Босняков И.С., Волков А.В., Гаджиев Д.А., Трошин А.И. «Моделирование больших вихрей (LES/DES) с помощью разрывного метода Галёркина высокого порядка» Вычислительный эксперимент в аэроакустике: Седьмая всероссийская конференция, г. Светлогорск Калининградской обл., 17–22 сентября 2018 г.: Сборник тезисов, с. 56 (2018)

В основе разрывного метода Галёркина (РМГ) лежит алгоритм, позволяющий хранить внутри ячейки разложение функции по выбранному базису. Можно построить пример, когда выбор конкретного базиса позволяет получить точное решение аэродинамической или акустической задачи. Однако в большинстве случаев приходится иметь дело с приближенными решениями, при этом выбор конкретного базиса накладывает ограничения на точность такого приближения. Как показывает практика, наибольшую эффективность РМГ показывает при решении задач для течений без особенностей в условиях свободной турбулентности вдали от твёрдых стенок. Таким образом, можно ожидать наибольшей эффективности РМГ в задачах, решаемых методами LF.S/DES. К таким задачам можно отнести эволюцию дальнего вихревого следа за самолётом. Применение LES/DES означает решение уравнений для осредненных по пространству величин. В свою очередь представление решения в виде полиномов высокого порядка в РМГ делает процедуру фильтрации неочевидной. Обычное понимание параметров как осредненных по всей ячейке несправедливо. В работе на модельной задаче показано, что метод высокого порядка точности позволяет разрешать масштабы вихрей меньших, чем размер ячейки сетки. Поэтому для методов высокого порядка точности предложена специальная методика калибровки констант подсеточных моделей турбулентности.

Провоторов В.В., Провоторова Е.Н. «Управление линеаризованной системой Навье–Стокса в сетеподобной области» Прикладная математика и вопросы управления, № 2, с. 65-84 (2017)

Для линеаризованной системы Навье–Стокса рассмотрена математическая модель (начально-краевая задача), описывающая нестационарное течение вязкой многофазной среды в сетеподобной гидросети (сетеподобной области). Методом Фаэдо–Галеркина С помощью специального базиса (множества обобщенных собственных функций специальной спектральной задачи) и априорных оценок нормы решения типа энергетических неравенств показана однозначная разрешимость рассматриваемой начально-краевой задачи в слабой постановке. Приведен анализ распространенных в приложениях задач распределенного и стартового управлений с финальным наблюдением, получены необходимые и достаточные условия существования оптимальных управлений в терминах сопряженных состояний соответствующих систем. Решена задача синтеза оптимального управления для случая отсутствия ограничений на управляющие воздействия, и получены аналоги известных для конечномерного случая результатов Калмана.

Анисимов В.Н., Корпен И.В., Литвинов В.Л. «Применение метода Канторовича–Галеркина для решения краевых задач с условиями на движущихся границах» Механика твердого тела, № 2, с. 70-77 (2018)

Приближенный метод Канторовича–Галеркина рассматривается применительно к решению задач, описывающих колебания вязкоупругих объектов с условиями на движущихся границах и анализу резонансных свойств данных объектов. Метод позволяет учесть действие на систему сил сопротивления среды, изгибную жесткость, а так же граничные условия со слабой нестационарностью. Математическая постановка задачи включает дифференциальное уравнение в частных производных относительно искомой функции смещения и неоднородные граничные условия. Метод Канторовича–Галеркина позволяет учесть и начальные условия, однако они не влияют на резонансные свойства линейных систем, поэтому в данном случае не учитываются. При помощи введения в задачу новой функции граничные условия приводятся к однородным. Решение производится в безразмерных переменных с точностью до величин второго порядка малости относительно малых параметров, характеризующих скорость движения границы и вязкоупругость. Используя метод Канторовича–Галеркина находится высокой точности приближенное решение задачи о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого каната переменной длины, один конец которого наматывается на барабан, а второй жёстко закреплен. Приводятся результаты, полученные для амплитуды колебаний, соответствующих «-ной динамической моде. Исследуется явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс с применением численных методов. Приводится графическая зависимость максимальной амплитуды колебаний каната при прохождении через резонанс в зависимости от коэффициента, характеризующего вязкоупругость объекта на основе модели Фойгта. Производится оценка точности метода Канторовича–Галеркина.

