Криксин Ю.А., Тишкин В.Ф. «Вариационная энтропийная регуляризация разрывного метода Галеркина для уравнений газовой динамики» Математическое моделирование, 31, № 5, с. 69-84 (2019)

Для уравнений газовой динамики построена конструктивная версия разрывного метода Галеркина произвольных порядков точности, опирающаяся на новый вариационный принцип энтропийной регуляризации, обеспечивающий выполнение дискретных аналогов законов сохранения массы, импульса, полной энергии и энтропийного неравенства.

Бахвалов П.А. «О вычислении градиента в методе коррекции потоков» Математическое моделирование, 31, № 5, с. 121-144 (2019)

Метод коррекции потоков является семейством рёберно-ориентированных схем для решения гиперболических систем на неструктурированных сетках. Ключевое место в этих схемах занимает вычисление градиентов от физических переменных в сеточных узлах не менее чем со вторым порядком аппроксимации. Существуют две известные процедуры, обеспечивающие выполнение этого условия. Первая основана на методе наименьших квадратов, а вторая – на спектральных элементах. В работе проводится сравнение схем, получающихся при использовании этих процедур, между собой и с другими рёберно-ориентированными схемами.

Савенков Е.Б., Борисов В.Е., Критский Б.В. «Представление поверхности с помощью проекции ближайшей точки в методе X-FEM» Математическое моделирование, 31, № 6, с. 18-42 (2019)

В настоящее время метод X-FEM (eXtended Finite Elements) является распространенным обобщением классического метода конечных элементов для решения задач механики деформируемого твердого тела при наличии крупномасштабных трещин. Основным достоинством метода является возможность использования расчетных сеток, не согласованных с геометрией трещин, и возможность точного учета сингулярных асимптотик решения в окрестности фронта трещины. Одним из ключевых компонентов метода является способ преставления срединной поверхности трещины в алгоритме метода. В качестве последнего традиционно используется неявный метод представления поверхности на основе метода множеств уровня. Такой подход является эффективным, робастным и позволяет проводить расчет в случае эволюционирующих трещин. В работе предлагается вариант метода X-FEM, в котором для представления срединной поверхности трещины используется метод проекции ближайшей точки и который, на взгляд авторов, имеет ряд преимуществ перед традиционным вариантом. В работе представлен короткий обзор классического варианта метода X-FEM. Подробно описаны алгоритм предлагаемого варианта метода и его отличия от традиционного, сформулированы его преимущества. Рассмотрены вопросы вычисления интегралов от функций, заданных на поверхности, описываемой проектором ближайшей точки, локального восстановления функций уровня в окрестности точки поверхности или ее края, вычисления локальных базисов на поверхности и ее крае. Описаны алгоритмические детали метода X-FEM с представлением поверхности на основе проекции ближайшей точки. В заключении приводятся результаты тестовых расчетов, демонстрирующих алгоритмические особенности метода и работоспособность предложенного алгоритма.

Шильков А.В. «О решении линейных эллиптических уравнений второго порядка» Математическое моделирование, 31, № 6, с. 55-81 (2019)

Изложен метод решения внутренних граничных задач для эллиптических уравнений второго порядка с помощью перехода к лучевым переменным. Область разбивается на ячейки, в пределах которых коэффициенты и источники имеют свойства гладкости и непрерывности, необходимые для существования в ячейке регулярного классического решения. Конечные разрывы коэффициентов (если они есть) проходят по границам ячеек. Регулярное решение в ячейке ищется в виде суперпозиции вкладов объемных и граничных источников, размещенных на лучах, приходящих в данную точку от границ ячейки. Далее составляется конечно-аналитическая схема для численного нахождения обобщенного решения в области с разрывными коэффициентами и источниками посредством сшивки регулярных решений, выходящих из ячеек на границах ячеек. В схеме отсутствует жесткая зависимость точности аппроксимации от размеров и формы ячеек, присущая конечно-разностным схемам.

