Касимов Ш.Г., Мадрахимов У.С. «Начально-граничная задача для уравнения колебаний балки в многомерном случае» Дифференциальные уравнения, 55, № 10, с. 1379-1391 (2019)

В многомерном случае изучается задача с начальными и краевыми условиями для уравнения колебаний балки, один конец которой заделан, а другой шарнирно закреплён. Доказана теорема существования и единственности поставленной задачи в классах Соболева. Решение рассматриваемой задачи построено в виде суммы ряда по системе собственных функций многомерной спектральной задачи, для которой найдены её собственные значения как корни трансцендентного уравнения и построена соответствующая система собственных функций. Показано, что эта система собственных функций является полной и образует базис Рисса в пространствах Соболева. На основании полноты системы собственных функций получена теорема единственности решения поставленной начально-граничной задачи.

Сабитов К.Б. «Начально-граничные задачи для уравнения колебаний балки с учётом её вращательного движения при изгибе» Дифференциальные уравнения, 57, № 3, с. 364-374 (2021)

Для уравнения колебаний балки с учётом её вращательного движения при изгибе исследуются задачи с начальными условиями и с различными граничными условиями на концах. Установлено энергетическое неравенство, из которого следует единственность решения поставленных четырёх начально-граничных задач. В случае шарнирного закрепления концов доказаны теоремы о существовании и об устойчивости решения задачи в классах регулярных и обобщённых решений.

Рудаков И.А. «О существовании счётного числа периодических решений краевой задачи для уравнения колебаний балки с однородными граничными условиями» Дифференциальные уравнения, 58, № 8, с. 1062-1072 (2022)

Доказано существование бесконечного числа периодических решений квазилинейного уравнения колебаний балки, если нелинейное слагаемое является однородной нечётной функцией, имеющей степенной рост. Граничные условия соответствуют случаям шарнирно опирающимся и упруго закреплённым концам.

Рябинин А.Н., Велигжанин А.А. «Вращательные и поступательные колебания цилиндров малого удлинения в воздушном потоке» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 9, № 4, с. 729-739 (2022)

Рассматриваются вращательные и поступательные колебания трех цилиндров, отличающихся отношением длины к диаметру цилиндра (удлинением). Цилиндры подвешивались в рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей на проволочной подвеске, содержащей стальные пружины. В равновесном положении ось цилиндров направлена горизонтально и параллельно вектору скорости набегающего потока. Под действием воздушного потока цилиндры могли совершать вращательные или поступательные колебания. К двум пружинам подвески присоединены полупроводниковые тензопреобразователи, измеряющие во время колебаний периодически изменяющееся натяжение пружин. Аналоговый сигнал с тензопреобразователей поступал на РС-осциллограф, который в цифровом виде передавал его на компьютер. После градуировки прибора и расшифровки сигнала определялись частоты и амплитуды поступательных колебаний в вертикальном направлении и вращательных колебаний вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр цилиндра и перпендикулярной вектору скорости набегающего потока. Оказалось, что в исследуемом диапазоне удлинений цилиндра происходит переход от вращательных колебаний к поступательным. Цилиндр с удлинением 1.9 под действием ветра совершает установившиеся вращательные колебания, амплитуда которых растет с увеличением скорости воздушного потока. Ранее предложенная математическая модель правильно предсказывает вращательные колебания. Квадрат амплитуды вращательных колебаний является линейной функцией числа Струхаля, если скорость воздушного потока достаточно велика. Поступательные колебания цилиндра с удлинением 1.9 являются затухающими. Уменьшение удлинения цилиндра до 1.5 сопровождается уменьшением амплитуд вращательных колебаний. При малых скоростях воздушного потока зарегистрированы поступательные колебания с малой амплитудой. Дальнейшее уменьшение удлинения до 1.0 ведет к полному отсутствию вращательных колебаний. Амплитуда поступательных колебаний растет. Поступательные колебания реализуются в ограниченном диапазоне скоростей воздушного потока.

