Карпов А.В., Новиков В.В. «К задаче об устойчивости тонких упругих оболочек» Одиннадцатая Всероссийская конференция «Необратимые процессы в науке и технике», 26–29 января 2021 г. Т. 1, с. 166-168 (2021)

Семиколенов А.В. «Моделирование давления идеального газа на плоскую поверхность с небольшим углублением» Одиннадцатая Всероссийская конференция «Необратимые процессы в науке и технике», 26–29 января 2021 г. Т. 1, с. 168-171 (2021)

Гармаева В.В. «Алгоритмическое обеспечение исследования свободных колебаний балки Эйлера–Бернулли с прикрепленными телами» Вестник Бурятского Государственного Университета. Математика, информатика, № 1, с. 79-87 (2016)

Обсуждается алгоритмическое обеспечение исследования класса механических систем с сосредоточенными и распределенными параметрами описываемого обобщенной математической моделью. Под обобщенной математической моделью понимается система гибридных дифференциальных уравнений заданной структуры, описывающая динамику балки Эйлера–Бернулли с прикрепленной системой взаимосвязанных твердых тел. Алгоритмическое обеспечение реализовано в виде комплекса программ на языке Фортран

Мижидон А.Д., Харахинов А.В. «К исследованию краевой задачи для балки Тимошенко с упруго прикрепленным телом с двумя степенями свободы» Вестник Бурятского Государственного Университета. Математика, информатика, № 1, с. 88-101 (2016)

Рассматривается механическая система, состоящая из твердого тела с двумя степенями свободы, прикрепленного с помощью двух пружин к балке Тимошенко. Для вывода уравнений динамики используется вариационный принцип Гамильтона. Для полученной в виде гибридной системы дифференциальных уравнений математической модели обсуждается подход к исследованию свободных колебаний.

Мижидон А.Д., Харахинов А.В. «Частотное уравнение для балки Тимошенко с упруго прикреплённым телом с двумя степенями свободы» Вестник Бурятского Государственного Университета. Математика, информатика, № 4, с. 61-68 (2016)

Для механической системы, состоящей из твердого тела с двумя степенями свободы, прикрепленного с помощью двух пружин к балке Тимошенко производится построение частотного уравнения. Рассматриваемая система описывается гибридной системой дифференциальных уравнений, которая с помощью гармонической подстановки сводится к алгебраическо-дифференциальной системе относительно амплитудных параметров. Частотное уравнение получено на основании, рассмотрения условий существования решений краевой задачи для алгебраическо-дифференциальной системы.

Мижидон А.Д., Харахинов А.В. «Гибридная система дифференциальных уравнений, описывающая системы твердых тел, прикрепленных к балке Тимошенко» Вестник Бурятского Государственного Университета. Математика, информатика, № 1, с. 65-77 (2019)

Для одного класса механических систем, состоящих из системы взаимосвязанных твердых тел, упруго прикрепленных к балке Тимошенко, предлагается обобщенная математическая модель, описываемая гибридной системой дифференциальных уравнений, заданной структуры. Для обобщенной математической модели разработаны теоретические основы исследования свободных колебаний, в частности, аналитико-численный метод построения частотного уравнения, основанный на рассмотрении краевой задачи для соответствующей гибридной системы дифференциальных уравнений. При этом собственные частоты по существу являются собственными значениями, при которых существует решение краевой задачи. Приведен расчетный пример, который показывает достоверность и универсальность предложенного метода исследования свободных колебаний механических систем, представляющих собой системы взаимосвязанных твердых тел, прикрепленных упругими связями к балке Тимошенко.

Фрумен А.И. «Имитационное моделирование параметрических колебаний балок» Труды Крыловского государственного научного центра (ранее: Труды ЦНИИ им. акад. А.Н. Крылова), № S2, с. 110-112 (2020)

Рассмотрены два подхода к исследованию параметрических колебаний балочных конструкций: приближенный подход – метод ВКБ (фазовых интегралов), и итерационный алгоритм, представляющий, по сути, имитационную процедуру колебаний. Проводится сопоставление получаемых результатов на примерах сжатой свободно опертой балки и кольца, нагруженного сжимающим давлением. Задача решена с помощью графического программирования в среде PVISSIM.