Попов В.Г. «Две трещины, выходящие из одной точки под воздействием волны продольного сдвига» Механика твердого тела, № 2, с. 91-100 (2018)

Решена задача определения динамических коэффициентов интенсивности напряжений для двух трещин, выходящих из одной точки. На трещины действует гармоническая волна продольного сдвига. Исходная задача сведена к решению системы двух сингулярных интегро-дифференциальных уравнений с неподвижными особенностями. Для приближенного решения этой системы предложен численный метод, который учитывает реальную асимптотику неизвестных функций и использует специальные квадратурные формулы для сингулярных интегралов

Кочетков Ю.М. «Фундаментальные тензоры газовой динамики» Двигатель, № 1, с. 24-26 (2015)

Показано, что математический аппарат, построенный на базе теории тензоров, позволяет наиболее полно, компактно и взаимосвязано по отношению к ведущим параметрам описывать сложнейшие турбулентные течения реальных жидкостей и газов. На примере потенциальных потоков продемонстрирован физический смысл тензора Князева.

Кочетков Ю.М. «Уравнение энергии и условия совместности с термодинамикой» Двигатель, № 6, с. 42-44 (2015)

С учетом введения тензора Князева в аксиоматику гидродинамики и перехода к полевым переменным, уравнение движения Навье–Стокса не изменилось, но потребовалось уточнение уравнения энергии с целью совместности его с требованиями термодинамики. Сформулирована теорема Крокко для вязких сжимаемых течений, на основании которой получено уравнение энергии для сверхзвуковых течений.

Кочетков Ю.М. «Равнение энергии и условия совместности с термодинамикой» Двигатель, № 1, с. 30-32 (2016)

Из условий соответствия законам молекулярной физики получен новый фундаментальный молекулярно-кинетический тензор, однозначно определяющий производную импульса потока. Объяснен смысл динамического тензора Князева, как некоторого молекулярно-кинетического потенциала импульса.

Кочетков Ю.М. «Фундаментальный тензор собственных частот» Двигатель, № 2, с. 20-22 (2016)

Введен в практику газодинамического анализа новый фундаментальный тензор собственных частот. Записано в тензорном виде уравнение движения для автоколебательных процессов применительно к исследованию неустойчивости в ракетном двигателе.

Кочетков Ю.М. «Вывод уравнения импульсов из начал термодинамики» Двигатель, № 3, с. 20-23 (2016)

Получено новое уравнение импульсов для вязких сжимаемых сред, учитывающее различные механизмы воздействия на термодинамические системы. Анализируется новое слагаемое, полученное при выводе и определяющее кинетический режим.

Кочетков Ю.М. «Реновация второго начала и новый идеальный цикл» Двигатель, № 5, с. 28-30 (2017)

Представлена новая формулировка второго Начала термодинамики в виде большого неравенства основных теплохимических свойств. Предложен идеальный термодинамический цикл, учитывающий в отличие от цикла Карно свойства газов. Определены границы существования понятия энтропии (Rμ и Сv).

Алдашев С.А. «Нелокальные краевые задачи в цилиндрической области для многомерного волнового уравнения» Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика, 50, № 1, с. 5-13 (2018)

Адамар показал, что одна из фундаментальных задач математической физики – изучение поведения колеблющейся струны – некорректна, когда краевые условия заданы на всей границе области. Как заметили А.В. Бицадзе и А.М. Нахушев, задача Дирихле некорректна (в смысле однозначной разрешимости) не только для волнового уравнения, но и для общих гиперболических уравнений. Ранее были изучены задачи Дирихле и Пуанкаре, и связанные с ними локальные краевые задачи в цилиндрической области для многомерных гиперболических уравнений, и показано, что однозначная разрешимость этих задач существенно зависит от высоты рассматриваемых цилиндрических областей. Нелокальные краевые задачи для этих уравнений не исследованы. В данной статье, используя метод, предложенный автором ранее, показана однозначная разрешимость и получен явный вид классических решений нелокальных краевых задач для многомерного волнового уравнения в цилиндрической области, которые являются обобщением смешанной задачи и задач Дирихле и Пуанкаре. Получен критерий единственности регулярного решения этих задач.

Блатов И.А., Герасимова Ю.А., Карташевский И.В. «Применение сплайновых вейвлетов к декорреляции временных рядов» Математическое моделирование, 30, № 6, с. 60-75 (2018)

Рассматривается применение полуортогональных финитных сплайновых вейвлетов к ослаблению коррелированности дискретных случайных процессов. Получены оценки величины вейвлетных компонент. Результаты применяются к распределениям с "тяжелыми хвостами". Приводятся данные численных экспериментов.