Булгаков В.Н., Котенев В.П., Ожгибисова Ю.С. «Аналитическое исследование ламинарного пограничного слоя около затупленных тел» Математическое моделирование, 31, № 6, с. 82-94 (2019)

При высокоскоростном обтекании наиболее нагруженными в тепловом отношении являются, как правило, затупленные элементы тел сложной формы, где газодинамические параметры испытывают значительные изменения. В связи с этим большое значение имеет быстрая оценка теплового нагружения на затупленных телах. Рассматриваются уравнения ламинарного пограничного слоя при установившемся осесимметричном течении сжимаемого совершенного газа, записанные в специальных координатах. В качестве граничного условия на стенке принято условие «прилипания», а на границе – равенство скорости и температуры соответствующим значениям внешнего потока. В методе Польгаузена вводят понятия толщины вытеснения и толщины потери импульса, находят связи для отношения этих величин к толщине пограничного слоя и выводят дифференциальное уравнение для определения формпараметра пограничного слоя, через который определяют остальные характеристики пограничного слоя. Модификация метода Польгаузена проводится для того, чтобы упростить процедуру расчета, исключив из неё дифференциальные уравнения. Аналогично скорости в виде полинома четвертой степени представляется специальная функция, в которую входит энтальпия и безразмерный «кинетический» параметр, подлежащий определению. Для нахождения коэффициентов полинома используются граничные условия на стенке и на границе пограничного слоя. Кинетический параметр определяется по-разному для тел различной формы. Приводятся результаты применения предложенного метода для расчета тепловых потоков, численное исследование которых также приведено в ряде работ в рамках полных систем уравнений Навье–Стокса и Прандтля. Сравнение результатов свидетельствует об эффективности изложенного метода.

Крахмалев О.Н. «Использование структурных мутаций в объектно-ориентированных математических моделях манипуляционных систем роботов» Математическое моделирование, 31, № 6, с. 129-144 (2019)

Рассмотрено использование метода целенаправленных структурных мутаций математических моделей. Метод позволяет создавать приближённые модели манипуляционных систем роботов путём модификации их объектно-ориентированных математических моделей. Манипуляционные системы рассматриваются как непрерывно-детерминированные системы, описываемые системами алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений. Реализация данного метода основывается на возможностях предоставляемых методом визуального конструирования объектных схем математических моделей. Модификации объектных схем проводятся путём замены выбранных в них частей на альтернативные этим частям объекты. Применение метода структурных мутаций позволяет компенсировать влияние случайных факторов, не учитываемых исходной математической моделью, полученной аналитическим способом.

Богатов Е.М. «О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях» Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 27, № 1, с. 96-114 (2019)

Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x)=x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) "заиграло" в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.

Розанов Н.Н. «Акустический аналог электродинамических правил сохранения» Письма в Журнал технической физики, 45, № 7, с. 36-37 (2019)

В рамках линейной акустики на основе линеаризованных уравнений Навье–Стокса для вязкой жидкости представлены и обсуждены правила сохранения для интегральных характеристик акустического возмущения. DOI: 10.21883/PJTF.2019.07.47535.17702

Кирейтов В.Р. Обобщенные диффузионные потенциалы. Т. 2. 2-е испр., доп. изд. (2011). 556 с.

Книга посвящена развитию методов потенциала и их применениям в рамках уточненных (в первых порядках приближений относительно классических феноменологических) математических моделей физических полей. В 1 томе представлены основные математические результаты. Во 2 томе даны доказательства этих результатов и их применения к классической теории электромагнит. поля, уточненной в первом порядке приближения за счет радиационных поправок квантовой электродинамики, к линейной и линеаризованной теориям переноса классических частиц в приближении сумматорных инвариантов, к некоторым уточненным в рамках линейных приближений моделям гравитационного поля. Книга дает представление о современных направлениях и методах исследований в области математической физики и может быть рекомендована студентам и аспирантам физико-математич. факультетов университетов, научным сотрудникам, работающим в различных областях математической и теоретич. физики, геофизики, акустики, оптики.

