Кирейтов В.Р. «Исправления к статье “Многоскоростной потенциал Пайерлса в задаче уточнения классического фундаментального акустического потенциала вблизи источника звука в однородном максвелловском газе”, Сиб. мат. журн. 1999. Т. 40, № 4. C. 834-860» Сибирский математический журнал, 41, № 1, с. 234 (2000)

Кирейтов В.Р. «Дисперсионные соотношения для многомерных акустических уравнений Пайерлса и некоторые свойства скалярного акустического потенциала Пайерлса. I» Сибирский математический журнал, 42, № 4, с. 771-780 (2001)

Рассматриваются математические вопросы обоснования и развития диффузионно-волновой модели распространения звука в однородном максвелловском газе. Получены следующие основные результаты. В терминах некоторых специальных функций вычислены символы сверточных ядер многомерных акустических уравнений Пайерлса и выписаны дисперсионные соотношения для них. Установлено отсутствие трехмерных вещественных листов решений у скалярного дисперсионного соотношения. Вычислена асимптотика на бесконечности скалярного монохроматического потенциала Пайерлса, и установлена единственность решения обратной задачи потенциала для него в классе всех финитных распределений. Материал статьи разбит на две части и состоит из трех параграфов. В части I, содержащей § 1, представлены формулировки основных результатов статьи.

Кирейтов В.Р. «Дисперсионные соотношения для многомерных акустических уравнений Пайерлса и некоторые свойства скалярного акустического потенциала Пайерлса. II» Сибирский математический журнал, 42, № 5, с. 1067-1083 (2001)

В этой части статьи представлены доказательства основных результатов (§ 3), сформулированных в первой части одноименной статьи, и необходимых вспомогательных результатов (§ 2). Среди последних главными являются следующие. Формулы (2.12) для матричных элементов матричного дифференциального оператора, действием которого на определенную заданную функцию определяется символ многомерного акустического интегродифференциального оператора Пайерлса. Описание комплексных вещественно-положительных корней вспомогательного трансцендентного уравнения в комплексной плоскости, определяющего корни дисперсионного соотношения для скалярного уравнения Пайерлса (утверждение 1). Асимптотическое разложение с экспоненциальным убыванием по асимптотическому параметру одного интеграла Лапласа специального вида, определяющего асимптотику на бесконечности скалярного акустического потенциала Пайерлса (утверждение 2). В § 3 на основе этих результатов проводятся доказательства основных результатов статьи.

Глушкова Д.И., Романов В.Г. «Оценка устойчивости решения в задаче об определении двух коэффициентов гиперболического уравнения» Сибирский математический журнал, 44, № 2, с. 311-321 (2003)

Рассмотрена задача об определении двух коэффициентов σ(x), q(x) в гиперболическом уравнении. Коэффициент σ(x) стоит перед первой производной по t, а коэффициент q(x – перед младшим членом. Предполагается, что эти коэффициенты малы в некоторой норме и носитель их содержится внутри круга D. Источник, инициирующий колебания, имеет вид импульсной функции δ(t)δ(x·ν) локализованной на прямой t=0, x·ν=0. Здесь ν – единичный вектор, играющий роль параметра задачи. Акустическое поле, вызванное этим источником, приложенным вне D, измеряется в точках границы области D вместе с производной по нормали на некотором временном интервале фиксированной длины T, отсчитываемом с момента прихода сигнала от источника для двух различных значений параметра ν. Доказано, что при достаточно большом T задаваемая информация однозначно определяет искомые коэффициенты. Получена оценка условной устойчивости решения рассматриваемой задачи.

Овсянников Л.В. «Двойные звуковые волны» Сибирский математический журнал, 36, № 3, с. 611-618 (1995)

Статья посвящена задаче об отыскании специальных классов решений nn-мерного волнового уравнения, которое для n=3 описывает распространение звука (а также света, электромагнитных или упругих волн и т.п.) в однородной среде. Обсуждаются решения типа кратных волн, когда вектор скорости и давление зависят от σ<n аргументов. Кратные волны рассматриваются с позиции группового анализа дифференциальных уравнений как частично инвариантные решения. Используется эффективный метод классификации кратных волн, основанный на понятии редукции решения к меньшему дефекту. Для волн кратности два (двойных волн) доказана теорема, устанавливающая для любого n>1 разбиение совокупности всех нередуцируемых двойных волн на три неэквивалентных класса решений: гиперболические, эллиптические и параболические. Последний класс содержит, в частности, известные для n=2 функционально-инвариантные решения Смирнова и Соболева.