Михин Е.А., Дробышев А.А. «Моделирование динамики движения частицы над поверхностью прямоугольной мембраны, совершающей вынужденные колебания в поле силы тяжести» Вестник Воронежского государственного университета (ВГУ). Серия Физика. Математика, № 1, с. 38-46 (2021)

Исследована динамика движения частиц вблизи поверхности прямоугольной мембраны, совершающей вынужденные колебания. В качестве внешнего воздействия на мембрану выступали нестационарные силы, приложенные к отдельным точкам мембраны. Края мембраны считались закрепленными, и учитывалась диссипация энергии. Движение частицы описывалось на основе законов классической механики Ньютона. Оно включало свободное падение и кратковременные неупругие удары о поверхность мембраны. Найдено аналитическое решение уравнения движения мембраны для случая синусоидальных внешних сил. Для произвольной временной зависимости внешних сил нахождение закона движения мембраны сведено к численному решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Произведено компьютерное моделирование нестационарных колебаний мембраны при действии на неё сил в двух и трёх точках. При совпадении частоты внешних сил с одной из собственных частот колебаний мембраны, на её поверхности происходит возбуждение стоячих волн. Для этого случая произведено компьютерное моделирование движения частиц, которые в начальный момент располагались в зоне одной из пучностей мембраны. Движение частиц происходило в направлении к узловым линиям, при достижении которых оно прекращалось. Показана возможность управления динамикой частиц, путём изменения положения пучностей на мембране за счёт вариации параметров силового воздействия. Ключевые слова: нестационарные колебания, прямоугольная мембрана, периодические сосредоточенные силы, диссипация энергии, неупругий удар.

Анахин В.Д. «Математическое моделирование и мониторинг вибрационных технологий» Вестник Бурятского Государственного Университета. Математика, информатика, № 4, с. 64-72 (2017)

Проводится математическое моделирование и анализ динамики вибрирующих систем в целях разработки принципиальной схемы, значений параметров, наиболее рациональной динамической структуры и элементов оптимальной конструкции аппаратов вибрационного действия. В результате разработаны научные основы и установлены основные закономерности процессов, позволяющие производить расчет основных параметров. Получены теоретические уравнения и ряд формул для расчета в зависимости от режима и вида колебаний и математическая модель процессов.

Крючков А.Н., Плотников С.М., Сундуков Е.В., Сундуков А.Е. «Имитационная модель колебаний пары «солнечная шестерня–сателлиты» планетарного редуктора турбовинтового двигателя при наличии дефектов боковых поверхностей зубьев» Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение, 18, № 4, с. 87-95 (2019)

Дефекты планетарных редукторов турбовинтовых двигателей часто являются источниками возбуждения высокочастотных колебаний, вызывающих поломки элементов конструкции компрессоров. Вибрационное состояние данных редукторов представляет собой широкополосный процесс с наличием большого количества составляющих колебаний, что существенно усложняет поиск информативных диагностических признаков дефектов. Для упрощения процедуры идентификации вибрации, вызванной дефектами зубчатых зацеплений, предложена имитационная модель вибрационного состояния узла дифференциального редуктора турбовинтового двигателя. Модель учитывает кинематику и конструкцию редуктора, определяет структуру его вибрационного состояния при наличии дефектов на боковых поверхностях зубьев. На примере часто встречающегося дефекта в виде износа зубьев пары «солнечная шестерня–сателлиты» показана адекватность модели фактическому вибрационному состоянию механизма.

Нестерчук Г.А. «Потеря устойчивости жестко заделанной подкрепленной цилиндрической оболочки.» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 8, № 2, с. 247-254 (2021)

Рассматривается задача о потере устойчивости тонкостенной упругой цилиндрической оболочки, подкрепленной шпангоутами с разной жесткостью. Методом Релея–Ритца получено аналитическое решение задачи для случая жесткой заделки краев оболочки. Найдены параметры оптимального распределения массы конструкции между оболочкой и ребрами жесткости с целью максимального увеличения критического давления. Рассматриваются шпангоуты с нулевым эксцентриситетом. Проведено сравнение полученных аналитических решений с численным решением методом конечных элементов. Ключевые слова: подкрепленная цилиндрическая оболочка, асимптотические методы, устойчивость

Попов А.Л., Садовский С.А. «О соответствии теоретических моделей продольных колебаний стержня экспериментальным данным» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 8, № 2, с. 270-281 (2021)