Алероев Т.С., Ерохин С.В. «Параметрическая идентификация порядка дробной производной в модели Бегли–Торвика» Математическое моделирование, 30, № 7, с. 93-102 (2018)

Рассматривается дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее производную дробного порядка (уравнение Бегли–Торвика), в котором порядок производной находится в пределах от 1 до 2 и заранее неизвестен. Данная модель используется для описания осцилляционных процессов в вязкоупругой среде. Для исследования уравнения используется преобразование Лапласа, позволяющее в явном виде получить образ решения соответствующей задачи Коши. Построены численные решения при различных значениях параметра. На основании полученного решения предложена численная методика параметрической идентификации неизвестного порядка дробной производной по имеющимся экспериментальным данным. На области возможных значений параметра определяется функция отклонения по методу наименьших квадратов. Минимум этой функции определяет искомое значение параметра. Проведена апробация разработанной методики по экспериментальным данным для образцов полимербетона, определен параметр дробной производной в модели, проведено сравнение теоретических и экспериментальных кривых, установлена точность параметрической идентификации и адекватность методики.

Данилин А.В., Соловьев А.В. «Использование алгоритма «КАБАРЕ» для моделирования турбулентного перемешивания на примере неустойчивости Рихтмайера–Мешкова» Математическое моделирование, 30, № 8, с. 3-16 (2018)

При помощи ранее построенного авторами алгоритма КАБАРЕ для расчета движения многокомпонентных газовых смесей проведено численное моделирование физической неустойчивости, развивающейся при прохождении ударной волны через первоначально покоящуюся границу раздела газовых сред с разными физическими свойствами с последующей турбулизацией течения в плоской геометрии. Проводится моделирование двух задач: о прохождении ударной волны через прямоугольную подобласть, заполненную тяжелым газом, и о развитии неустойчивости Рихтмайера–Мешкова при прохождении ударной волны через синусоидальную границу раздела между средами. Проведено сравнение эволюции ширины зоны смешения с экспериментальными, теоретическими и численными результатами других авторов.

Криксин Ю.А., Тишкин В.Ф. «Гибридный подход к решению одномерных уравнений газовой динамики» Математическое моделирование, 30, № 8, с. 17-31 (2018)

Для решения одномерных газодинамических задач предлагается гибридный подход, в котором в областях изоэнтропического течения идеального газа вместо уравнения энергии решается уравнение для энтропии. Сравниваются результаты численных расчётов некоторых модельных задач, полученные классическим методом Годунова и алгоритмом на основе гибридного подхода.

Белов А.А., Калиткин Н.Н. «Решение уравнения Фредгольма первого рода сеточным методом с регуляризацией по А.Н. Тихонову» Математическое моделирование, 30, № 8, с. 67-88 (2018)

Рассмотрена линейная некорректная задача для интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Для регуляризации используется стабилизатор А.Н. Тихонова. Задача решается сеточным методом, в котором интегральные операторы заменяются простейшими квадратурами, а дифференциальные – простейшими конечными разностями. Экспериментально исследовано влияние параметра регуляризации и сгущения сеток на точность алгоритма. Показано, что наилучшую точность обеспечивает регуляризатор нулевого порядка. Предложенный подход применен к прикладной задаче разрешения двух близко расположенных звезд при известной инструментальной функции телескопа. Показано, что две звезды четко различимы, если расстояние между ними составляет ∼0.2 от ширины инструментальной функции, а яркости отличаются на 1–2 звездных величины.

Курц В.В., Ануфриев И.Е. «Солвер с кратными шагами, обеспечивающий контроль точности по скорости и дистанции» Математическое моделирование, 30, № 9, с. 87-99 (2018)

Компьютерное моделирование автомобильного трафика на реальной улично-дорожной сети может быть использовано для решения целого спектра актуальных прикладных задач. Микроскопический подход и количество транспортных средств порядка десятков тысяч приводит к системам обыкновенных дифференциальных уравнений большой размерности. Динамика транспортных средств может сильно различаться, поэтому соответствующие системы дифференциальных уравнений имеют особенность – скорость изменения значений компонент вектора неизвестных, которыми в данном случае являются скорости автомобилей и дистанции между ними, лежит в широком диапазоне. В статье предложена схема численного интегрирования с кратными шагами, в которой в рамках каждого макрошага для каждой компоненты вектора неизвестных используется индивидуальный микрошаг. Значения шагов определяются с использованием полученной оценки локальной ошибки данной численной схемы. Соответствующее правило выбора шага получено как для скоростей автомобилей, так и для дистанций между ними. Причем для дистанций оценка локальной ошибки солвера с кратными шагами получена на один порядок точности выше, чем для скоростей, поскольку водители в первую очередь оценивают дистанцию, а не скорость. Разработанный численный метод показывает существенное ускорение вычислений по сравнению с соответствующим односкоростным методом.

