Быков Д.И., Комкин А.И., Миронов М.А. «Экспериментальное исследование нелинейного акустического импеданса отверстий» Вычислительный эксперимент в аэроакустике: Седьмая всероссийская конференция, г. Светлогорск Калининградской обл., 17–22 сентября 2018 г.: Сборник тезисов, с. 63-65 (2018)

Акустический импеданс отверстия при высоких уровнях звукового давления исследовался экспериментально в большом числе работ. Теоретическим основанием для интерпретации результатов экспериментов служит закон Бернулли для стационарного потока через отверстия. Распространение этого закона на осциллирующие течения в отверстии дает, в частности, линейную зависимость действительной части акустического импеданса отверстия от амплитуды колебательной скорости в отверстии и независимость ее от диаметра отверстия. Однако внимательный анализ экспериментальных результатов показал, что диаметр отверстия существенным образом влияет на поведение импеданса при высоких уровнях звукового давления. Целью данной работы является получение надежных экспериментальных данных, демонстрирующих влияние диаметра отверстия перегородки на его акустический импеданс при высоких уровнях звукового давления. Она продолжает исследования авторов в этом направлении

Арутюнян А.Р., Арутюнян Р.А. «Приложение энергетической концепции Гриффитса к формулировке критерия прочности нелинейно-упругой среды с трещиной» Механика твердого тела, № 3, с. 129-134 (2018)

В связи с массовым внедрением в инженерную практику нанокристаллических и нанокомпозитных материалов, упругая деформация в которых может достигать более 3%, возникает необходимость формулировки нелинейно-упругих уравнений и основополагающих критериев механики разрушения. В работе используется текущий коэффициент поперечной деформации и формулируются нелинейно-упругие уравнения и модифицированный критерий прочности Гриффитса для образца с трещиной. На основе этого критерия оцениваются значения теоретической и реальной прочности. Рассмотрены три случая: идеальная кристаллическая решетка без дефектов, нанокристаллические и нанокомпозитные материалы с размерами трещин в пределах нескольких нанометров, лабораторный образец с микронным размером трещин. Показано, что величина теоретической прочности на два порядка больше по сравнению со значением прочности лабораторного образца. Этот результат находится в согласии с известными в литературе оценками. В случае, когда в материале имеются трещины порядка наноразмеров, наблюдается значительное снижение прочности (в пределах одного порядка от теоретической прочности).

Самохин А.В. «Эволюция начальных данных для уравнения Бюргерса с фиксированными значениями на границе» Научный вестник Московского государственного технического ун-та гражданской авиации, № 194, с. 63-70 (2013)

Уравнение Бюргерса описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В работе изучается сходимость решений уравнения Бюргерса с постоянными граничными условиями на ограниченном интервале к стационарным решениям.

Самохин А.В., Дементьев Ю.И. «Пилообразные решения уравнения Бюргерса на интервале» Научный вестник Московского государственного технического ун-та гражданской авиации, № 204, с. 135-142 (2014)

Изучается асимптотическое поведение решений уравнения Бюргерса на конечном интервале с заданными начальными и постоянными граничными условиями. Поскольку уравнение описывает движение в диссипативной среде, начальный профиль решения эволюционирует к стационарному (инвариантному по времени) решению с теми же граничными условиями. Однако к такому результату ведут три различных пути: начальный профиль может регулярно спускаться к гладкому инвариантному решению; или через дисперсионный шок и мультиосцилляции развивается разрыв типа Хевисайда; или асимптотическим пределом оказывается пилообразное решение с периодическими разрывами производной.

Самохин А.В. «Решения уравнения Бюргерса с периодическим возмущением на границе» Научный вестник Московского государственного технического ун-та гражданской авиации, № 220, с. 82-87 (2015)

Изучена асимптотика решений уравнения Бюргерса с начальными/граничными данными на конечном интервале с периодическим возмущением на границе. Уравнение описывает вязкую среду и первоначальный постоянный профиль переходит в бегущую волну с убывающей амплитудой. При малых значениях вязкости асимптотический профиль имеет пилообразный профиль с периодическими разрывами производной, похожий на известное решение Фэя на полупрямой.