Глазатов С.Н. «Задача с данными на характеристике для линеаризованного уравнения трансзвуковой газовой динамики» Сибирский математический журнал, 37, № 5, с. 1019-1029 (1996)

Доказана однозначная разрешимость в весовом пространстве С.Л. Соболева задачи с данными на характеристике для нестационарного линеаризованного уравнения трансзвуковой газовой динамики.

Глазатов С.Н. «Периодическая краевая задача для уравнения трансзвуковой газовой динамики» Сибирский математический журнал, 40, № 1, с. 57-68 (1999)

Предложена постановка периодической краевой задачи для нелинейного уравнения переменного типа, моделирующего околозвуковое течение газа. При некоторых условиях на исходные данные задачи доказаны ее разрешимость в классе гладких функций и условная теорема единственности.

Кирейтов В.Р. «Многоскоростной потенциал Пайерлса в задаче уточнения классического фундаментального акустического потенциала вблизи источника звука в однородном максвелловском газе» Сибирский математический журнал, 40, № 4, с. 834-860 (1999)

Рассматриваются известная схема исследования процесса распространения звука в газах в рамках линейной молекулярно-кинетической модели, описываемой линеаризованным уравнением Больцмана, и способ исследования решения задачи Коши для этого линеаризованного уравнения, состоящий в предварительном разрешении “приближенных” к нему уравнений, соответствующих грубой части спектра оператора столкновений. Для приближений, соответствующих первым собственным функциям оператора столкновений, решение связанных с ними уравнений редуцируется к решению уравнений типа уравнения Пайерлса линейной теории переноса частиц. Выводятся основные интегродифференциальные уравнения (эквивалентные уравнениям упомянутого типа), в случае газа максвелловских молекул устанавливаются и обсуждаются некоторые свойства этих уравнений и их фундаментальных решений в применении к задаче описания акустического поля вблизи источника звука.

Сабитов К.Б. «К теории задачи Франкля для уравнений смешанного типа» Известия РАН. Серия математическая, 81, № 1, с. 101-138 (2017)

В 1956 году Ф.И. Франкль, изучая обтекание профилей потоком дозвуковой скорости со сверхзвукой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения, пришел к новой математической задаче для уравнения Чаплыгина с нелокальным граничным условием. В настоящей работе дается обзор статей, посвященных этой задаче, начиная с классических работ и работ последних лет. Приводятся теоремы единственности и существования решения задачи Франкля, изучается спектральная задача для оператора Лаврентьева–Бицадзе, показываются применения этих результатов при построении решения с помощью рядов и указываются нерешенные проблемы.

Франкль Ф.И. «О задачах С.А. Чаплыгина для смешанных до- и сверхзвуковых течений» Известия РАН. Серия математическая, 9, № 2, с. 121-143 (1945)

Исследуются: задача истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками и задача о набегании сверхзвукового потока на клин, когда между головной волной и клином образуется зона дозвуковых скоростей.

Крейн М.Г., Любарский Г.Я. «Об аналитических свойствах мультипликаторов периодических канонических дифференциальных систем положительного типа» Известия РАН. Серия математическая, 26, № 4, с. 549-572 (1962)

Рассматривается каноническая система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и линейно входящим параметром. Исследуются аналитические свойства мультипликаторов системы как функций параметра для случая, когда каноническая система положительного типа. Исследование ведется методами теории возмущений самосопряженных операторов, подсказанными предыдущей работой авторов по теории акустических волноводов

Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. «Квазиклассический спектр оператора Шрёдингера на геометрическом графе» Математические заметки, 82, № 4, с. 606-620 (2007)

Рассматривается задача построения асимптотических решений спектральной задачи для уравнения Шрёдингера на геометрическом графе. Дифференциальные уравнения на множествах такого типа возникают при анализе процессов в системах, допускающих представление в виде набора одномерных континуумов, взаимодействующих только через концы, например, при описании колебаний решетки из струн или стержней, стационарных состояний электронов в молекуле, акустических систем. Интерес к уравнениям Шрёдингера на сетях возрос, в частности, в связи с тем, что объекты нанотехнологий могут описываться тонкими многообразиями, которые в пределе могут стягиваться к графам. Основным результатом данной работы является алгоритм построения правил квантования (обобщающих известные правила квантования Бора–Зоммерфельда), который проиллюстрирован рядом примеров. Также рассматривается задача описания ядер оператора Лапласа, действующего на k-формах, определенных на сети. Кроме того, найдены асимптотические собственные значения, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа.