Известен ряд теоретических моделей для описания продольных колебаний стержня. Наиболее простая и распространенная модель основана на волновом уравнении. Менее распространенной является модель, учитывающая поперечное смещение (поправка Релея). Более совершенной считается модель Бишопа, учитывающая как поперечное смещение, так и деформацию сдвига. Казалось бы, чем совершеннее теоретическая модель, тем она лучше должна согласовываться с экспериментальными данными. Тем не менее при сравнении с реально определенным экспериментальным спектром продольных колебаний стержня на большой базе собственных частот оказывается, что это не совсем так. Причем в относительном проигрыше оказывается наиболее сложная модель Бишопа. Проведены сопоставления для длинного цилиндрического стержня, также затронуты вопросы уточнения скорости продольных волн и коэффициента Пуассона материала стержня с помощью экспериментально найденных частот. Ключевые слова: стержень, продольные колебания, волновое уравнение, поправка Релея, поправка Бишопа

Алгазин С.Д. «Вычислительный эксперимент в задаче о флаттере прямоугольной пластины» Математическое моделирование, 33, № 6, с. 107-116 (2021)

Рассматривается флаттер прямоугольной пластины при произвольном направлении вектора скорости относительно сторон пластины. Построен численный алгоритм без насыщения для решения соответствующей задачи на собственные значения. Приведены результаты расчётов критической скорости флаттера и приближённая формула для критической скорости, которая при заданном направлении вектора скорости потока зависит от двух безразмерных параметров: безразмерной скорости звука в пластине и безразмерной толщины пластины.

Зиновьева Т.В., Пискунов В.А. «Колебания компенсаторного сильфона как гофрированной оболочки с жидкостью внутри» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 1, с. 31-40 (2021)

Статья посвящена актуальной проблеме судового машиностроения – расчету свободных и вынужденных колебаний трубопроводных компенсаторных сильфонов. Эти устройства используют для уменьшения вибрационной нагрузки, вызываемой силовыми энергетическими машинами корабля. При анализе колебаний компенсаторных сильфонов необходимо учитывать жидкость, находящуюся в нем. В работе расчетная модель сильфона представлена гофрированной упругой оболочкой как материальной поверхностью с пятью степенями свободы. Использован вариант классической теории оболочек, построенный на основе механики Лагранжа. Влияние жидкости учитывается по двум моделям. Сначала жидкость считается идеальной несжимаемой и учитывается через присоединенную к оболочке массу. Оболочка заменена на цилиндрическую поверхность с радиусом по средней линии гофры. Для учета влияния частоты колебаний сильфона на присоединенную инерцию жидкости в расчете используется также акустическое приближение, выведена формула для обобщенной присоединенной массы идеальной сжимаемой жидкости. Получены уравнения колебаний сильфона под действием периодической нагрузки. Задача решена методом конечных разностей. Для компенсаторного сильфона из коррозионно-стойкой жаропрочной стали получены значения собственных частот свободных колебаний. Показано, что учет жидкости значительно меняет собственные частоты сильфона, при высокочастотных колебаниях необходимо учитывать сжимаемость жидкости. Решена задача о вынужденных колебаниях сильфона при задании смещения его торца по гармоническому закону. Определены внутренние силы и моменты, а также возникающие в сильфоне напряжения по критерию Мизеса. Найдено критическое значение перемещения торца при вибрации на частоте 50 Гц, при котором сильфон переходит в пластическое состояние.

Папков С.О. «Колебания консольно-защемленной толстой пластины» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 2, с. 106-117 (2021)

Представлено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях консольно-защемленной толстой ортотропной пластины. Данная задача является достаточно громоздкой для использования точных методов теории упругости, в связи с чем для ее решения разрабатывались методы на основе вариационного подхода. В статье предлагается использовать метод суперпозиции для построения общего решения уравнений колебаний пластины в виде ряда по частным решениям, полученным на основе разделения переменных. При этом частные решения по одной из координат выбираются в форме тригонометрических функций специального вида (модифицированная тригонометрическая система). Построенное решение, в отличие известных в литературе решений на основе вариационного подхода, точно удовлетворяет уравнениям колебаний. Использование модифицированной тригонометрической системы функций позволяет получить единообразные выкладки для четных и нечетных форм колебаний и уменьшить число граничных условий на сторонах пластины с 12 до 9, при этом 5 из 9 граничных условий также выполняются точно. Структура представленного решения такова, что на границе пластины каждая из кинематических или силовых характеристик пластины представляется в виде суммы двух рядов – тригонометрического ряда и ряда по гиперболическим функциям. Относительно неопределенных коэффициентов рядов, представляющих решение, из оставшихся граничных условий, получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Сходимость решения бесконечной системы по методу редукции исследуется численно. Приведены примеры численной реализации, на основе полученного решения выполнены численные исследования спектра собственных частот консольно-защемленной толстой пластины, как при вариации упругих характеристик материала, так и при вариации геометрических параметров.

