Табаринцева Е.В. «Об оценке точности метода вспомогательных граничных условий при решении граничной обратной задачи для нелинейного уравнения» Сибирский журнал вычислительной математики, 21, № 3, с. 293-313 (2018)

Рассмотрена граничная обратная задача для полулинейного параболического уравнения. Получены двусторонние оценки норм значений нелинейного оператора через нормы значений соответствующего линейного оператора. На основании этого установлены двусторонние оценки модуля непрерывности для полулинейной обратной задачи через модуль непрерывности для соответствующей линейной задачи. Устойчивые приближенные решения нелинейной обратной задачи строятся методом вспомогательных граничных условий. Получена точная по порядку оценка погрешности метода вспомогательных граничных условий на одном из классов равномерной регуляризации.

Корпусов М.О. «О разрушении решений нелинейных уравнений типа уравнения Хохлова–Заболотской» Теоретическая и математическая физика, 194, № 3, с. 403-417 (2018)

Рассмотрена серия нелинейных эволюционных уравнений, которые объединяет наличие нелинейности вида ∂²u²/∂t². Такая нелинейность присутствует в уравнении Хохлова–Заболотской, в других уравнениях теории нелинейных волн в жидкости, а также в уравнениях теории электромагнитных волн и ионно-звуковых волн в плазме. Рассмотрены достаточные условия возникновения режима blow up и найдены начальные функции, для которых решение, понимаемое в классическом смысле, отсутствует вовсе, даже локально во времени, т.е. изучен вопрос о мгновенном разрушении классических решений.

Захаров С.В. «Асимптотическое решение многомерного уравнения Бюргерса вблизи сингулярности» Теоретическая и математическая физика, 196, № 1, с. 42-49 (2018)

Рассматривается задача Коши для многомерного уравнения Бюргерса с малым параметром диссипации. Методом согласования строится асимптотическое решение вблизи сингулярности, обусловленной структурой векторного поля в начальный момент времени. Использованный в работе подход позволил проследить эволюцию решения с иерархией разномасштабных структур и дать строгое математическое определение асимптотического решения в главном приближении. Обсуждается связь рассматриваемой задачи с различными моделями фундаментальной и прикладной физики.

Гайар П. «Многопараметрические семейства решений уравнения Кадомцева–Петвиашвили I. Структура их рациональных представлений и совокупность волн-убийц» Теоретическая и математическая физика, 196, № 2, с. 266-293 (2018)

Построены решения уравнения Кадомцева–Петвиашвили I в терминах определителей Фредгольма. Получены решения в виде отношения вронскианов порядка 2N. Такие решения, называемые решениями порядка N, зависят от 2N–1 параметров. Их также можно представить в виде отношения двух полиномов степени 2N (N+1) по x, y и t, зависящих от 2N–2 параметров. Максимум модуля этих решений порядка N равен 2(2N+1)². Построены явные выражения до шестого порядка и изучены структуры их модулей на плоскости (x,y), а также их динамика в зависимости от времени и параметров.

Руденко О.В., Хедберг К.М. «Волновой резонанс в диссипативной среде с модульной, квадратичной или квадратично-кубичной нелинейностью» Акустический журнал, 64, № 4, с. 3-13 (2018)

Изучено явление “волнового резонанса”, возникающее при возбуждении бегущих волн в диссипативных средах, обладающих модульной, квадратичной или квадратично-кубической нелинейностью. Математической моделью этого явления является неоднородное (или “вынужденное”) уравнение типа Бюргерса. Указанные нелинейности представляют интерес, поскольку соответствующие им уравнения допускают точную линеаризацию и описывают реальные физические объекты. Наличие “сопровождающих источников” (движущихся вместе с волной) в правой части неоднородных уравнений обеспечивает приток энергии в волну, которая после этого распределяется по волновому профилю, перетекает к формирующимся ударным фронтам, а затем диссипирует из-за линейных и нелинейных механизмов потерь. Во введении описывается явление волнового резонанса в идеальной и диссипативной средах, не обладающих нелинейными свойствами, и приводятся физические примеры. Затем даются точные аналитические выражения для нелинейных установившихся профилей. Изучены нестационарные процессы генерации волн, пространственное “биение” амплитуд для различных соотношений скорости движения источников и скорости собственной волны в среде. Построены резонансные кривые, содержащие нелинейный сдвиг абсолютных максимумов в “сверхзвуковую” область. Обсуждаются особенности резонанса для каждой из трех типов нелинейности.