Яковлева Т.В., Баженов В.Г., Кружилин В.С., Крысько В.А. «Математическое моделирование нелинейных колебаний пластинки при воздействии цветного шума с учетом контактного взаимодействия с балкой» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 3, с. 324-332 (2019)

Построена математическая модель контактного взаимодействия пластинки, локально подкрепленной по центру балкой, находящейся под действием внешней поперечной нагрузки и внешнего аддитивного цветного шума (розовый, красный, белый). Конструкция находится в стационарном температурном поле, воздействие которого учтено по теории Дюамеля–Неймана путем решения трехмерного (для пластинки) и двумерного (для балки) уравнений теплопроводности методом конечных разностей, теплообмен между пластинкой и балкой не учитывается. Для пластинки принята модель Кирхгофа, для балки – модель Эйлера–Бернулли. Построенная математическая модель учитывает физическую нелинейность упруго деформируемого материала. Для моделирования контактного взаимодействия применена теория Б.Я. Кантора. Система дифференциальных уравнений сведена к задаче Коши методами Бубнова–Галеркина в высших приближениях или конечных разностей по пространственным переменным. Задача Коши решена методами Рунге–Кутты четвертого порядка точности или методом Ньюмарка. На каждом шаге по времени для решения физически нелинейной задачи применена итерационная процедура И.А. Биргера. Для анализа результатов численного эксперимента использованы методы нелинейной динамики (построение сигналов, фазовых портретов, сечений Пуанкаре, спектров мощности Фурье и вейвлет-спектров Морле, анализ знака показателей Ляпунова методами Вольфа, Канца, Розенштейна). Приведены численные результаты влияния цветного шума на контактное взаимодействие пластинки и балки. Установлено, что красный аддитивный шум оказывает более существенное влияние на характер колебаний пластинчато-балочной конструкции по сравнению с розовым и белым шумами.

Антонов А.М., Ерофеев В.И. «Распространение волны Рэлея вдоль границы полупространства, описываемого упрощенной моделью Коссера» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 3, с. 333-344 (2019)

Рассматривается упрощенная (редуцированная) динамическая модель среды Коссера, занимающая промежуточное положение между классической динамической теорией упругости и собственно моделью среды Коссера, обладающей несимметричностью тензора напряжений и наличием моментных напряжений. В отличие от последней, в упрощенной модели три из шести констант упругости равны нулю и, как следствие, отсутствует тензор моментных напряжений. В двумерной постановке для модели редуцированной среды решена задача о распространении упругой поверхностной волны вдоль границы полупространства. Решение уравнений находилось в виде суммы скалярного и векторного потенциалов, причем у векторного потенциала отлична от нуля только одна компонента. Показано, что такая волна, в отличие от классической поверхностной волны Рэлея, обладает дисперсией. В плоскости «фазовая скорость-частота» для таких волн имеются две дисперсионные ветки: нижняя (акустическая) и верхняя (оптическая). С увеличением частоты фазовая скорость волны, относящейся к нижней дисперсионной ветке, убывает. Фазовая скорость волны, относящейся к верхней дисперсионной ветке, возрастает с увеличением частоты. Фазовая скорость поверхностной волны во всем частотном диапазоне превосходит фазовую скорость объемной сдвиговой волны. Рассчитаны напряжения и перемещения, возникающие в зоне распространения поверхностной волны.

Ватульян А.О., Зубков Ю.Н. «О колебаниях неоднородного пьезодиска» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 3, с. 369-380 (2019)

В рамках модели связанной электроупругости неоднородных тел рассмотрена задача об установившихся колебаниях тонкого пьезодиска с неоднородными свойствами, в частности, при наличии радиальной поляризации. Произведены необходимые упрощения в рамках традиционных гипотез, сформулированная краевая задача приведена к канонической системе дифференциальных уравнений первого порядка относительно безразмерных компонент радиального смещения и радиального напряжения с соответствующими граничными условиями. Прямая задача о колебаниях неоднородного диска решена численно на основе метода пристрелки путем численного анализа вспомогательных задач Коши. Проведен анализ амплитудно-частотных характеристик и резонансных частот в зависимости от различных законов изменения неоднородных свойств пьезодиска, которые в представленной модели характеризуются двумя функциями, одна из которых характеризует изменение упругого модуля, вторая – изменение пьезомодуля. Сформулирована обратная задача в первой постановке, в которой восстановлены законы изменения неоднородности пьезодиска (две функции) по значениям функций, характеризующих радиальное смещение и напряжение, известных в конечном наборе точек. Представлены результаты вычислительных экспериментов по решению обратной задачи в первой постановке, обсуждены различные аспекты реконструкции. Сформулирована вторая постановка обратной задачи по определению пьезоэлектрической характеристики диска, где известными считаются функция, описывающая законы изменения упругой характеристики диска, и амплитудно-частотная характеристика. Для решения обратной задачи в этой постановке сформулировано интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода с гладким ядром. Представлены результаты численных экспериментов по решению интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода с помощью регуляризирующего метода Тихонова, обсуждены различные аспекты реконструкции.