Герасимов С.И., Ерофеев В.И., Солдатов И.Н. Волновые процессы в сплошных средах (2012). 260 с.

Монография посвящена теоретическим методам моделирования волновых процессов в газах, жидкостях и деформируемых твердых телах. В ней рассмотрены вопросы распространения звуковых, инерционно-гироскопических, внутренних и некоторых других типов волн в жидкостях и газах. Применительно к деформируемым твердым телам описаны закономерности распространения волн дилатации и сдвига; отражение волн от свободной поверхности полупространства; поверхностные волны Рэлея; нормальные волны в упругом слое; волны в упругом слое, контактирующем с жидкостью; волны во вращающемся упругом полупространстве; вынужденные колебания упругого слоя; влияние поверхностных эффектов на распространение волн Лэмба. На моделях микрополярной и градиентно-упругой сред изложены основы волновой динамики обобщенных континуумов.

Эйхенвальд А.А. Теоретическая физика. Общая механика. Серия: Физико-математическое наследие: физика (механика) (2016). 326 с.

Книга выдающегося отечественного физика А. А. Эйхенвальда (1863–1944) содержит основы общей механики. Излагается механика одной материальной точки и механика системы материальных точек. В основу изложения положены знаменитые законы Ньютона, которые рассматриваются в начале книги. Излагаются основы баллистики и небесной механики, большое внимание уделено теории колебаний. Описываются уравнения Лагранжа и Гамильтона, для простоты и наглядности теория этих уравнений излагается в применении к механике одной материальной точки. Большинство положений и выводов в книге иллюстрируются типичными примерами, при выборе которых автор руководствовался не математическими, а чисто физическими интересами. Предпочтение отдано таким примерам, которые имеют значение не только для механики, но и для других отделов физики – акустики, оптики, электродинамики и т.д.

«Академик Александр Андреевич Самарский. К 100-летию со дня рождения» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 143-144 (2019)

Mera A., Shlapunov A.A., Tarkhanov N. «Уравнения Навье–Стокса для эллиптических комплексов» Журнал Сибирского Федерального университета. Математика и физика, 12, № 1, с. 3-27 (2019)

We continue our study of invariant forms of the classical equations of mathematical physics, such as the Maxwell equations or the Lam'e system, on manifold with boundary. To this end we interpret them in terms of the deRham complex a tacer tainstep .On using the structure of the complex weget an insight to predict a degeneracy deeply encoded in the equations. In the present paper we develop an invariant approach to the classical Navier–Stokes equations.

Никитченко Ю.А., Попов С.А., Тихоновец А.В. «Комбинированная кинетико-гидродинамическая модель течения многоатомного газа» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 18-32 (2019)

Представлена математическая модель течения многоатомного газа, содержащая комбинацию модели Навье–Стокса–Фурье (NSF) и модельного кинетического уравнения многоатомных газов. В основе комбинируемых компонентов лежит единая физическая модель, в результате чего модель NSF является строгим первым приближением модельного кинетического уравнения. Модель позволяет проводить расчеты полей течения в широком интервале чисел Кнудсена (Kn), а также полей, содержащих области высокой динамической неравновесности. Граничные условия на твердой поверхности выставляются на кинетическом уровне, что позволяет, в частности, формулировать граничные условия на поглощающих или выделяющих газ поверхностях. Проведено тестирование комбинированной модели. На примере задачи о профиле ударной волны показано, что до чисел Маха M⊙2 комбинированная модель дает гладкие решения даже в тех случаях, когда точка сшивания находится в высоко градиентной области. В течении Куэтта гладкие решения получены при M=5, Kn=0.2.

Богомолов С.В., Кувшинников А.Е. «Разрывный метод частиц на газодинамических примерах» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 63-77 (2019)

Работа посвящена исследованию особенностей разрывного метода частиц. Подробно описаны алгоритмические основы метода частиц. Исследована возможность применения лимитеров. Приведены результаты расчётов для уравнений Хопфа, Бюргерса, мелкой воды и газовой динамики, включая нелинейную акустику. Произведено сравнение численных решений с некоторыми точными. Тесты показывают, что метод хорошо подходит для задач с разрывами. Показано, что для получения более точного численного решения необходимо уточнять исходные математические модели. А именно, если для задачи о структуре фронта ударной волны вместо уравнений Навье–Стокса брать уравнения стохастической газовой динамики, то необходимость в лимитерах отпадает.