Ивановская А.В. «Исследование поперечных колебаний элементов буксирной лебедки» Морской вестник, № 4(84), с. 58-60 (2022)

Представлен метод определения динамических нагрузок на турачку буксирной лебедки, отличный от общепринятых. Приводы подобных устройств работают в особых условиях: нескольких средах, под влиянием гидрометеорологических факторов, при высокой вибрации, переменности нагружения и т. д. Для построения математической модели турачка представлена в виде стержня переменного сечения. В результате получена модель поперечных колебаний такого стержня, а также аналитические зависимости для определения собственных частот низших форм колебаний, которые необходимы и являются основой для оценки параметров работы устройств данного типа.

Баженов В.Г., Казаков Д.А., Кибец А.И., Нагорных Е.В., Самсонова Д.А. «Постановка и численное решение задачи потери устойчивости упругопластических оболочек вращения с упругим заполнителем при комбинированных осесимметричных нагружениях с кручением» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 3, с. 95-106 (2022)

DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.1 Приводятся динамическая постановка и метод численного решения задач потери устойчивости упругопластических оболочек вращения с заполнителем по осесимметричным и неосесимметричным формам при квазистатических и динамических нагружениях в рамках двух подходов. В первом подходе задача упругопластического деформирования и выпучивания оболочек вращения с упругим заполнителем при комбинированных осесимметричных нагружениях с кручением формулируется в двумерной (обобщенной осесимметричной) постановке исходя из гипотез теории оболочек типа Тимошенко и основания Винклера. Определяющие соотношения записываются в цилиндрической системе эйлеровых координат. Для каждого элемента оболочки вводится местная лагранжева система координат. Кинематические соотношения записываются в метрике текущего состояния. Распределение компонент скоростей перемещений по толщине оболочки и тензоров скоростей деформаций в местном базисе записывается в виде суммы безмоментных и моментных составляющих, которые, в свою очередь, записываются в виде суммы симметричной и несимметричной частей в местном и в общем базисах. Учет упругопластических свойств материала оболочки осуществляется в рамках теории течения с нелинейным изотропным упрочнением. Для учета неосесимметричных форм потери устойчивости искомые функции (как перемещения, так и усилия, моменты, контактное давление) разлагаются в ряд Фурье в окружном направлении. Вариационные уравне- ния движения оболочки выводятся из общего уравнения динамики. Контакт между оболочкой и деформируемым заполнителем моделируется исходя из условий непроникания по нормали и свободного проскальзывания вдоль касательной. Вариационные уравнения динамики оболочки для осесимметричного и неосесимметричного процессов связаны между собой через физические соотношения теории пластичности. Они учитывают большие осесимметричные формоизменения и моментность напряженно-деформированного состояния оболочки. В начальной стадии неосесимметричного процесса выпучивания прогибы малы, поэтому уравнения неосесимметричного выпучивания получены как линеаризованные относительно неосесимметричных форм. Для инициирования неосесимметричных форм потери устойчивости вводятся начальные неосесимметричные прогибы. Для решения определяющей системы уравнений применяется конечно-разностный метод и явная схема интегрирования по времени типа «крест». Второй подход основан на гипотезах механики сплошных сред и реализован в трехмерной постановке. Оба подхода позволяют моделировать нелинейное докритическое деформирование оболочек вращения с упругим заполнителем, определить предельные (критические) нагрузки в широком диапазоне скоростей нагружения с учетом геометрических несовершенств формы, исследовать процессы потери устойчивости по осесимметричным и неосесимметричным формам при динамических и квазистатических сложных нагружениях растяжением, сжатием, кручением, внутренним и внешним давлением. Результаты численного моделирования сопоставляются с экспериментальными данными по кручению стальных цилиндрических упругопластических оболочек (R/h=1,45) с упругим заполнителем.

Ватульян А.О., Явруян О.В. «Колебания полосы с отслоением в рамках однопараметрической модели Айфантиса градиентной теории упругости» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 3, с. 70-82 (2022)