Вабищевич П.Н. «Операторно-разностные схемы для одного класса систем эволюционных уравнений» Математические заметки, 93, № 1, с. 29-44 (2013)

Рассматриваются разностные аппроксимации по времени при приближенном решении задачи Коши для специальной системы эволюционных уравнений первого порядка. К таким задачам мы приходим после аппроксимации по пространству в уравнении Шрёдингера при разделении мнимой и действительной частей, для нестационарных задач акустики и электродинамики. Построены безусловно устойчивые двухслойные операторно-разностные схемы с весами. Второй класс разностных схем базируется на формальном переходе к явным операторно-разностным схемам для эволюционного уравнения второго порядка при явно-неявных аппроксимациях отдельных уравнений системы. Обсуждаются вопросы регуляризации таких схем для получения безусловно устойчивых операторно-разностных схем. Построены схемы расщепления, которые связаны с решением простейших задач на каждом шаге по времени.

Кокурин М.Ю. «О множествах единственности для гармонических и аналитических функций и обратных задачах для волновых уравнений» Математические заметки, 97, № 3, с. 397-406 (2015)

Приводятся примеры одномерных аналитических множеств единственности на сфере в R³ для гармонических функций и примеры аналитических множеств на сфере в Rⁿ, которые не могут содержать множества единственности. Строятся аналитические кривые, являющиеся множествами единственности для вещественно аналитических функций в Rⁿ, n≥3. Результаты используются для обоснования схем зондирования неоднородностей при решении обратной задачи акустического рассеяния в условиях совпадения координат источников и детекторов.

Павлов М.В. «Сохранение “формы” гамильтоновых структур при линейных заменах независимых переменных» Математические заметки, 57, № 5, с. 704-711 (1995)

Для различных физических гамильтоновых систем, описывающих многомерные нелинейные процессы, построены обращенные гамильтоновы структуры, причем они точечной заменой зависимых функций приведены к исходной форме. Эти результаты получены для систем гидродинамического типа с невырожденной скобкой Пуассона, для идеальной гидродинамики, для идеальной магнитной гидродинамики, для “ионного звука”, возникающего в физике плазмы.

Франкль Ф., Алексеева Р. «Две краевых задачи из теории гиперболических уравнений в частных производных с приложением к сверхзвуковым газовым течениям» Математический сборник, 41, № 3, с. 483-502 (1934)

Савельев А.Д. «О разностных схемах 18-го и 22-го порядков для уравнений с конвективными и диффузными членами» Математическое моделирование, 29, № 6, с. 35-47 (2017)

Предлагаются компактные разности, обладающие 18-м и 22-м порядками аппроксимации по пространственной переменной и предназначенные для описания конвективных и диффузных членов дифференциальных уравнений в частных производных. Основные предполагаемые области применения данных схем – моделирование турбулентности, вихреобразование, аэроакустика. Анализируются свойства предложенных разностей. Приводятся результаты расчетов неустойчивости плоского вихря и формирования дозвуковой турбулентной осесимметричной струи, истекающей в затопленное пространство.

Ковыркина О.А., Остапенко В.В. «О монотонности схемы КАБАРЕ, аппроксимирующей гиперболическое уравнение со знакопеременным характеристическим полем» Журнал вычислительной математики и математической физики, 56, № 5, с. 796-815 (2016)

Проведен анализ монотонности схемы КАБАРЕ, аппроксимирующей гиперболическое дифференциальное уравнение со знакопеременным характеристическим полем. Получены условия монотонности этой схемы как в областях, в которых скорость распространения характеристик имеет постоянный знак, так и в окрестностях звуковых линий, на которых скорость распространения характеристик аппроксимируемого уравнения меняет знак. Приведены тестовые расчеты, иллюстрирующие данные свойства разностной схемы КАБАРЕ.

Петров Д.И., Петров И.Б., Фаворская А.В., Хохлов Н.И. «Численное решение задач сейсморазведки в условиях Арктики сеточно-характеристическим методом» Журнал вычислительной математики и математической физики, 56, № 6, с. 1149-1163 (2016)

Целью данной работы является численное решение прямых задач сейсмической разведки углеводородов в условиях Арктического шельфа. При этом решается полная система уравнений, описывающая состояние линейно-упругой среды, совместно с системой уравнений, описывающей акустическое поле. Для решения обеих систем применяется сеточно-характеристический метод, позволяющий детально и физически корректно учитывать все проистекающие волновые процессы и находить решение вблизи границ и контактных границ области интегрирования, в том числе на поверхности раздела акустической и линейно-упругой сред. В работе проведено сравнение сейсмограмм и волновых картин, полученных в результате численного моделирования геологических пород системой, описывающей линейно-упругие среды, и системой, описывающей акустические среды. Также рассматривается задача о влиянии наличия ледяных образований на возникающие волновые картины.

