Российский фонд
фундаментальных
исследований

Физический факультет
МГУ им. М.В.Ломоносова
 

04.16 Волны в многофазных, пористых, резиноподобных средах, полимерах

 

Ватульян А.О., Кондратьев В.С. «Колебания неоднородного пьезокерамического цилиндра при наличии затухания» Проблемы прочности и пластичности, 78, № 4, с. 406-414 (2016)

Представлены результаты исследования колебаний пьезокерамического цилиндра с радиальной поляризацией при наличии затухания. Рассмотрены неоднородные законы изменения физических характеристик (упругие модули и электрические характеристики), которые являются функциями радиальной координаты. Учет затухания осуществляется путем введения в определяющие соотношения линейной электроупругости соответствующих комплексных модулей. Полученная каноническая система решена методом пристрелки. Определены амплитудно-частотные характеристики при наличии и отсутствии затухания, проведен их сравнительный анализ. Построены графики амплитудно-частотных характеристик для некоторых законов изменения физических характеристик материала. Проведены численные расчеты для некоторых законов неоднородности. Решена обратная задача по восстановлению некоторых функций, характеризующих переменные комплексные модули. Осуществлена реконструкция законов неоднородности на основе решения простейшей модельной задачи, в которой известны значения безразмерных функций радиального смещения и радиального напряжения в наборе точек внутри области.

Проблемы прочности и пластичности, 78, № 4, с. 406-414 (2016) | Рубрики: 04.16 06.17

 

Крысько(мл) В.А., Кириченко А.В., Папкова И.В., Кутепов И.Е. «Хаотические колебания геометрически нелинейных наноразмерных пологих осесимметричных оболочек» Проблемы прочности и пластичности, 80, № 4, с. 446-455 (2018)

применением принципа Гамильтона–Остроградского построена математическая модель колебаний геометрически нелинейных наноразмерных пологих осесимметричных сферических оболочек. В основу модели положены следующие соотношения и допущения: тело оболочки упругое, однородное и изотропное, применима гипотеза Кирхгофа–Лява, используется модифицированная моментная теория упругости для объяснения зависимости упругого поведения оболочки от размерного (зависимого) параметра; пологость оболочки определяется на основе гипотез В.З. Власова, геометрическая нелинейность – по Т. Карману. Предложен подход для определения «истинного» решения. Уравнение в частных производных сводится к задаче Коши методом конечных разностей второго порядка точности, которая решается несколькими методами типа Рунге–Кутты: метод Рунге–Кутты 4-го и 2-го порядков, метод Рунге–Кутты–Фелберга 4-го порядка, метод Кеш–Карпа 4-го порядка, Рунге–Кутты–Принса–Дорманда 8-го порядка, неявный метод Рунге–Кутты 2-го и 4-го порядков. Создан алгоритм и комплекс программ для получения численных результатов. Исследуется сходимость этих методов по пространственной и временной координате. В основу исследования положена качественная теория нелинейной динамики: анализируются сигналы, фазовые портреты 2D и 3D, спектры мощности Фурье, вейвлеты Морле, эпюры прогибов, сечения Пуанкаре и автокорреляционные функции, исследование знака ляпуновского показателя проводится с помощью методов Вольфа, Канца, Розенштейна. Приводится пример расчета для пластинок и пологих оболочек. Анализ полученных результатов показал, что с увеличением размерно-зависимого параметра характер колебаний переходит из хаотического в гармонический и величина динамической критической нагрузки увеличивается.

