Скачёк П.Д. «Особенности нелинейного расчета изгибаемых стержней, частично опертых на упругое основание» Наука и техника, 22, № 2, с. 141-149 (2023)

Исследуются результаты решения пространственных контактных задач о свободном опирании изгибаемых стержней (далее – балок) на упругие четверть-пространство и октант пространства. В задачи исследования входят: определение напряженного состояния контактных площадок, получение картины распределения по ним контактных напряжений и изучение особенностей, возникающих при решении данных контактных задач. Основной метод решения – метод Б.Н. Жемочкина, основанный на дискретизации контактных областей путем замены непрерывного контакта точечным. Такой подход позволяет свести контактную задачу к расчету статически неопределимой системы хорошо разработанными методами строительной механики. Математическая модель решаемых контактных задач строится в предположении линейно-упругой (геометрическая и физическая линейность) работы как изгибаемого элемента, так и упругого основания. Поскольку в процессе деформирования концевые участки балки могут оторваться от опорных площадок, решаемые контактные задачи относятся к группе контактных задач с заранее неизвестной областью контакта. Расчетные схемы таких задач являются конструктивно нелинейными, и их расчет ведется итерационными методами. По результатам решения рассматриваемых контактных задач обнаружено, что при геометрически симметричном опирании балки слева и справа на упругие четверть-пространства (октанты пространства) с равными опорными площадками, но различными механическими характеристиками, а также симметричном загружении значения опорных реакций, рассматривая их как равнодействующие контактных напряжений на левой и правой контактной площадке, и координаты точек их приложения не равны между собой. К подобному результату приводит и решение контактной задачи в случае опирания балки с одной стороны на упругое четверть-пространство, а с другой – на край октанта пространства. К тому же по всей длине балки появляется постоянный крутящий момент, свидетельствующий о том, что балка находится в условиях поперечного изгиба с кручением.

Кумашов Р.В. «Применение способа Жемочкина в нелинейном расчете железобетонных плит покрытия автомобильных дорог на упругом основании» Наука и техника, 22, № 2, с. 158-167 (2023)

Рассмотрена прямоугольная железобетонная плита с учетом ее физической нелинейности на линейно-упругом однородном основании под действием вертикальной внешней нагрузки. Анизотропия и неоднородность плиты обусловлены свойствами железобетона, а также образованием трещин от действия произвольной нагрузки в процессе эксплуатации. Нелинейную задачу решали способом Жемочкина с использованием итерационного алгоритма метода упругих решений Ильюшина. Для определения коэффициентов разрешающих уравнений способа Жемочкина применяли метод Ритца (определение прогибов плиты с защемленной нормалью) и решение Буссинеска (определение перемещений точек поверхности упругого полупространства). На первой итерации плиту рассчитывали, как линейно-упругую, ортотропную и однородную, на последующих – как линейно-упругую, анизотропную и неоднородную на каждом участке Жемочкина. Прогибы срединной поверхности плиты от единичной силы определяли в виде ряда по первым пяти частным решениям Клебша. Выполнены экспериментальные и численные исследования. Последние – с помощью компьютерной программы MATHEMATICA. Полученные результаты показали, что предлагаемая методика расчета позволяет точно описать распределение осадок и реактивных напряжений под плитой. Верификацию методики статического нелинейного расчета прямоугольной железобетонной плиты с учетом ее физической нелинейности осуществляли путем сравнения результатов расчетов максимальных осадок и средних давлений под плитой, вычисленных с использованием предлагаемой методики, и результатов, полученных с помощью метода послойного суммирования и современных программных комплексов «Лира» и PLAXIS 3D.

Куликовский А.Г., Чугайнова А.П. «Продольно-крутильные волны в нелинейно-упругих стержнях» Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 322, с. https://www.mathnet.ru/rus/tm4348 (2023)

Ранее была получена система гиперболических уравнений четвертого порядка, описывающая продольно-крутильные длинные нелинейные волны малой амплитуды, распространяющиеся по упругому стержню. В каждую сторону по стержню распространяются волны двух типов: быстрые и медленные. В предлагаемой работе исходя из упомянутой системы уравнений получена гиперболическая система второго порядка, описывающая продольно-крутильные волны, распространяющиеся с близкими скоростями вдоль стержня в одном направлении. Предполагается, что волны, распространяющиеся в противоположном направлении вдоль стержня, имеют пренебрежимо малую амплитуду. Показано, что изменение величин в простых и ударных волнах, описываемых системой уравнений второго порядка, полученной в данной работе, в точности совпадает с изменением величин в соответствующих волнах, описываемых исходной системой уравнений четвертого порядка, а скорости этих волн близки. Исследовано изменение величин в простых волнах (волнах Римана) и условия их опрокидывания.

Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. «Резонансные колебания трехслойной цилиндрической оболочки с упругим наполнителем» Механика композиционных материалов и конструкций, 22, № 1, с. 60-68 (2016)

Приведена постановка и решение задачи о вынужденных колебаниях трехслойной цилиндрической оболочки, заполненной упругой средой (наполнителем). Для изотропных несущих слоев приняты гипотезы Кирхгофа–Лява. В толстом заполнителе учитывается работа поперечного сдвига и обжатие по толщине. Изменение перемещений принято линейным по поперечной координате. На границах контакта используются условия непрерывности перемещений. Учтены радиальные и окружные силы инерции. Реакция упругого наполнителя описывается моделью Винклера. Получен ряд аналитических решений и проведен численный анализ зависимостей перемещений при действии резонансного нагружения.

Русских С.В. «Нелинейная динамика плоской упругой стержневой системы в редуцированной квазистатической постановке по изгибу» Механика композиционных материалов и конструкций, 28, № 2, с. 274-287 (2022)

Рассматривается нелинейная динамика плоской упругой стержневой системы, которая состоит из произвольного числа упругих нерастяжимых стержней, связанных между собой на концах упруговязкими шарнирами, допускающими большие относительные углы поворота. Перемещения каждого стержня описываются его конечным поворотом как твердого тела относительно прямой, соединяющей два соседних шарнирных узла, и изгибом с малым поперечным перемещением. Активное управление системой осуществляется с помощью горизонтальных и вертикальных сил, приложенных в шарнирных узлах. Уравнения движения составной системы с произвольным числом стержневых элементов в неподвижной системе координат составлены на основе принципа возможных перемещений и представлены в виде конечных формул, удобных для численного интегрирования с использованием стандартных программ и алгоритмов, реализуемых в языках компьютерной алгебры. Редуцирование исходной системы уравнений выполняется по квазистатическому изгибу путем пренебрежения инерцией изгибных форм движения стержней и исключения обобщенных координат, представляющих эти формы, которые являются углами между касательной к изогнутой оси стержня и его недеформированной осью. Таким образом, из уравнений движения системы исключаются «быстрые переменные». Представлен алгоритм преобразования исходных уравнений в уравнения редуцированной системы для произвольного числа стержневых элементов системы. Рассмотрен пример численного решения задачи о реакции стержневой системы на произвольный возмущающий импульс в полной и редуцированной постановках. Приведены сравнения и даны оценки точности и трудоемкости численного интегрирования при рассмотрении полной системы нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений редуцированной системы.