Самохин А.В., Дементьев Ю.И. «Галилеево-инвариантные решения уравнения КдВ–Бюргерса и нелинейная суперпозиция ударных волн» Научный вестник Московского государственного технического ун-та гражданской авиации, № 224, с. 24-32 (2016)

Описание галилеево-инвариантных решений уравнения КдВ–Бюргерса редуцируется к исследованию фазовых траекторий сопутствующего обыкновенного дифференциального уравнения, зависящего от параметра (скорости распространения ударной волны). Аналитические (точные) инвариантные решения представляют собой простые ударные волны, которые становятся сепаратрисами фазового портрета, всегда имеющего две особые точки. Для нелинейной суперпозиции исходный фазовый портрет содержит 4 особые точки, и с течением времени происходит его бифуркация через осцилляции.

Самохин А.В., Дементьев Ю.И. «Моделирование решений уравнения КдВ–Бюргерса в диссипативно неоднородной среде» Научный вестник Московского государственного технического ун-та гражданской авиации, 20, № 2, с. 100-108 (2017)

Рассматривается поведение решений солитонного типа для уравнения КдВ–Бюргерса в диссипативно неоднородной среде. Солитон движется слева направо и не меняет своей формы. Солитоны с большей амплитудой по ширине меньше, и скорость их движения больше. Целью настоящего исследования является изучение поведения солитонов, которые при движении по недиссипативной среде натыкаются на (финитное или бесконечное) препятствие с постоянной диссипацией; можно представлять себе импульс света, встречающий на своём пути частично поглощающий слой. При моделировании рассматривался случаи с финитным диссипативным слоем, подобный, например, прохождению волны через стекло–воздух–стекло–воздух, а также прохождение из недиссипативной среды в диссипативную (подобие прохождения света из воздуха в воду). Предлагаемая работа является продолжением исследований авторов и Дубровина. Получены численные модели поведения волны при различных типах неоднородности. Диссипация приводит к ожидаемому уменьшению амплитуды, однако в случае финитных кусочно-постоянных вязких препятствий на пути волны возникают новые эффекты. После прохождения препятствия перед волной появляется небольшая рябь. Причём эта рябь распространяется впереди бегущей волны. При удалении основной волны от препятствия рябь удаляется от этой волны и становится более обширной. Итак, скорость движения ряби больше скорости движения основной волны, и рябь увеличивается по мере удаления от препятствия. Моделирование проводилось в среде Maple с использованием пакета PDETools. Отметим, что данные задачи вычислительно очень трудоёмки и требуют больших затрат машинного времени.

Самохин А.В., Дементьев Ю.И. «Моделирование уединенных волн уравнения КдВ–Бюргерса в диссипативно неоднородных средаХ» Научный вестник Московского государственного технического ун-та гражданской авиации, 21, № 2, с. 114-121 (2018)

Работа является продолжением исследования, начатого в предшествующих работах авторов. В настоящее время теория нелинейных волн переживает бурное развитие, и ее результаты находят многочисленные практические применения. Можно упомянуть направление, связанное с изучением возникновения и эволюции ударных волн, уединенные волны, кинки, периодические и квазипериодические колебания (например – кноидальные волны) и многое другое. В этом ряду малоизученными остаются вопросы с движением солитонов в неоднородной среде; в статье рассматривается вопрос о простейшей модели такой среды: слоисто-неоднородной. Рассматривается поведение решений типа одиночной волны для уравнения КдВ–Бюргерса при различных видах диссипативной неоднородности среды. В работе исследованы разнообразные виды финитных препятствий, а также переход из диссипативной среды в свободную. Получены численные модели поведения решения. Моделирование проводилось при помощи математической программы Maple с использованием пакета PDETools. Рассмотренные задачи вычислительно очень трудоемки и требуют больших затрат машинного времени. Особо интересен случай увеличения высоты препятствия при сохранении ширины. При анализе численных экспериментов наблюдается неожиданный эффект увеличения высоты волны при увеличении высоты препятствия, что может являться предметом дальнейшего исследования. Вместе с этим при увеличении высоты препятствия увеличивается рябь, бегущая впереди волны. Отметим, что в предыдущих работах авторов была описана другая ситуация, связанная с возникновением ряби. Если же при сохранении высоты препятствия снова увеличим ширину, то ожидаемо наблюдается существенное уменьшение амплитуды волны, что продемонстрировано на модельных графиках. Таким образом, в работе, имеющей экспериментальный характер, продемонстрированы новые интересные свойства движения квазисолитонов в зависимости от вида и размера диссипативных препятствий на основе численного моделирования.