Проблемы прочности и пластичности, 80, № 4, с. 446-455 (2018) | Рубрика: 04.16

 

Янковский А.П. «Моделирование изгибного поведения пространственно-армированных пластин из нелинейно-упругих материалов» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 1, с. 77-93 (2019)

Построена математическая модель изгибного поведения пространственно-армированных пластин при нелинейно-упругом деформировании материалов компонентов композиции. Решение сформулированной начально-краевой задачи строится по явной численной схеме типа «крест». Возможное ослабленное сопротивление армированных пластин поперечному сдвигу учитывается на основе кинематических гипотез теории Редди. Геометрическая нелинейность задачи рассматривается в приближении Кармана. Показано, что не при всех произвольных структурах пространственного армирования пластин в рамках теории Редди удается построить явную численную схему. Исследовано динамическое нелинейно-упругое поведение плоско-перекрестно и пространственно-армированных прямоугольных пластин под действием воздушной взрывной волны. Показано, что при сильно выраженной анизотропии композиции для относительно толстых пластин замена плоско-перекрестной структуры армирования на пространственную структуру позволяет уменьшить податливость конструкции в поперечном направлении на десятки процентов (до 30% и более), а интенсивность деформаций в связующем материале – в разы. Уменьшение относительной толщины пластины и степени анизотропии ее композиции приводит к уменьшению эффекта от замены плоско-перекрестной структуры армирования на пространственную структуру. В ряде случаев этот эффект может вообще не проявляться даже в относительно толстых композитных конструкциях более сложной геометрической формы, например в кольцевых пластинах с жесткой внутренней шайбой.

Проблемы прочности и пластичности, 81, № 1, с. 77-93 (2019) | Рубрики: 04.16 05.04 05.05

 

Саурин В.В. «О применении метода Галеркина к анализу собственных колебаний упругих тел» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 1, с. 19-29 (2019)

Обсуждена актуальность вопросов, связанных с изучением колебаний упругих тел и конструкций. Проведен анализ публикаций и полученных результатов в данной области. Отмечено, что одной из общих характерных черт, присущей всем приближенным методам решения краевых задач, является некоторая неоднозначность в формулировке конечномерных аппроксимаций решения. Сформулирована краевая задача нахождения собственных частот однородной мембраны. Основная идея рассмотренных в этой работе подходов состоит в том, что используемые в уравнениях математической физики переменные всегда можно разделить на две группы, одна из которых состоит из так называемых измеряемых переменных, таких как смещение, скорость, температура и т.д.; другая – из неизмеряемых величин: напряжение, импульс, тепловой поток и т. д. Исследованы вопросы, связанные с различными классическими формулировками спектральных задач, возникающих в теории упругости. Описан метод интегродифференциальных соотношений, который является альтернативным к классическим численным подходам. Исследованы возможности построения различных двусторонних энергетических оценок точности приближенных решений, вытекающих из метода интегродифференциальных соотношений. Введено однопараметрическое семейство квадратичных неотрицательных функционалов, условия стационарности которых совместно с интегродифференциальными ограничениями составляют полную систему уравнений, описывающую динамическое поведение упругих тел. Рассмотрен проекционный подход для решения спектральных задач линейной теории упругости. На примере задачи о свободных колебаниях круглой мембраны показана эффективность метода интегродифференциальных соотношений. Предложены разнообразные энергетические оценки точности приближенного решения, построенного с использованием полиномиальных аппроксимаций искомых функций. Показано, что применение стандартной техники метода Бубнова–Галеркина к задаче о свободных колебаниях приводит к возникновению комплексных собственных частот, причем действительная часть собственного числа является его приближенным значением, а мнимая часть служит оценкой точности решения. Предложенный численный алгоритм позволяет однозначно оценить локальное и интегральное качество полученных численных решений.

Проблемы прочности и пластичности, 81, № 1, с. 19-29 (2019) | Рубрики: 04.01 04.15 04.16

 

Саурин В.В. «Метод интегродифференциальных соотношений в задаче о свободных изгибных колебаниях балок переменного поперечного сечения» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 4, с. 449-461 (2019)

