волн на поверхности воды» Журнал вычислительной математики и математической физики, 48, № 4, с. 725-728 (2008)

Исследуется влияние кубической нелинейности на дисперсионное соотношение для длинных волн на поверхности воды. Показано, что в длинноволновом пределе кубические слагаемые не влияют на это соотношение. Сделано сопоставление с дисперсионным соотношением для стационарных решений уравнения Кортевега-де Вриза.

Попов С.П. «Солитонные решения обобщенных дискретных уравнений Кортевега-де Вриза» Журнал вычислительной математики и математической физики, 48, № 9, с. 1698-1709 (2008)

Рассмотрены новые дискретные уравнения простейшего трехточечного вида, являющиеся обобщением дискретного уравнения Кортевега-де Вриза. Численно исследованы свойства солитонов, кинков и осцилляторных волн для трех типов взаимодействий между соседними элементами цепочек. Проведены аналогии с решениями предельных континуальных уравнений.

Колесов А.Ю., Розов Н.Х. «Динамические эффекты, связанные с дискретизацией по пространству нелинейных волновых уравнений» Журнал вычислительной математики и математической физики, 49, № 10, с. 1812-1826 (2009)

Выявляется новый феномен, заключающийся в следующем: оказывается, аттракторы нелинейного волнового уравнения могут существенно отличаться от аттракторов его конечномерного аналога, получающегося в результате замены производных по пространственным переменным соответствующими разностными операторами (вне зависимости от шага дискретизации). Изложение ведется на уровне рассмотрения типового примера – краевой задачи для телеграфного уравнения ван-дер-полевского типа с нулевыми условиями Неймана на концах единичного отрезка. Устанавливается, что при некоторой общности положения упомянутая задача допускает только устойчивые периодические по времени движения, причем таковых может быть достаточного много. При переходе же от нее к соответствующей аппроксимирующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений ситуация принципиально меняется: все периодические движения (за исключением одного или двух) становятся неустойчивыми, а вместо них появляются устойчивые двумерные инвариантные торы.

Казейкина А.В. «Устойчивость решения задачи Коши вида бегущей волны для уравнения Кортевега-де Вриза–Бюргерса» Журнал вычислительной математики и математической физики, 50, № 4, с. 725-745 (2010)

Исследуется асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения Кортевега-де Вриза–Бюргерса u_t + (f(u))_x + au_xxx – bu_xx = 0 при t → ∞ . Достаточные условия существования и локальной устойчивости бегущей волны, известные для случая f(u) = u², обобщаются на случай произвольной достаточно гладкой, выпуклой функции f(u).

Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. «Автомодельные асимптотики, описывающие нелинейные волны в упругих средах с дисперсией и диссипацией» Журнал вычислительной математики и математической физики, 50, № 12, с. 2261-2274 (2010)

Аналитически и численно изучаются решения задач для системы уравнений, описывающей слабонелинейные квазипоперечные волны в упругой слабоанизотропной среде. Предполагается, что в мелкомасштабных процессах существенны эффекты диссипации и дисперсии. При этом эффекты дисперсии учитываются членами, содержащими третьи производные по координате от сдвиговых деформаций, в отличие от ранее рассмотренного случая, когда дисперсия определялась членами со вторыми производными. В крупномасштабных процессах эффектами дисперсии и диссипации можно пренебречь и система уравнений является гиперболической. Указанные мелкомасштабные процессы определяют структуру разрывов и множество допустимых (имеющих стационарную структуру) разрывов. Это множество таково, что построение решения автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва с использованием решений гиперболических уравнений и допустимых разрывов приводит к неединственности решений. Численно найдены асимптотики неавтомодельных задач для уравнений, учитывающих эффекты диссипации и дисперсии. Полученные асимптотики неавтомодельных задач соответствуют автомодельным решениям задачи о распаде произвольного разрыва. Показано, что задание начальных условий в виде сглаженной ступеньки в случае неединственности решений автомодельной задачи приводит к реализации того или иного автомодельного решения как асимптотики неавтомодельной задачи.

Лонг Вей «Метод непрямого преобразования переменной и решения с эллиптическими функциями Якоби для уравнения Кортевега-де Вриза» Журнал вычислительной математики и математической физики, 52, № 5, с. 876-877 (2012)

Основываясь на замене переменной и методе разделения переменных для обыкновенного дифференциального уравнения, автор предлагает подход непрямого преобразования для поиска точных решений дифференциальных уравнений с частными производными специального типа. Новый метод позволяет систематически и более эффективно решать нелинейные уравнения. Ключевым моментом метода является приведение дифференциальных уравнений с частными производными к обыкновенным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами и решение этих уравнений одним из известных методов. В качестве примера применения метода находятся точные решения уравнения Кортевега-де Вриза.

Saha Ray S. «Численные решения и решения в виде уединенных волн для дробного уравнения Кортевега-де Вриза с использованием модифицированного дробного редуцированного метода дифференциального преобразования» Журнал вычислительной математики и математической физики, 53, № 12, с. 2062-2063 (2013)

Предлагается и реализуется модифицированный дробный редуцированный метод дифференциального преобразования для решения дробного уравнения Кортевега-де Вриза. Дробная производная понимается в смысле Копуто. Редуцированный метод дифференциальных преобразований модифицируется к виду, удобному для решения ряда нелинейных дробных дифференциальных уравнений. В предлагаемом методе нелинейный член заменяется полиномами Адомиана. Таким образом, нелинейная начальная задача легко решается с небольшим вычислительным ресурсом. Для иллюстрации эффективности метода предложенным методом решено несколько конкретных уравнений, результаты вычислений приведены в виде компьютерных графиков.

Султанов О.А. «Устойчивость моделей авторезонанса относительно случайных возмущений для систем уравнений нелинейных колебаний» Журнал вычислительной математики и математической физики, 54, № 1, с. 65-79 (2014)

Рассматриваются системы дифференциальных уравнений, которые возникают в теории нелинейных колебаний в задачах, связанных с резонансами. Интерес представляют решения, амплитуда которых неограниченно растет на бесконечности по времени. В частности, такие решения соответствуют явлению авторезонанса. Проводится анализ устойчивости авторезонансных решений относительно случайных возмущений. Описываются классы допустимых возмущений. Полученные результаты опираются на информацию о функциях Ляпунова для невозмущенных уравнений.