Ковалевская С.Д. «О распространении ударной волны через токовый слой без отражения» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 4, с. 3-8 (2017)

Получен класс точных решений уравнений магнитной гидродинамики с плоскими волнами, описывающих твердотельное движение идеально проводящего газа в заданном однородном гравитационном поле. Движение газа вызвано воздействием поршня, создающего ударную волну, распространяющуюся по начальному состоянию равновесия с падающей плотностью. В рамках полученных результатов рассматривается случай прохождения ударной волны через токовый слой.

Куликовский А.Г. «О развитии возмущений на стационарном слабонеоднородном фоне. комплексные уравнения Гамильтона» Прикладная математика и механика, 81, № 1, с. 3-17 (2017)

Изучаются процессы развития линейных одномерных возмущений на слабонеоднородном стационарном фоне, т.е. на фоне, зависящем от координаты x через отношение x/L, где L – большой масштаб. Время развития возмущений T считается достаточно большим, так что возмущения успевают распространиться на расстояние, сравнимое с L, и неоднородность фона успевает повлиять на поведение возмущений. Подробно рассматриваются возмущения, порожденные локализованным в малой области внешним воздействием, ограниченным во времени. Предполагается, что во всей рассматриваемой области или ее части выполняются условия локальной неустойчивости, т.е. считается, что если «заморозить» параметры фона, считая фон однородным, то для состояний, соответствующих некоторой области значений x/L будут существовать растущие возмущения. На основании преобразования Фурье и применения метода перевала формулируется процедура нахождения асимптотики возмущений при больших значениях L и T. Возмущения могут описываться комплексными уравнениями Гамильтона, в которых функция Гамильтона – частота, выраженная из дисперсионного уравнения как функция волнового числа и координаты. В случае локальной неустойчивости эти величины комплексны. Рассматривается связь полученной асимптотики с собственными функциями задачи. Представлен пример построения асимптотики показателя усиления; она совпала, в рамках принятой точности, с показателем усиления, найденным из построенного точного решения задачи. Указано на существование собственных функций и оценены соответствующие собственные частоты.

Переляев С.Е., Челноков Ю.Н. «Алгоритмы ориентации движущегося объекта с разделением интегрирования быстрых и медленных движений» Прикладная математика и механика, 81, № 1, с. 18-32 (2017)

Рассматриваются уравнения и алгоритмы определения ориентации движущегося объекта в инерциальной и нормальной географической системах координат с разделением интегрирования быстрых и медленных движений на сверхбыстрый, быстрый и медленный циклы. Алгоритмы сверхбыстрого цикла построены с использованием кватернионного кинематического уравнения типа Риккати и метода последовательного приближения Пикара, в качестве входной информации используются приращения интегралов от проекций вектора абсолютной угловой скорости объекта на связанные с ним координатные оси (квазикоординаты). Алгоритм быстрого цикла реализует вычисление классического кватерниона поворота объекта на шаге быстрого цикла в инерциальной системе координат. Алгоритм медленного цикла используется для вычисления кватерниона ориентации объекта в нормальной географической системе координат и самолетных углов. Приводятся и обсуждаются результаты моделирования различных версий алгоритмов быстрого и сверхбыстрого циклов для вычисления параметров инерциальной ориентации объекта. Также излагается опыт авторов в разработке алгоритмов определения ориентации движущихся объектов с помощью бесплатформенной инерциальной навигационной системы, развиваются и обобщаются результаты, полученные ими ранее в этой области.

Еремин Ю.А., Свешников А.Г. «Обобщение оптической теоремы для произвольного мультиполя в присутствии прозрачного полупространства» Акустический журнал, 63, № 4, с. 349-355 (2017)

Оптическая теорема обобщается на случай возбуждения локальной неоднородности, внедренной в прозрачную подложку, мультиполем произвольного порядка. Показано, что для вычисления обобщенного сечения экстинкции достаточно вычислять производные от рассеянного поля в одной единственной точке, добавляя константу и определенный интеграл. Кроме общенаучного интереса, это обобщение дает возможность вычислять сечение поглощения посредством вычитания сечения рассеяния из сечения экстинкции. Последнее обстоятельство представляется важным, так как рассеянное поле в дальней зоне не содержит интегралов Зоммерфельда. Кроме того, сделанное обобщение позволяет тестировать компьютерные модули для случая рассмотрения неоднородности без потерь. DOI: 10.7868/S0320791917040049

Лямшев Л.М. «К вопросу взаимности» Доклады академии наук, 125, № 6, с. 1231-1234 (1959)

Рэлей (Стретт Дж.В.) Теория звука. Т. 1 (1940). 503 с.