Блонский А.В., Савенков Е.Б. «Моделирование двухфазных течений в трещиноватой среде с кавернами» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 78-94 (2019)

Работа посвящена математическому моделированию течений в дискретных системах трещин с учетом течений вдоль каверн, отнесенных к пересечениям трещин. Рассматривается физико-математическая модель двухфазного течения, которая учитывает переток между трещинами и кавернами, капиллярные и гравитационные силы. Капиллярные силы описаны моделью Юнга–Лапласа, которая учитывает угол смачиваемости породы, поверхностное натяжение, раскрытие трещин и диаметры сечения каверн. Описаны вычислительные алгоритмы решения задачи. Методами численного моделирования проведено исследование влияния течения в кавернах на процесс вытеснения нефти водой в трещиновато-кавернозной среде при различных типах смачиваемости породы. Показано, что наличие каверн на пересечениях трещин может в определенных условиях оказать существенное влияние на характеристики течения.

Рагимли П.И., Рагимли О.Р., Повещенко Ю.А., Подрыга В.О., Гасилова И.В. «Программное обеспечение для моделирования флюидодинамики и трансфазных процессов в коллекторах, содержащих газогидраты» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 95-111 (2019)

Представлено описание модели, алгоритма и структуры прикладного программного комплекса (кода), предназначенного для моделирования течений в пористой среде, содержащей соединения природных газов (метан и др.) с водой или газовые гидраты. Код «HYDRAT1D» позволяет решать уравнения флюидодинамики в талой зоне и пьезопроводной среде с учетом фазовых переходов. Код “HYDRAT1D” реализован на языке JavaScript и работает в рамках компьютерной архитектуры «клиент–сервер».

Шевелев Ю.Д., Егоров Н.А. «Применение метода граничных элементов в задачах аэродинамического проектирования» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 129-142 (2019)

Рассматривается метод граничных элементов, предназначенный для численного моделирования линеаризованных течений сплошной среды. Метод обеспечивает один из самых высоких уровней быстродействия среди всех подходов вычислительной аэродинамики. Это достигается благодаря отказу от построения пространственных расчетных сеток, поскольку величины, подлежащие определению в ходе решения задачи обтекания, распределены вдоль поверхности компоновок и, если необходимо, по поверхности вихревого следа. Данная работа подразделялась на следующие этапы: построение математической модели поверхности сложной формы и разбиение её на панели, построение согласованной сетки на поверхности, расчёт аэродинамических характеристик двух компоновок самолетов. Результаты получены для чисел Маха, соответствующих дозвуковым течениям.

Мандровский К.П., Садовникова Я.С. «Моделирование равномерности обработки покрытий противогололедным жидким реагентом» Математическое моделирование, 31, № 3, с. 41-54 (2019)

Целью статьи является изучение равномерности обработки покрытий жидким противогололёдным реагентом при помощи математических методов. Задача представленного в статье моделирования состоит в формировании основных принципов разработки математического и программного обеспечения мониторинговой системы дорожных и аэродромных машин для распределения реагентов. Для этого предложена математическая модель движения капель жидкого противогололедного реагента в воздушной среде, учитывающая действие ветра, а также физические свойства рассматриваемой среды. На её основе разработан оригинальный программный код в среде QtOctave. С помощью компьютерного моделирования исследовано влияние высоты установки рабочего органа машины – распределительного диска – на плотность распыления реагента. С использованием возможностей программного продукта QtOctave показана графическая зависимость равномерности распределения капель по длине обрабатываемой зоны от скорости ветра. Выявлен характер влияния направления движения воздушных масс на появление неравномерности в оседании капель реагента на покрытии. Представлен график и результаты расчетов, подтверждающие отсутствие связи между частотой вращения приводного вала диска и отклонением от равномерности распределения капель в процессе противогололедной обработки аэродромных и дорожных покрытий. Полученные численные и аналитические результаты следует использовать в работе мониторинговых систем, главное назначение которых заключается в обеспечении равномерного распыления реагента с заданными дальностью и расходом.