Савотченко С.Е. «Нелинейные волны в полуограниченной средЕ» Научные ведомости Белгородского государственного университета. Серия: Математика. Физика, 50, № 2, с. 144-151 (2018)

Рассмотрены вопросы существования периодических стационарных возбуждений в полуограниченных ангармонических кристаллах с различными знаками нелинейности. Предложена модель, математическая формулировка которой представляет собой одномерную краевую задачу для нелинейного уравнения Шредингера на полуоси. В рассматриваемой системе в зависимости от значения частоты получены несколько типов стационарных состояний, описывающих периодические распределения поля возбуждения. Показано, что в средах с отрицательной нелинейностью существует один вид периодически распределенных состояний, а в средах с положительной нелинейностью – два вида. Такие состояния описываются периодическими решениями НУШ, содержащими эллиптические функции. Получены выражения, определяющие значения частот всех рассматриваемых состояний, в явном аналитическом виде и определены условия их существования.

Выонг В.Т., Горелов С.Л. «Нелинейные явления в разреженном газе в задаче Куэтта» Труды Московского авиационного института, № 100, http://trudymai.ru/published.php?ID=93327 (2018)

Исследуются процессы тепломассопереноса в разреженном газе, заключенному между двумя бесконечными параллельными пластинами, которые имеют разные температуры и движутся относительно друг друга. Методом прямого статистического моделирования (DSMC) вычисляются распределения плотности, скорости, температуры газа, потоков тепла и тензора напряжений в широком диапазоне чисел Кнудсена и при различных значениях отношений температур и скоростей движения пластин. Полученные результаты, сравнены с аналитическими для свободномолекулярного предела, а для широкого диапазона чисел Кнудсена, расчеты для теплового потока и напряжения трения были сопоставлены с результатами, полученными методом самоподобной интерполяции. Установлено, что в переходной области между свободномолекулярным и сплошносредным пределами, кроме касательной составляющей тензора напряжений присутствует нормальная составляющая (которой нет ни в свободномолекулярном случае, ни в случае сплошной среды) причем, и нормальная и касательная составляющие существенно немонотонны по числам Кнудсена. Величина максимума этих напряжений зависит от скорости движения пластин и отношения температуры между пластинами. Кроме этого, направление теплового потока, по отношению к горячей стенке, зависит от числа Кнудсена и может менять свое направление при определенном соотношении перепада температур и скоростей движения пластин.

Andreiev K., Egorova I. «On the long-time asymptotics for the Korteweg–de Vries equation with steplike initial data associated with rarefaction waves» Журнал математической физики, анализа, геометрии, 13, № 4, с. 325-343 (2017)

Обсуждается асимптотическое поведение волны разрежения для уравнения КдФ в области позади заднего фронта волны. Первый и второй члены асимптотического разложения по времени для такого решения были получены без детального анализа в K. Andreiev, I. Egorova, T.-L. Lange, G. Teschl, “Rarefaction Waves of the Korteweg–de Vries Equation via Nonlinear Steepest Descent”, J. Differential Equations, 261 (2016), 5371-5410. В настоящей работе уточняется формула для второго члена, исследуя соответствующую задачу параметрикса. Обсуждается также влияние резонанса на асимптотическое поведение решения.

