Анисимов В.Н., Корпен И.В., Литвинов В.Л. «Применение метода Канторовича–Галеркина для решения краевых задач с условиями на движущихся границах» Механика твердого тела, № 2, с. 70-77 (2018)

Приближенный метод Канторовича–Галеркина рассматривается применительно к решению задач, описывающих колебания вязкоупругих объектов с условиями на движущихся границах и анализу резонансных свойств данных объектов. Метод позволяет учесть действие на систему сил сопротивления среды, изгибную жесткость, а так же граничные условия со слабой нестационарностью. Математическая постановка задачи включает дифференциальное уравнение в частных производных относительно искомой функции смещения и неоднородные граничные условия. Метод Канторовича–Галеркина позволяет учесть и начальные условия, однако они не влияют на резонансные свойства линейных систем, поэтому в данном случае не учитываются. При помощи введения в задачу новой функции граничные условия приводятся к однородным. Решение производится в безразмерных переменных с точностью до величин второго порядка малости относительно малых параметров, характеризующих скорость движения границы и вязкоупругость. Используя метод Канторовича–Галеркина находится высокой точности приближенное решение задачи о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого каната переменной длины, один конец которого наматывается на барабан, а второй жёстко закреплен. Приводятся результаты, полученные для амплитуды колебаний, соответствующих «-ной динамической моде. Исследуется явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс с применением численных методов. Приводится графическая зависимость максимальной амплитуды колебаний каната при прохождении через резонанс в зависимости от коэффициента, характеризующего вязкоупругость объекта на основе модели Фойгта. Производится оценка точности метода Канторовича–Галеркина.