DOI: 10.15593/perm.mech/2022.3.0 Проведено исследование плоской и антиплоской задач об установившихся колебаниях изотропной упругой полосы с отслоением на нижней границе. Исследование направлено на анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) в окрестности вершин трещины и построении функции раскрытия трещины – основных механических показателей при исследовании задач теории трещин. Задачи решены в рамках неклассической градиентной теории упругости (ГТУ), однопараметрической модели Айфантиса. Построены граничные интегральные уравнения (ГИУ) относительно функций раскрытия трещины или их производных. Проведен анализ ГИУ, выделены регулярные и нерегулярные части, полученные ГИУ с сингулярными (с гиперсингулярными, с кубической сингулярностью) интегралами решены на основе методов коллокаций, аппроксимирующих полиномов Чебышева, квадратурных формул для сингулярных интегралов. Для решения плоской задачи применен упрощенный подход Ру–Айфантиса, позволяющий разделить исходную краевую задачу на две вспомогательные подзадачи – классическую задачу ЛТУ и упрощенную краевую задачу для отыскания градиентного решения, в которую входит найденное решение классической задачи,. Для каждой из задач построены полуаналитические выражения для функций раскрытия трещины, проведен анализ НДС в окрестности вершин трещины. Задачи также решены в случае трещины малой относительной длины, проведен анализ ГИУ в зависимости от соотношения малых параметров, получены явные выражения для функций раскрытия трещины. Проведены численные расчеты. Определены зоны работоспособности асимптотического подхода и осуществлен сравнительный анализ результатов, полученных на основе моделей ГТУ и ЛТУ, в зависимости от значений градиентного параметра и длины расслоения.

Русяк И.Г., Суфиянов В.Г., Клюкин Д.А. «Одномерная математическая модель колебаний ствола с поперечным сечением произвольной формы» Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 80, с. 133-146 (20221)

Маркова М.В. «Вынужденные колебания круговой трёхслойной пластины ступенчато-переменной толщины, побуждаемые ударным воздействием» Проблемы физики, математики и техники, № 3(52), с. 28-36 (2022)

Представлена задача о вынужденных колебаниях круговой трёхслойной пластины, имеющей ступенчатое изменение толщины внешних обрамляющих слоёв. Рассмотрено историческое изменение подходов к построению механико-математической модели для решения поставленной задачи. При описании деформирования пластины применена гипотеза «ломаной нормали»: для тонких внешних слоёв использованы гипотезы Кирхгофа, для относительно толстого срединного заполнителя – гипотеза Тимошенко. Уравнения движения пластины получены из вариационного принципа Гамильтона. Построено решение для определения перемещений, возникающих в пластине при вынужденных колебаниях, побуждаемых ударным воздействием. Приведены численные результаты полученного решения и выполнен анализ влияния вида функции ударного воздействия на характер колебаний

Артемова Е.М., Килин А.А., Коробейникова Ю.В. «Исследование орбитальной устойчивости прямолинейных качений роллер-рейсера по вибрирующей плоскости» Вестник Удмуртского университета: Математика. Механика. Компьютерные науки, 22, № 4, с. 615-629 (2022)

Получены уравнения движения роллер-рейсера в виде системы четырех неавтономных дифференциальных уравнений. Указаны два семейства частных решений, которые соответствуют прямолинейным движениям роллер-рейсера вдоль и перпендикулярно колебаниям плоскости. Приведены численные оценки мультипликаторов решений, соответствующих движению робота вдоль колебаний. Также указан частный случай, в котором удается получить аналитические выражения мультипликаторов. В этом случае показано, что в линейном приближении движение вдоль колебаний «свернутого» роллер-рейсера орбитально устойчиво при движении шарниром вперед, а все остальные движения неустойчивы. Показано, что в линейном приближении семейство, соответствующее движению робота, перпендикулярно колебаниям плоскости – неустойчиво.

Саленко С.Д., Гостеев Ю.А. «Развитие и апробация инженерной методики определения амплитуды колебаний пролетных строений» Прикладная механика и техническая физика, 83, № 6, с. 166-173 (2022)

Предложена инженерная методика определения амплитуд колебаний при вихревом возбуждении, учитывающая зависимости коэффициента возбуждающей силы, числа Струхаля и логарифмического декремента колебаний от амплитуды колебаний сооружения, распределение корреляции пульсаций аэродинамической силы по длине строения и включающая методику Eurocode как частный случай. Показано, что разработанная методика, в отличие от известных, позволяет более достоверно рассчитывать амплитуды колебаний пролетных строений при вихревом возбуждении.