Обсуждаются вопросы, связанные с собственными колебаниями упругих балок переменного сечения. Отмечено, что одной из общих характерных черт, присущих краевым задачам математической физики, является некоторая неоднозначность в их формулировке. Сформулирована краевая задача нахождения собственных частот балки переменного сечения в перемещениях. Введением новых переменных, которые характеризуют поведение системы, краевая задача сводится к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. Новые переменные имеют ясный физический смысл. Одна функция является линейной плотностью импульса, а другая – изгибающим моментом в поперечном сечении балки. Такая формулировка задачи о свободных колебаниях балки переменного сечения позволяет свести систему дифференциальных уравнений к одному уравнению четвертого порядка, записанному в терминах функции импульсов. Это уравнение эквивалентно исходному уравнению, сформулированному в перемещениях, но имеет другую форму. Описан метод интегродифференциальных соотношений, который является альтернативным к классическим численным подходам. Исследованы возможности построения различных двусторонних энергетических оценок точности приближенных решений, вытекающих из метода интегродифференциальных соотношений. Рассмотрен проекционный подход для решения спектральных задач линейной теории балок. На примере задачи о свободных колебаниях прямолинейной балки с квадратично меняющейся строительной высотой по ее длине показана эффективность метода интегродифференциальных соотношений. Предложены энергетические оценки точности приближенного решения, построенного с использованием полиномиальных аппроксимаций искомых функций. Показано, что применение стандартной техники метода Бубнова–Галеркина к задаче о свободных колебаниях приводит к появлению комплексных собственных частот. При этом отношение мнимой части к действительной части собственного числа является относительной погрешностью решения краевой задачи. Предложенный численный алгоритм позволяет однозначно оценить локальное и интегральное качества полученных численных решений.

Проблемы прочности и пластичности, 81, № 4, с. 449-461 (2019) | Рубрики: 04.01 04.15 04.16

 

Рагимли О.Р., Повещенко Ю.А., Попов С.Б. «Двухслойные одномерные полностью консервативные разностные схемы газовой динамики с адаптивной регуляризацией» Математическое моделирование, 34, № 3, с. 26-42 (2022)

Рассматривается проблема численного решения системы одномерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. Несмотря на обилие известных разностных схем для решения данных уравнений, существуют случаи, в которых стандартные методики оказываются неэффективными. Например, большинство известных схем плохо разрешают профили решения в задаче Эйнфельдта и подобных ей. Поэтому целью настоящей работы было построение новой нелинейной полностью консервативной разностной схемы второго порядка аппроксимации и точности по пространству и времени свободной от вышеуказанных недостатков. Предложенная в работе схема основана на схеме А.А. Самарского и Ю.П. Попова, но дополнительно использует регуляризирующие добавки в виде адаптивной искусственной вязкости, предложенной И.В. Фрязиновым. Схема является неявной по времени и реализуется с помощью метода последовательных приближений. Для нее теоретически получены условия устойчивости решения. Схема протестирована на задаче Эйнфельдта и расчетах ударных волн. Результаты численных экспериментов подтвердили необходимые заявленные свойства, а именно: второй порядок по пространству и времени, полную консервативность, монотонность решения в соответствующих случаях.

Математическое моделирование, 34, № 3, с. 26-42 (2022) | Рубрики: 04.01 04.12 04.16

 

Леви Г.Ю., Игумнов Л.А. «О колебаниях на поверхности преднапряженного термоупругого слоистого полупространства» Проблемы прочности и пластичности, 82, № 2, с. 123-134 (2020)

Исследуются контактные задачи о возбуждении гармонических колебаний термоупругого слоистого преднапряженного тела осциллирующим жестким штампом на его поверхности. На границе раздела сред рассмотрены два режима механических условий при идеальном тепловом контакте: жесткое сцепление и отсутствие трения по одной из координат. Начально-деформированное состояние создается за счет тепловых и механических воздействий. Для отыскания решения контактных задач введены краевые задачи с однородными граничными условиями на поверхности. Построена функция Грина вспомогательных задач. Методами операционного исчисления система интегральных уравнений относительно функции распределения напряжений сведена к одномерному интегральному уравнению. Его решение получено с использованием метода фиктивного поглощения. Рассмотрены контактные задачи о колебаниях полупространства из оксида магния с покрытием из сульфида кадмия. Вычислено и представлено на графиках решение задач – распределение вертикальных смещений на всей поверхности термоупругого преднапряженного тела. Исследовано влияние предварительного нагрева покрытия и условий на границе раздела сред на распределение по поверхности слоистого полупространства вертикальных напряжений и смещения. Показано, что в условиях преднагрева и растяжения слоя в направлении горизонтальной координаты при воздействии жесткого штампа на поверхности возникают боўльшие вертикальные напряжения в случае жесткого защемления покрытия с основанием, чем при неидеальном сцеплении. На вертикальные смещения вне области контакта преднагрев и растяжение слоя, напротив, влияют больше при неидеальной сцепке.

