Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Цветкова А.В. «Нестандартные лиувиллевы торы и каустики в асимптотиках в виде функций Эйри и Бесселя для двумерных стоячих береговых волн» Алгебра и анализ, 33, № 2, с. 5-34 (2021)

Рассматривается спектральная задача ‹∇, D(x)∇φ=λφ в ограниченной двумерной области Ω, где D(x) – положительная внутри области гладкая функция, такая, что на границе области она равна нулю, а её градиент отличен от нуля. Эта задача возникает при исследовании длинных волн, захваченных берегами и донными неоднородностями. Для её асимптотических решений при λ→∞ приводятся явные формулы в случае, когда функция D(x) имеет специальный вид, гарантирующий полную интегрируемость гамильтоновой системы, отвечающей гамильтониану H(x, p)= D(x)p². Поскольку задача вырождена, соответствующие лиувиллевы торы лежат не в стандартном фазовом пространстве T*Ω, а в “пополненном” фазовом пространстве Φ⊃T*Ω, при этом их сужения на T*Ω оказываются некомпактными и “уходят на бесконечность” по импульсам при подходе к границе области. В результате возникают нестандартные каустики, образованные границей области или её частью, в окрестности которых асимптотические собственные функции выражаются через функцию Бесселя сложного аргумента. Стандартные каустики (внутри области) также могут появляться, что даёт в асимптотике функции Эйри.

Lyalinov M.A., Zhu N.Y. «Scattering of a surface wave in a polygonal domain with impedance boundary» Алгебра и анализ, 33, № 2, с. 98-135 (2021)

The two-dimensional (2D) domain under study is bounded from below by two semi-infinite and, between them, two finite straight lines; on each of the straight lines (segments), a usually different impedance boundary condition is imposed. An incident surface wave, propagating from infinity along one semi-infinite segment of the polygonal domain, excites outgoing surface waves both on the same segment (a reflected wave) and on the second semi-infinite segment (a transmitted wave); in addition, a circular (cylindrical) outgoing wave will be generated in the far field. The scattered wave field satisfies the Helmholtz equation and the Robin (in other words, impedance) boundary conditions as well as some special integral form of the Sommerfeld radiation conditions. It is shown that a classical solution of the problem is unique. By the use of some known extension of the Sommerfeld–Malyuzhinets technique, the problem is reduced to functional Malyuzhinets equations and then to a system of integral equations of the second kind with the integral operator depending on a characteristic parameter. The Fredholm property of the equations is established, which also leads to the existence of the solution for noncharacteristic values of the parameter. From the Sommerfeld integral representation of the solution, the far-field asymptotics is developed. Numerical results for the scattering diagram are also presented.

Smyshlyaev V.P., Kamotski I.V. «Searchlight asymptotics for high-frequency scattering by boundary inflection» Алгебра и анализ, 33, № 2, с. 275-297 (2021)

The paper is devoted to an inner problem for a whispering gallery high-frequency asymptotic mode's scattering by a boundary inflection. The related boundary-value problem for a Schrödinger equation on a half-line with a potential linear in both space and time appears fundamental for describing transitions from modal to scattered asymptotic patterns, and despite having been intensively studied over several decades remains largely unsolved. The solution past the inflection point is shown to have a “searchlight” asymptotics corresponding to a beam concentrated near the limit ray. Certain decay and smoothness properties of the related searchlight amplitude are established. Further interpretations of the above result are also discussed: the existence of the associated generalised wave operator, and of a version of a unitary scattering operator connecting the modal and scattered asymptotic regimes.