Сухинов А.И., Чистяков А.Е. «Разностная схема КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами» Математическое моделирование, 31, № 3, с. 83-96 (2019)

Предложена разностная схема для задачи переноса, построенная как линейная комбинация схемы «кабаре» и схемы с центральными разностями. Проведено исследование устойчивости и дисперсионных свойств схемы. Показано, что построенная схема обладает лучшими дисперсионными свойствами для высокочастотных гармоник при малых числах Куранта по сравнению с известной схемой «кабаре» для уравнения переноса. Проведено сравнение погрешностей данной схемы и двухпараметрической разностной схемы третьего порядка точности на основе численных экспериментов на использовавшихся ранее наборах тестовых задач. Показано, что в норме сеточного пространства L₁ разработанная схема имеет меньшие погрешности, а также использует более компактный шаблон (при расчете i-го узла используются значения узлов i–1, i, i+1), и переход на следующий временной слой осуществляется за меньшее число арифметических операций.

Мозохина А.С., Мухин С.И. «Некоторые точные решения задачи о течении жидкости в сокращающемся эластичном сосуде» Математическое моделирование, 31, № 3, с. 124-140 (2019)

Рассматриваются некоторые точные решения уравнений гемодинамики в сокращающемся сосуде в квазиодномерном приближении применительно к задачам, возникающим при описании течения лимфы. Приведены решения для линеаризованной задачи в случае принудительных малых сокращений просвета сосуда. Получено и исследовано аналитическое решение нелинейной системы при зависимости сечения сосуда только от времени. Точные решения воспроизведены в численном расчёте.

Горобец А.В., Нейманзаде М.И., Окунев С.К., Калякин А.А., Суков С.А. «Производительность отечественного процессора Эльбрус-8С в суперкомпьютерном моделировании задач вычислительной газовой динамики» Математическое моделирование, 31, № 4, с. 17-32 (2019)

Исследуется производительность отечественного процессора Эльбрус-8С на расчетах задач вычислительной газовой динамики. Рассматриваются параллельные программные комплексы на основе методов повышенной точности на неструктурированных сетках для численного моделирования турбулентных течений. Описаны особенности архитектуры Эльбрус, а также подходы к адаптации и оптимизации программ. Производительность исследована как для алгоритмов в целом, так и для основных составляющих алгоритмов операций в отдельности. Представлены результаты сравнительного тестирования с различными многоядерными процессорами Intel и AMD.

Епихин А.С. «Численные схемы и гибридный подход для моделирования нестационарных турбулентных течений» Математическое моделирование, 31, № 5, с. 39-55 (2019)

Выполнен краткий обзор подходов к моделированию турбулентных течений и показано, что для корректного расчета крупномасштабных вихревых структур необходимо использовать вихреразрешающие методы, при этом численные схемы должны быть устойчивы и правильно описывать эволюцию вихрей в пространстве. Проведен анализ диссипативных свойств и устойчивости большинства численных схем, реализованных в пакете OpenFOAM, путем решения задач о вырождении однородной изотропной турбулентности и переноса скаляра. Установлено, что рассмотренные схемы не подходят для корректного расчёта распространения и диссипации вихрей в пространстве, поэтому выполнена их доработка с целью устранения осцилляций и сохранения приемлемого уровня диссипации. Описан и реализован алгоритм совмещения URANS и LES методов с применением зонирования расчётной области. Для апробации реализованной методики расчета нестационарных турбулентных течений проведено моделирование обтекания маневренного самолета с установленным тормозным щитком. Получены структуры обтекания летательного аппарата и его аэродинамические характеристики, выполнено сравнение с экспериментальными данными.