Проблемы прочности и пластичности, 82, № 2, с. 123-134 (2020) | Рубрики: 04.12 04.16 05.04

 

Ватульян А.О., Зубков Ю.Н. «О колебаниях неоднородного пьезодиска» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 3, с. 369-380 (2019)

В рамках модели связанной электроупругости неоднородных тел рассмотрена задача об установившихся колебаниях тонкого пьезодиска с неоднородными свойствами, в частности, при наличии радиальной поляризации. Произведены необходимые упрощения в рамках традиционных гипотез, сформулированная краевая задача приведена к канонической системе дифференциальных уравнений первого порядка относительно безразмерных компонент радиального смещения и радиального напряжения с соответствующими граничными условиями. Прямая задача о колебаниях неоднородного диска решена численно на основе метода пристрелки путем численного анализа вспомогательных задач Коши. Проведен анализ амплитудно-частотных характеристик и резонансных частот в зависимости от различных законов изменения неоднородных свойств пьезодиска, которые в представленной модели характеризуются двумя функциями, одна из которых характеризует изменение упругого модуля, вторая – изменение пьезомодуля. Сформулирована обратная задача в первой постановке, в которой восстановлены законы изменения неоднородности пьезодиска (две функции) по значениям функций, характеризующих радиальное смещение и напряжение, известных в конечном наборе точек. Представлены результаты вычислительных экспериментов по решению обратной задачи в первой постановке, обсуждены различные аспекты реконструкции. Сформулирована вторая постановка обратной задачи по определению пьезоэлектрической характеристики диска, где известными считаются функция, описывающая законы изменения упругой характеристики диска, и амплитудно-частотная характеристика. Для решения обратной задачи в этой постановке сформулировано интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. Представлены результаты численных экспериментов по решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с помощью регуляризирующего метода Тихонова, обсуждены различные аспекты реконструкции.

Проблемы прочности и пластичности, 81, № 3, с. 369-380 (2019) | Рубрики: 04.14 04.16

 

Дзебисашвили Г.Т. «Применение поправочных коэффициентов в методе Рэлея при расчете основной частоты колебаний цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 8, № 4, с. 646-652 (2021)

Рассматривается применение поправочных коэффициентов в методе Рэлея при расчете основной частоты колебаний цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением. Систематизированы закономерности поведения поправочных коэффициентов. Проанализирована связь между видом поправочных коэффициентов и свойствами получаемой приближенной формулы.

Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 8, № 4, с. 646-652 (2021) | Рубрики: 04.15 04.16

 

Наумова Н.В., Иванов Д.Н., Дорофеев Н.П. «Колебания пластины с периодически изменяющимися параметрами» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 8, № 4, с. 661-669 (2021)

Рассмотрена прямоугольная пластина c периодически изменяющимися параметрами. Получено осредненное дифференциальное уравнение колебаний пластины. Вычислены значения частот. Разработанные алгоритмы и программы, основанные на использовании аналитических формул, позволяют рассчитывать различные виды неоднородных пластин. Анализ всех экспериментов по исследованию колебаний пластин с переменными параметрами показывает достоверность полученных формул. В работе проведено сравнение аналитических и численных результатов при использовании программного комплекса ANSYS методом конечных элементов и пакета Wolfram Mathematica.

Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 8, № 4, с. 661-669 (2021) | Рубрики: 04.15 04.16