Алабужев А.А., Пьянкова М.А. «Параметрическая неустойчивость одиночной капли и ансамбля капель при круговых вибрациях» Вестник Пермского университета. Серия: Физика, № 3, с. 56-65 (2022)

Рассматриваются вынужденные колебания и параметрическая неустойчивость цилиндрической капли, а также ансамбля капель при круговых вибрациях. Капля окружена несжимаемой жидкостью другой плотности и зажата между двумя параллельными пластинами. В равновесии капля имеет форму круглого цилиндра, ограниченного в осевом направлении этими пластинами. Построены динамическая и средняя формы капли. Получена система амплитудных уравнений для возмущений и исследована параметрическая неустойчивость вынужденных колебаний одиночной капли. По аналогии написана система уравнений для исследования параметрической неустойчивости для произвольной капли в ансамбле взаимодействующих капель. Построены области неустойчивости как для взаимодействующих мод, так и для мод более высокого порядка. Показано, что в случае ненулевого взаимодействия нижние моды более опасны при наличии расстройки частоты.

Дурдиев У.Д. «Обратная задача по определению неизвестного коэффициента в уравнении колебания балки» Дифференциальные уравнения, 58, № 1, с. 37-44 (2022)

Для уравнения поперечных колебаний однородной балки, свободно опирающейся на концы, рассматривается прямая начально-краевая задача и для неё изучается обратная задача по определению зависящего от времени коэффициента жёсткости балки. С помощью собственных чисел и собственных функций оператора колебания балки задачи сводятся к интегральным уравнениям. К этим уравнениям применяется принцип сжатых отображений Шаудера и доказываются теоремы существования и единственности решений.

Георгиевский Д.В. «Оценки экспоненциального затухания возмущений, наложенных на продольные гармонические колебания вязкого слоя» Дифференциальные уравнения, 56, № 10, с. 1366-1375 (2020)

Исследуется эволюция картины возмущений, наложенных на плоскопараллельное периодическое по времени течение ньютоновской вязкой жидкости в слое, одна из границ которого совершает продольные гармонические колебания вдоль самой себя, а на другой границе возможно проскальзывание материала с нулевым трением. Ставится обобщённая задача Орра–Зоммерфельда как линеаризованная задача гидродинамической устойчивости нестационарных вязких несжимаемых течений. На основе метода интегральных соотношений, основанного на вариационных неравенствах для квадратичных функционалов и развитого применительно к нестационарным течениям, выводятся достаточные интегральные оценки экспоненциального затухания начальных возмущений. Эти оценки для каждого волнового числа представляют собой неравенства, связывающие три постоянные безразмерные величины: среднюю по периоду максимальную по толщине скорость сдвига в слое, амплитуду колебаний границы и число Рейнольдса. Сравниваются между собой найденные оценки устойчивости для плоской и трёхмерной картин возмущений.

Емельянова Т.А. «Дифференциальные уравнения свободных колебаний трехслойной оболочки, подкрепленной ребрами жесткости» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 00, с. 169-181 (2002)

В настоящее время в различных областях техники широкое применение находят слоистые конструкции, и, в частности, трехслойные оболочки. В статье рассматриваются свободные колебания пологой трехслойной оболочки с легким трансверсально-изотропным заполнителем, подкрепленной ребрами жесткости. Расстояния между ребрами, а также их жесткости, считаются одинаковыми. Ребра расположены симметрично относительно срединной поверхности оболочки.

Вихренко В.С., Пищов С.Н. «Динамика колебаний двухосного автомобиля МАЗ-4570» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 18, с. 101-112 (2005)

Spectral theory is used for investigating the characteristics of motion of a vehicle with two vibrational degrees of freedom in longitudinal section. As an example truck MAZ-4570 is considered.

Астахов Э.И., Кудин В.В., Черняк М.М. «Алгоритмы анимации колебаний в лабораторной работе по виброизоляции машин» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 20, с. 149-152 (2006)

The mathematical algorithm is adduced for calculating fluctuation in vibration exciter and for the object of vibration protection during line vibrainsulation for further computer animation of fluctuations on the computer display.

Мачихо Д.В., Сакевич В.Н. «Спектральные особенности колебаний, возникающих в стержневой конструкции после импульсного воздействия на неё» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 33, с. 295-298 (2018)

Экспериментально изучены спектры колебаний стержневой конструкции после импульсного воздействия на неё как периодическими, так и одиночными импульсами. Дана оценка частоты ударного воздействия, при которой стержневая система периодическое воздействие будет воспринимать как одиночные импульсы и спектр частот будет сплошным.