Камалутдинов А.М., Нуриев А.Н. «Гидродинамическое демпфирование колебаний балок вблизи экрана» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 5, с. 61-75 (2021)

Проводится исследование гидродинамического воздействия на длинные тонкие балки, совершающие изгибные резонансные колебания в жидкости вблизи плоской жесткой поверхности (экрана). Используется модель квазиплоского взаимодействия между жидкостью и балкой, согласно которой гидродинамическое воздействие, оказываемое на каждое сечение балки, можно считать результатом его плоского обтекания. Движение жидкости в плоскостях ортогональных оси балки моделируется с помощью нестационарной системы уравнений Навье–Стокса, решение которой проводится численно на основе метода конечных объемов. Решения строятся в широком диапазоне изменения управляющих параметров колебательного процесса: безразмерной частоты, амплитуды колебаний и расстояния до экрана. Полученные зависимости для гидродинамических сил используются для оценки влияния эффекта экрана на колебания консолей с реальными физическими параметрами.

Карпов И.А., Гребенников А.С., Ким А.А. «Применение параметрического моделирования случайных процессов для определения потерь в линейных колебательных системах» Известия РАН. Серия физическая, 85, № 6, с. 889-894 (2021)

Предложен новый метод определения потерь в акустических средах, основанный на параметрическом моделировании измеренных случайных вибрационных или акустических колебаний. Метод апробирован в лабораторном эксперименте, показана его работоспособность и перспективность.

Стец А.А. «Аппроксимация затухающих колебаний крупногабаритных космических конструкций» Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки, № 3, с. 64-76 (2021)

DOI: 10.18698/1812-3368-2021-3-64-76. Ключевые слова: аппроксимация колебаний, диссипация, динамические параметры, ускорения, долговременные орбитальные станции

Сабитов К.Б., Фадеева О.В. «Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки» Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки, 25, № 1, с. 51-66 (2021)

Изучена начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольно закрепленной балки. Такое линейное дифференциальное уравнение четвертого порядка описывает изгибные поперечные колебания однородной балки при воздействии внешней силы при отсутствии вращательного движения при изгибе. Методом разделения переменных построена система собственных функций одномерной спектральной задачи, которая является ортогональной и полной в пространстве квадратично-суммируемых функций. Единственность решения начально-граничной задачи доказана двумя способами – с применением интеграла энергии и с использованием свойства полноты системы собственных функций. Решение задачи вначале найдено при отсутствии внешней силы и однородных граничных условиях, а затем рассмотрен общий случай при наличии внешней силы и неоднородных граничных условиях. В обоих случаях решение задачи построено в виде суммы ряда Фурье. Получены оценки коэффициентов этих рядов и системы собственных функций. На основании установленных оценок найдены достаточные условия на начальные функции, выполнение которых обеспечивает равномерную сходимость построенных рядов в классе регулярных решений уравнения колебаний балки, т.е. доказаны теоремы существования решения поставленной начально-граничной задачи. Установлена устойчивость решений начально-граничной задачи в зависимости от начальных данных и правой части рассматриваемого уравнения в классах квадратично-суммируемых и непрерывных функций.

Попов А.Л., Садовский С.А. «О соответствии теоретических моделей продольных колебаний стержня с кольцевыми дефектами экспериментальным данным» Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки, 25, № 1, с. 97-110 (2021)

Рассматривается ряд теоретических моделей для описания продольных колебаний стержня. Наиболее простая и распространенная основана на волновом уравнении. Далее идет модель, учитывающая поперечное смещение (поправка Рэлея). Более совершенной считается модель Бишопа, учитывающая как поперечное смещение, так и деформацию сдвига. Казалось бы, чем совершеннее теоретическая модель, тем она лучше должна согласовываться с экспериментальными данными. Тем не менее при сравнении с реально определенным экспериментальным спектром продольных колебаний стержня на большой базе собственных частот оказывается, что это не совсем так. Причем в относительном проигрыше оказывается наиболее сложная модель Бишопа. Сопоставления проведены для стержня с малыми кольцевыми проточками, моделирующими поверхностные дефекты, который рассматривается как ступенчатый стержень. Затронуты также вопросы уточнения с помощью экспериментально найденных частот скорости продольных волн и коэффициента Пуассона материала стержня. Ключевые слова: ступенчатый стержень, продольные колебания, волновое уравнение, поправка Рэлея, поправка Бишопа, экспериментальные данные, сравнение

Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. «Задача о колебаниях стержня с неизвестным условием его закрепления на части границы» Вестник Самарского государственного университета (Естественно-научная серия), 23, № 2, с. 7-14 (2017)

Рассматривается обратная задача для одномерного гиперболического уравнения, возникающая при исследовании колебаний неоднородного стержня, упруго закрепленного на одном конце, а поведение стержня на другом его конце подлежит определению. Условие переопределения задается в виде интеграла по пространственной переменной. Получены условия на входные данные, обеспечивающие однозначную разрешимость поставленной задачи в пространстве Соболева. Доказательство существования и единственности решения задачи базируется на полученных в работе априорных оценках.

Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. «Задача с нелокальными динамическими условиями для уравнения колебаний толстого стержня» Вестник Самарского государственного университета (Естественно-научная серия), 23, № 4, с. 7-18 (2017)

В статье рассматривается начально-краевая задача с динамическим нелокальным граничным условием для псевдогиперболического уравнения четвертого порядка в прямоугольнике. Динамическое нелокальное граничное условие представляет собой соотношение, в которое помимо значений искомого решения и его производных по пространственным переменным входят производные второго порядка по переменной времени, а также интеграл от искомого решения. Эта задача может служить математической моделью процессов, связанных с продольными колебаниями толстого короткого стержня, и демонстрирует нелокальный подход к изучаемому явлению. Основной результат статьи состоит в обосновании разрешимости поставленной задачи. Доказано существование единственного обобщенного решения. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках, методе Галеркина и свойствах пространств Соболева.

Авраменко А.А., Малыхина О.И. «Метод Рэлея–Ритца и метод начальных параметров в задаче расчета динамических характеристик составных упругих конструкций балочного типа» Вестник Самарского государственного университета (Естественно-научная серия), 25, № 1, с. 44-56 (2019)

Рассматривается решение задачи определения динамических характеристик составных балочных конструкций с помощью вариационного подхода. Приводится способ аналитического определения собственных форм колебаний составной балочной конструкции на примере трехступенчатой балки. Предлагается методика формирования данных об изолированных подконструкциях путем независимого расчета динамических характеристик составных частей методом начальных параметров. Приводятся основные соотношения метода Рэлея–Ритца, которые для предварительно выбранных координатных функций позволяют сформировать данные о подконструкциях в матричном виде и получить конденсированные модели подконструкций. Полученные таким образом данные используются для формирования полной модели упругой конструкции. Проведены тестовые расчеты для балки с переменными по длине массово-жесткостными характеристиками. Рассмотрены два варианта формирования координатных функций: с применением статических форм (статическая конденсация) и комбинированного использования статических и динамических форм (динамическая конденсация). Продемонстрирован способ увеличения размерности матричной модели подконструкции при использовании статической конденсации за счет включения в состав модели степеней свободы,соответствующих физическим перемещениям внутренних сечений подконструкции. Исследовано влияние числа внутренних степеней свободы, а также числа учитываемых динамических форм на точность расчета динамических характеристик составной конструкции. Показана хорошая сходимость частот и форм собственных колебаний полной конструкции к точным значениям.

Элекина Е.Н., Вронская Е.А. «Динамическая задача для тонкостенного стержня моносимметричного профиля» Вестник Самарского государственного университета (Естественно-научная серия), 26, № 2, с. 63-69 (2020)

Приводится аналитическое решение динамической задачи для тонкостенного упругого стержня, поперечное сечение которого имеет одну ось симметрии. Решение построено для произвольной динамической нагрузки и двух типов граничных условий: шарнирного опирания при стесненном кручении и свободной депланации концевых сечений стержня; жесткого закрепления при стесненном кручении и отсутствии депланации. Особенность математической модели заключается в том, что дифференциальные уравнения движения содержат полную систему инерционных членов. Эффективным приемом решения линейных нестационарных задач механики представляются спектральные разложения, получаемые в результате применения метода интегральных преобразований. Используется структурный алгоритм метода конечных многокомпонентных интегральных преобразований, предложенный Ю.Э. Сеницким