Савенков Е.Б., Борисов В.Е., Критский Б.В. «Представление поверхности с помощью проекции ближайшей точки в методе X-FEM» Математическое моделирование, 31, № 6, с. 18-42 (2019)

В настоящее время метод X-FEM (eXtended Finite Elements) является распространенным обобщением классического метода конечных элементов для решения задач механики деформируемого твердого тела при наличии крупномасштабных трещин. Основным достоинством метода является возможность использования расчетных сеток, не согласованных с геометрией трещин, и возможность точного учета сингулярных асимптотик решения в окрестности фронта трещины. Одним из ключевых компонентов метода является способ преставления срединной поверхности трещины в алгоритме метода. В качестве последнего традиционно используется неявный метод представления поверхности на основе метода множеств уровня. Такой подход является эффективным, робастным и позволяет проводить расчет в случае эволюционирующих трещин. В работе предлагается вариант метода X-FEM, в котором для представления срединной поверхности трещины используется метод проекции ближайшей точки и который, на взгляд авторов, имеет ряд преимуществ перед традиционным вариантом. В работе представлен короткий обзор классического варианта метода X-FEM. Подробно описаны алгоритм предлагаемого варианта метода и его отличия от традиционного, сформулированы его преимущества. Рассмотрены вопросы вычисления интегралов от функций, заданных на поверхности, описываемой проектором ближайшей точки, локального восстановления функций уровня в окрестности точки поверхности или ее края, вычисления локальных базисов на поверхности и ее крае. Описаны алгоритмические детали метода X-FEM с представлением поверхности на основе проекции ближайшей точки. В заключении приводятся результаты тестовых расчетов, демонстрирующих алгоритмические особенности метода и работоспособность предложенного алгоритма.

Богатов Е.М. «О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях» Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 27, № 1, с. 96-114 (2019)

Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x)=x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) "заиграло" в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.

Шевелев Ю.Д., Егоров Н.А. «Применение метода граничных элементов в задачах аэродинамического проектирования» Математическое моделирование, 31, № 2, с. 129-142 (2019)

Рассматривается метод граничных элементов, предназначенный для численного моделирования линеаризованных течений сплошной среды. Метод обеспечивает один из самых высоких уровней быстродействия среди всех подходов вычислительной аэродинамики. Это достигается благодаря отказу от построения пространственных расчетных сеток, поскольку величины, подлежащие определению в ходе решения задачи обтекания, распределены вдоль поверхности компоновок и, если необходимо, по поверхности вихревого следа. Данная работа подразделялась на следующие этапы: построение математической модели поверхности сложной формы и разбиение её на панели, построение согласованной сетки на поверхности, расчёт аэродинамических характеристик двух компоновок самолетов. Результаты получены для чисел Маха, соответствующих дозвуковым течениям.

Сухинов А.И., Чистяков А.Е. «Разностная схема КАБАРЕ с улучшенными дисперсионными свойствами» Математическое моделирование, 31, № 3, с. 83-96 (2019)

Предложена разностная схема для задачи переноса, построенная как линейная комбинация схемы «кабаре» и схемы с центральными разностями. Проведено исследование устойчивости и дисперсионных свойств схемы. Показано, что построенная схема обладает лучшими дисперсионными свойствами для высокочастотных гармоник при малых числах Куранта по сравнению с известной схемой «кабаре» для уравнения переноса. Проведено сравнение погрешностей данной схемы и двухпараметрической разностной схемы третьего порядка точности на основе численных экспериментов на использовавшихся ранее наборах тестовых задач. Показано, что в норме сеточного пространства L₁ разработанная схема имеет меньшие погрешности, а также использует более компактный шаблон (при расчете i-го узла используются значения узлов i–1, i, i+1), и переход на следующий временной слой осуществляется за меньшее число арифметических операций.