Абдульманов К.Э., Веденеев В.В. «Линейное и нелинейное развитие изгибных возмущений в трубе с переменными упругими свойствами с протекающей внутри жидкостью» Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 322, с. https://www.mathnet.ru/rus/tm4344 (2023)

Рассматриваются изгибные колебания трубы, заполненной движущейся жидкостью, лежащей на упругом основании с неоднородным коэффициентом упругости. В 1993 г. А.Г. Куликовским было аналитически показано, что возможно такое распределение параметров упругости, при котором в каждой точке система будет либо локально устойчивой, либо неустойчивой конвективно. При этом, несмотря на отсутствие локальной абсолютной неустойчивости, существует глобальная растущая мода, образование которой связано с наличием точек внутреннего отражения волн. В настоящей работе проводится численное моделирование развития начального возмущения в такой системе. В линейной постановке продемонстрировано, как происходит преобразование возмущения в растущую собственную моду после серии отражений и прохождений через участок локальной неустойчивости. В нелинейном постановке, где учитывается нелинейное натяжение трубы в рамках модели Кармана, показано, что рост возмущения ограничен, при этом колебания приобретают квазихаотический характер, но не покидают зоны, ограниченной точками внутреннего отражения, определяемыми линеаризованной задачей.

Жаворонок С.И. «Применение расширенной теории пластин n-го порядка к решению задачи о дисперсии волн в градиентно-неоднородном слое» Механика композиционных материалов и конструкций, 25, № 2, с. 240-258 (2019)

Предложено решение дисперсионной задачи для градиентно-неоднородного упругого плоского слоя. Решение основано на расширенной теории пластин типа И.Н. Векуа–А.А. Амосова, обеспечивающей точное удовлетворение краевым условиям второго рода на лицевых поверхностях пластины в рамках двумерной модели любого порядка. Приведена вариационная формулировка задачи динамики неоднородной пластины, соответствующее теории n-го порядка, в переменных поля первого рода – коэффициентах разложения компонентов вектора перемещения по биортогональной системе базисных функций толщинной координаты. Двумерная модель пластины задана поверхностной плотностью функционала Лагранжа и неголономными уравнениями связей, следующими из силовых краевых условий на лицевых поверхностях пластины. На базе вариационной формулировки получены уравнения движения пластины, являющиеся обобщенными уравнениями Лагранжа второго рода двумерной континуальной системы. Спектральная задача для распространяющихся нормальных волн в плоском градиентно-неоднородном слое поставлена как стационарная задача для двух квадратичных форм с ограничениями, решаемая методом Голуба. Вычислены частоты запирания волн и формы нормальных мод в несимметричном слое со степенным распределением объемной доли структурных составляющих двухкомпонентного материала, а также распределения компонентов тензора напряжения, соответствующие формам нормальных волн. Проведен анализ сходимости приближенного решения по величинам частот запирания нормальных волн при различных показателях степенного закона распределения структурного состава. Показано, что при преобладании структурной составляющей с большим модулем упругости минимально необходимые порядки соответствуют однородному слою; формы нормальных мод достаточно близки к формам однородного слоя. При преобладании структурной составляющей с меньшим модулем упругости и образовании области локального повышения жесткости минимально необходимые порядки теории превышают таковые для однородного слоя на единицу для некоторых мод, различие форм распространяющихся мод существенно, особенно для высших фазовых частот. Распределения напряжений по толщине существенно несимметричны для высших частот.

Жаворонок С.И. «О применении различных уравнений трехмерной теории пластин n-го порядка в задачах о дисперсии нормальных волн в упругом слое» Механика композиционных материалов и конструкций, 25, № 4, с. 595-613 (2019)

Рассмотрена задача о дисперсии нормальных волн в плоском упругом слое. Построено приближенное решение, основанное на различных вариантах трехмерной теории пластин n-го порядка. Модель пластины базируется на Лагранжевом формализме аналитической динамики континуальных систем со связями и задана конфигурационным пространством со множеством переменных поля, плотностью функционала Лагранжа и уравнениями связей, следующими из краевых условий, перенесенных с лицевых на базовую плоскость. Приведенная общая вариационная формулировка расширенной теории неоднородных анизотропных пластин, обеспечивающей точное удовлетворение краевым условиям на лицевых поверхностях, является ковариантной и допускает применение различных типов базисных функций, в том числе ортогональных полиномов и финитных функций формы, соответствующих конечно-элементной дискретизации пластины по толщине. Методом множителей Лагранжа получены уравнения движения трансверсально-неоднородной изотропной пластины, и рассмотрен вариант уравнений с исключенными множителями, аналогичных уравнениям Воронца в аналитической динамике дискретных систем со связями. Показано, что дисперсионная задача в случае расширенной теории пластин сводится к сингулярной обобщенной проблеме собственных значений. Вычислены частоты запирания распространяющихся мод нормальных волн, проведен сравнительный анализ решений на базе расширенной и элементарной теории пластин, пренебрегающей связями, и показано, что учет связей приводит к снижению эффектов запирания. Проведен сравнительный анализ решения на основе элементарной теории пластин с использованием в качестве базиса полиномов Лежандра, и решения, основанного на кусочно-линейных базисных функциях, соответствующего методу спектральных элементов, и показано, что метод ортогональных полиномов обеспечивает ускоренную сходимость к точному решению по сравнению с методом спектральных элементов.