Матвиенко О.В., Андропова А.О., Андриасян А.В., Мамадраимова Н.А. «Математическое моделирование движения сферической частицы по наклонной поверхности в сдвиговом потоке» Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 2, с. 75–88 (2018)

Проведено исследование движения сферической частицы по наклонной поверхности, обдуваемой сдвиговым потоком. Проанализированы различные режимы движения частицы в потоке: качение, скольжение, пробуксовка. Исследование движения по наклонной поверхности, обдуваемой воздушным потоком, показывает, что скорость центра масс частиц увеличивается с увеличением ее диаметра, при этом скорость частиц быстро достигает стационарного значения. Изменение угловой скорости ю характеризуется на начальном этапе резким ее возрастанием, после чего качение частицы происходит с постоянной угловой скоростью. Для малых размеров частицы ее движение на начальном участке характеризуется качением без скольжения, однако затем переходит в режим проскальзывания. DOI: 10.17223/19988621/52/8

Бабич В.М. «Принцип локальности и высокочастотная асимптотика интерференционной головной волны» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 7-13 (2017)

Показана согласованность эвристической формулы В.С. Булдырева Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, описывающей интерференционную головную волну, с принципом локальности.

Белишев М.И. «Локальная граничная управляемость в классах дифференцируемых функций для волнового уравнения» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 52-64 (2017)

Известный факт, следующий из теоремы единственности Хольмгрена–Йона–Татару, состоит в локальной приближенной граничной L₂ управляемости динамических систем, описываемых волновым уравнением. Обобщая этот результат, мы устанавливаем управляемость в некоторых классах дифференцируемых функций в областях, заполняемых волнами.

Городницкий Е.А., Перель М.В. «Обоснование основанной на вейвлетах интегральной формулы для решения волнового уравнения» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 107-123 (2017)

Исследуется полученное ранее интегральное представление решений волнового уравнения. Подынтегральное выражение содержит взвешенные локализованные решения волнового уравнения, зависящие от параметров, по которым производится интегрирование. Зависящее от параметров семейство локализованных решений строится из одного решения с помощью преобразований сдвига, масштабирования и Лоренца. Приведены достаточные условия, при которых полученный несобственный интеграл в пространстве параметров сходится поточечно. Доказана также сходимость в L₂ норме.

Karazeeva N.A. «The weak solutions of Hopf type to 2D Maxwell flows with infinite number of relaxation times» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 140-147 (2017)

Ключевые слова: неньютоновские жидкости, интегро-дифференциальные уравнения.

Кирпичникова А.С., Кирпичникова Н.Я. «Метод параболического уравнения Леонтовича–Фока на удлиненном теле вращения в задаче Неймана» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 148-173 (2017)

Статья продолжает серию работ, посвященных осесимметрической задаче коротковолновой дифракции плоской волны на вытянутых телах вращения в задаче Неймана. Кратко излагается подход, основанный на двухмасштабном асимптотическом разложении решения методом параболического уравнения Леонтовича–Фока. Найдены два поправочных асимптотических члена разложения к главному интегральному представлению Фока в погранслое. Это решение непрерывным образом переходит в лучевое в освещённой области и дает экспоненциальное затухание решение в тени. Если точка наблюдения попадает в затенённую часть вблизи рассеивателя, то волновое поле может быть получено с помощью теории вычетов из интегралов для отраженного поля, так как падающее поле в тень не попадает.

Лялинов М.А., Полянская С.В. «Волновое поле вблизи узкого выпуклого импедансого конуса полностью освещенного плоской падающей волной» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 195-211 (2017)

Акустическая падающая волна целиком освещает узкий выпуклый конус с импедансным краевым условием на его поверхности. Вычисляется асимптотически волновое поле на больших расстояниях от вершины в некоторой узкой окрестности поверхности конуса

Федотов А.А. «О минимальных целых решениях одномерного разностного уравнения Шредингера с потенциалом v(z)=e^–2πiz» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 461, с. 279-297 (2017)

Ключевые слова: разностные уравнения на комплексной плоскости, минимальные целые решения, уравнение монодромии.