Морз Ф. Колебания и звук (1949)

Книга «Колебания и звук» написана физиком-теоретиком Ф. Морзом, известным своими работами в области квантовой механики. Многие вопросы теории колебаний и звука автору удалось изложить совершенно по-новому, используя методы современной математической техники, что придаёт книге значительный интерес. В книге, кроме общего материала, входящего обычно в учебники, изложены результаты оригинальных работ автора по архитектурной акустике, частично опубликованных на русском языке, по распространению в каналах звука с поглощающими стенками, по излучению и рассеянию звука и др.

Рэлей (Стретт Дж.В.) Теория звука. Т. 1. 2-е изд. (1955)

Рэлей (Стретт Дж.В.) Теория звука. Т. 2. 2-е изд. (1955)

Ржевкин С.Н. Теория звука (1960)

Красильников В.А., Мигулин В.В., Хохлов Р.В. «Развитие физики колебаний и волн в Московском университете за 50 лет» Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия, № 5, с. 12-22 (1967)

Эдельштейн С.Л. «Асимптотическое расщепление краевых задач для уравнения Гельмгольца в полосе с “проницаемыми” границами» Известия РАН. Серия математическая, 61, № 4, с. 203-224 (1997)

Рассматривается краевая задача для уравнения Гельмгольца, которая является математической моделью гидроакустического волновода с проницаемой границей. Граничное условие содержит трансляционно-инвариантный оператор, символ которого имеет смысл импеданса границы. Предполагается, что коэффициент уравнения Гельмгольца медленно изменяется вдоль полосы. Доказаны теоремы об однозначной разрешимости задачи, получены асимптотические (по параметру медленности) формулы для ее решения, объяснено прикладное значение полученных результатов.

Тлеулесова А.Б. «О разрешимости линейной краевой задачи с импульсным воздействием» Вестник Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова. Физико-математическая серия, № 4, с. 65-74 (2010)

In this article we output the estimation recurrent formulas of the [Q_n(l)]^–1 matrix constituents which is one of the main conditions of the single-valued solvability of the concerned mathematical problem.

Альжанов А.Б., Досумбеков К.Р. «Система компьютерной математики (СКМ) «Mathematica» при изучении волновых процессов» Вестник Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова. Физико-математическая серия, № 1-2, с. 22-27 (2012)

Studying of wave processes in anisotropic environments is connected now with application of matrix technics. In the course of theoretical calculations there is a necessity of multiplication of matrixes of a various order, a finding of their determinants, the decision of the characteristic equations. For studying elastic, thermoelastic, electromagnetic, piezoelastic waves the matrix method based on construction of structure matrizer of system of the differential equations of the first order is used. In the given work application of a mathematical package «Mathematica 4.0» for carrying out of various calculations within the limits of a method matrizer is considered.

Тлеукенов С.К., Зейтова Ш.С. «Построение структуры фундаментальных решений уравнений движения и уравнений Максвелла в случае анизотропных сред тетрагональной сингонии класса 422» Вестник Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова. Физико-математическая серия, № 1-2, с. 90-96 (2012)

In the given article an approximation method the frame of a matriciant of a complete set of Maxwell equations and equations of motions is constructed in case of an anisotropic medium tetragonal singony of the class 422 at a wave propagation lengthwise axis Z and plane XZ.

Тлеукенов С.К., Белялова А.Б. «Об уравнениях дисперсии электроупругих волн в анизотропной среде тетрагональной сингонии 422» Вестник Павлодарского государственного университета им. С. Торайгырова. Физико-математическая серия, № 1-2, с. 96-102 (2012)

In the given article the equations of a dispersion of elastic waves in unlimited periodic frame tetragonal singony of the class 422 are constructed, which one are basic performance determining regularity of a wave propagation.

Степаненко Д.А. «Применение компьютерных методов для проектирования элементов ультразвуковых колебательных систем» Наука и техника, № 2, с. 52-56 (2009)

Рассмотрена возможность применения CAE-систем для проектирования ультразвуковых колебательных систем. В качестве тестовой задачи рассмотрено моделирование ультразвукового ступенчатого концентратора с тороидальным переходом. Тестовая задача решена с помощью численного метода и CAE-систем ANSYS и CARD. Результаты расчетов, полученные с помощью различных методов, находятся в хорошем согласии.