Жаворонок С.И. «Задачи о дисперсии волн в неоднородных волноводах: методы решения (обзор). Часть I» Механика композиционных материалов и конструкций, 27, № 2, с. 227-260 (2021)

Представлен краткий обзор современного состояния и тенденций развития методов решения задачи о дисперсии нормальных волн в неоднородных, в первую очередь функционально-градиентных, упругих волноводах. Кратко описаны основные типы функционально-градиентных материалов и конструкций, в том числе тонкостенные элементы с градиентной структурой, и их основные инженерные приложения. Указаны проблемы моделирования напряженно-деформированного состояния функционально-градиентных пластин и оболочек и возможные способы их преодоления. Рассмотрены основные теоретические методы определения эффективных физических постоянных функционально-градиентных материалов и оценки эффективных констант, применяемые на практике. Перечислены основные зависимости эффективных физических постоянных материала от координат, использующиеся в задачах динамики. Кратко описана постановка задачи динамики неоднородного волновода и формулировка задачи о дисперсии нормальных волн. В первой части обзора основное внимание уделено некоторым аналитическим методам решения дисперсионных задач, главным образом матричным методам, опирающимся на формулировку задачи в пространстве изображений в форме системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Приведены определения векторов состояния, соответствующие общепринятым формализмам Штро и Коши, формулировки разрешающих уравнений и краевых условий на поверхностях волновода. Описаны классические методы решения стационарной задачи динамики для слоистого волновода, являющиеся основой для аппроксимации функционально-градиентного материала системой слоев с постоянными свойствами: метод переходных матриц и его основные модификации, обеспечивающие устойчивость вычислений, и метод глобальных матриц. Рассмотрены развивающиеся в последние 15 лет методы реверберационных матриц, матриц жесткости и матриц рассеяния, а также метод рядов Пеано. Приведены некоторые ключевые решения задач о дисперсии волн для неоднородных слоев, повышающие вычислительную эффективность аппроксимации функционально-градиентного волновода слоистой структурой, и метод построения в неявном виде общего решения для волновода с произвольным законом изменения свойств. Кратко описаны ключевые преимущества и основные недостатки описанных методов. Во второй части обзора основное внимание будет уделено методам полуаналитического решения дисперсионных задач, основанным на приближении волновода эквивалентной в некотором смысле системой с конечным числом степеней свободы: методам степенных рядов, обобщенных рядов Фурье, полуаналитических конечных элементов и спектральных элементов, а также методам, основанным на различных теориях пластин и оболочек.

Макаревский Д.И., Сердюк Д.О., Федотенков Г.В. «Волны в анизотропной пластине Тимошенко большой протяженности» Механика композиционных материалов и конструкций, 29, № 1, с. 54-68 (2023)

Данная работа посвящена построению аналитического решения задачи о распространении нестационарных волн в тонкой анизотропной пластине большой протяженности. Подход к решению основан на принципе суперпозиции и методе функций Грина. Его суть заключается в связи искомого решения с нагрузкой при помощи интегрального оператора типа свёртки по пространственным переменным и по времени. Ядром этого оператора является функция Грина для анизотропной пластины. Она представляет собой нормальные перемещения в ответ на воздействие единичной сосредоточенной нагрузки. Для математического описания сосредоточенной нагрузки используется дельта-функция Дирака. Пространственные нестационарные функции Грина для анизотропной пластины Тимошенко построены впервые с помощью аналитических методов. В качестве модели анизотропного материала рассматривается упругая среда с единственной плоскостью симметрии, геометрически совпадающей со срединной плоскостью пластины. Движение пластины рассмотрено в декартовой системе координат. В начальный момент времени пластина находится в невозмущенном состоянии. Для решения использованы интегральные преобразования Лапласа по времени и двумерное интегральное преобразование Фурье по координатам. Оригиналы искомых функции по Лапласу построены при помощи второй теоремы разложения для преобразования Лапласа. Оригиналы по Фурье построены с помощью связи интеграла обращения преобразования Фурье с рядом Фурье на переменном интервале. Полученные функции Грина позволили представить искомый нестационарный прогиб и углы поворота в виде тройных сверток функций Грина с функцией нестационарной нагрузки. Для вычисления интеграла свёртки и построения искомого решения использован метод прямоугольников. Результаты решения представлены графически.