Раинчик С.Е. «Преимущества подхода, основанного на конформном преобразовании, для математического моделирования волн» Естественные и технические науки, № 5, с. 278-281 (2018)

В результате конформных преобразований система уравнений для потенциальных волн превращается в систему эволюционных уравнений для поверхностного потенциала и возвышения, которые могут интегрироваться по чрезвычайно простым схемам и использоваться для теоретических исследований.

Сабитов К.Б., Мартемьянова Н.В. «К вопросу о корректности обратных задач для неоднородного уравнения Гельмгольца» Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки, 22, № 2, с. 269-292 (2018)

Для уравнения Гельмгольца в прямоугольной области изучены начально-граничная задача и ее нелокальные модификации, и обратные задачи по отысканию его правой части. Решения прямых задач с нелокальными граничными условиями и обратных задач построены в явном виде как суммы ортогональных рядов по системе собственных функций одномерной спектральной задачи Штурма–Лиувилля. Доказаны соответствующие теоремы единственности решения всех поставленных задач. Установлены достаточные условия на граничные функции, которые гарантируют теоремы существования и устойчивости решения предложенных новых постановок задач.

Босняков С.М., Михайлов С.В., Подаруев В.Ю., Трошин А.И. «Параллельная реализация разрывного метода Галеркина высокого порядка точности и решение классических тестовых задач» Вычислительный эксперимент в аэроакустике: Шестая всероссийская конференция, г. Светлогорск Калининградской обл., 19–24 сентября 2016 г.: Сборник тезисов, с. 80-81 (2016)

Приводится краткое описание разрабатываемого в ЦАГИ кода, основанного на методе Галеркина с разрывными базисными функциями высокого порядка точности. Реконструкция функций осуществляется для консервативных переменных. Эго позволяет существенно упростить формулировку схемы для нестационарных течений. Градиенты параметров для расчета диффузионных потоков рассчитываются с использованием метода Bassi-Rebay-2. Схема требует точного интегрирования по объему и поверхности ячейки. Для этого используются квадратурные правила Гаусса, которые записываются для стандартного куба. Преобразования координат осуществляются при помощи сирендиповых элементов. Расчеты для К=2 и К=3 проводятся с учетом кривизны поверхности. Количество квадратурных точек в ячейке и на стороне ячейки приведены в таблице.

Старцева М.П., Синер А.А. «Математическая модель для создания и проверки методов акустического модального анализа» Вычислительный эксперимент в аэроакустике: Шестая всероссийская конференция, г. Светлогорск Калининградской обл., 19–24 сентября 2016 г.: Сборник тезисов, с. 218-220 (2016)

Экспериментальный анализ звуковых полей, генерируемых авиационным двигателем, является одной из важнейших и сложнейших задач авиационной акустики. Основная сложность задачи заключается в большом количестве акустических мод. излучаемых двигателем. Основная часть эффективно переносящих энергию акустических мод генерируется вентиляторной ступенью двигателя. Наиболее перспективным методом анализа звуковых полей, генерируемых вентиляторной ступенью. является модальный анализ в воздухозаборном канале и в канале наружного контура. Для отработки методов модального анализа развивается специальная математическая модель.

Босняков И.С., Босняков С.М., Власенко В.В., Волков А.В., Михайлов С.В., Подаруев В.Ю., Трошин А.И. «Валидация Солвера DDES на базе разрывного метода Галеркина для задач течений с использованием высокопроизводительной вычислительной техники» Вычислительный эксперимент в аэроакустике: Седьмая всероссийская конференция, г. Светлогорск Калининградской обл., 17–22 сентября 2018 г.: Сборник тезисов, с. 54-55 (2018)

В настоящей работе представлены текущие результаты разработки высокопроизводительного солвера LES/DDES в ЦАГИ. Солвер базируется на методе DG и направлен на моделирование нестационарных аэродинамических турбулентных течений. Это исследование проводится в рамках европейского проекта TILDA. Цель проекта – предложить методы и подходы, сочетающие современные и эффективные численные схемы высокого порядка с инновационными подходами к LES и DNS с целью разрешить все существенные особенности течения на десятках тысяч процессоров, за время расчета, не превышающее нескольких дней.