Чигур О.И. «Точные сингулярные решения уравнения Хохлова–Заболотской–Кузнецова» Ученые записки физического факультета МГУ, № 4, с. 1840602 (2018)

В работе рассматриваются вопросы построения точных сингулярных решений уравнения Кузнецова, более известного как уравнение Хохлова–Заболотской–Кузнецова (ХЗК). Данное уравнение является дифференциальным уравнением 3-го порядка в частных производных и описывает распространение ограниченного звукового пучка в нелинейной среде с диссипацией. Для построения точных решений используются методы современной теории симметрий дифференциальных уравнений и теория сингулярных решений. Также, в данной работе проводится визуализация некоторых решений, в частности, решения, отвечающего эффекту фокусировки звукового пучка.

Грэй А.Л., Руденко О.В. «Интенсивная волна в дефектных средах, содержащих одновременно квадратичную и модульную нелинейности: ударные волны, гармоники и неразрушающий контроль» Акустический журнал, 64, № 4, с. 411-416 (2018)

Предложено объяснение наблюдавшейся неклассической степенной зависимости амплитуды волны второй гармоники от амплитуды гармонической волны накачки как явлению, связанному с наличием двух типов нелинейности в структурно неоднородной среде. Указан подход к решению обратной задачи определения параметров нелинейности и показателя степени в указанной зависимости. Для описания эффектов сильно выраженной нелинейности предложены уравнения с двойной нелинейностью, обобщающие уравнения Хопфа и Бюргерса. Указана возможность их точной линеаризации. Рассчитаны профили, спектральный состав и средняя интенсивность волн в таких “дважды нелинейных” средах. Найдена форма ударного фронта и оценена его ширина. Рассчитана убыль энергии волны, зависящая от обоих параметров нелинейности – квадратичной и модульной.

Мухин Р.Р. «Наследие Александра Михайловича Ляпунова и нелинейная динамика» Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 26, № 4, с. 95-120 (2018)

Целью работы является изучение научного наследия А.М. Ляпунова с позиций нелинейной физики. Фундаментальной важности вклад Ляпунова определяется не только созданными им методами, которые вошли в основу математического аппарата при изучении нелинейных явлений. Его идеи и введенные им понятия способствовали формированию концепций и принципов нелинейной динамики. Исследование основано на анализе оригинальных работ Ляпунова с привлечением имеющейся литературы, касающейся его творчества. Творчество Ляпунова тесно переплетается с деятельностью А. Пуанкаре, среди многих других фундаментальных достижений которого особое значение имеет качественная теория, составившая концептуальную основу нелинейной динамики. Ляпунов явился ближайшим продолжателем Пуанкаре в области качественной теории. Качественной по своей сути является теория устойчивости Ляпунова, одно из крупнейших достижений математики XIX в. С этих позиций Ляпунов подходит к самой постановке задачи устойчивости, выделяя невозмущенное и возмущенное движение. Он разработал методы решения задач устойчивости, предложив и строго обосновав конкретные алгоритмы. Одной из труднейших проблем математики и механики уже в течение нескольких столетий является проблема фигур равновесия вращающейся жидкости. Она имеет многочисленные приложения, стимулировала появление новых идей и целых направлений исследований. В решение проблемы фигур равновесия Ляпунов вместе с Пуанкаре внес определяющий вклад. Ляпунов подробно и совершенно строго исследовал серии новых фигур равновесия, их бифуркации и устойчивость. При этом он создал новые аналитические методы исследования, в частности, работы Ляпунова и Пуанкаре дали мощный импульс развитию теории нелинейных интегральных уравнений. Важное общенаучное значение имеет дальнейшее развитие результатов Ляпунова. Фундаментальное значение для нелинейной динамики приобрели показатели Ляпунова. В основе их использования лежит мультипликативная эргодическая теорема. Показатели Ляпунова связаны с другой важнейшей величиной, также являющейся мерой хаотичности и неустойчивости – энтропией Колмогорова–Синая. Введенные Ляпуновым понятия и созданные методы имеют непреходящее значение, они не только составили математический аппарат, но в значительной степени формируют концепции и принципы нелинейной динамики. DOI: 10.18500/0869-6632-2018-26-4-95-120.