Тушев О.Н., Кондратьев Е.К. «Динамика линейной механической системы под действием аддитивных и мультипликативных полигармонических высокочастотных воздействий с некратными частотами» Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Машиностроение, № 2, с. 121-133 (2024)

В общем случае предположено, что под действием аддитивных и мультипликативных возмущений возбуждается каждый элемент линейной механической системы. Решение выполнено методом Боголюбова в два приближения с небольшим изменением. Движение представляется в виде суммы "медленной" и "быстрой" составляющих. Предложена формализация задачи, позволившая в векторном уравнении движения выделить воздействия как скалярные элементы с матричными коэффициентами специального вида, что принципиально упростило аналитические преобразования. Поскольку внешние воздействия представляют собой апериодические процессы, то во втором приближении осреднение быстрых гармоник на периоде заменено сегрегацией движений, как и в первом приближении. Показано, что в системе могут возникнуть низкочастотные колебания на комбинационных частотах гармоник внешних воздействий, включающих в себя множественные обычные и параметрические резонансы, а также постоянные составляющие. Используемая формализация позволила не только единообразно описать все возможные варианты приложения аддитивной и мультипликативной составляющих нагрузки, но и получить решение поставленной задачи структурно в том же виде, что и для скалярного уравнения. Приведен пример, в котором результаты сопоставлены с решением, полученным численным моделированием движения.

Попов В.С., Попова А.А. «Динамика взаимодействия пульсирующего слоя вязкой сжимаемой жидкости с пластиной на нелинейно-упругом основании» Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки, № 3, с. 45-69 (2024)

Предложена математическая модель взаимодействия пульсирующего ползущего слоя вязкой сжимаемой жидкости (газа) с пластиной, установленной на упругом основании с жесткой кубической нелинейностью. Пластина является нижней стенкой узкого плоского канала, верхняя стенка которого полагается жесткой. Рассмотрен случай изотермического состояния, когда пульсация жидкости обусловлена заданным законом изменения давления на торцах канала. Модель включает в себя уравнения Навье–Стокса для вязкой сжимаемой жидкости, уравнение неразрывности, уравнение состояния баротропной среды и уравнение динамики пластины типа Кирхгофа, краевые условия на границах контакта разнородных сред и торцах канала. Проведен асимптотический анализ модели методом возмущений и получены линеаризованные уравнения динамики тонкого ползущего слоя сжимаемой вязкой жидкости. С использованием метода итераций найдено распределение давления в слое жидкости. В результате получено интегродифференциальное уравнение изгибных аэроупругих колебаний пластины на нелинейно-упругом основании. На базе решения этого уравнения методом Бубнова–Галеркина получено обобщенное уравнение Дуффинга. Из этого уравнения следует, что сжимаемость жидкости ведет к уменьшению инерционных свойств рассматриваемой системы и к появлению фазового запаздывания возмущающей силы. С использованием метода гармонического баланса определен основной аэроупругий отклик пластины и нелинейная характеристика ее фазового сдвига. Численное исследование этих характеристик показало, что учет сжимаемости жидкости приводит к возрастанию значений резонансных частот и амплитуд колебаний пластины. Показана возможность подавления неустойчивых колебаний пластины со скачкообразным изменением амплитуд ее прогибов за счет изменения толщины слоя жидкости

Литвинов В.Л., Литвинова К.В. «Об одном обратном методе решения задач о колебаниях механических систем с движущимися границами» Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, № 3, с. 53-59 (2024)

Рассмотрен аналитический метод решения волнового уравнения, описывающего колебания систем с движущимися границами. Путем замены переменных, останавливающей границы и оставляющей уравнение инвариантным, исходная краевая задача сведена к системе функционально-разностных уравнений, которая может быть решена с помощью прямого и обратного методов. Описан обратный метод, позволяющий аппроксимировать достаточно разнообразные законы движения границ законами, полученными из решения обратной задачи. Найдены новые частные решения для достаточно широкого круга законов движения границ. Рассмотрен прямой асимптотический метод приближенного решения функционального уравнения. Произведена оценка погрешностей приближенного метода в зависимости от скорости движения границы.

Яковлева Т.В., Крысько В.А. «Математические модели нелинейной динамики функционально-градиентных нано/микро/макромасштабных пористых замкнутых цилиндрических оболочек Кирхгофа–Лява» Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки, 28, № 1, с. 96-116 (2024)

Построены новые математические модели динамики нелинейных нано/микро/макромасштабных функционально-градиентных пористых замкнутых цилиндрических оболочек. В качестве кинематической модели для оболочек выбрана гипотеза Кирхгофа–Лява. Геометрическая нелинейность учитывается по модели фон Кармана. Наноэффекты учитываются согласно модифицированной моментной теории упругости. Вариационные и дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия получены из принципа Гамильтона. Проводится доказательство теоремы существования решения на основе теории обобщенных решений дифференциальных уравнений (методы гильбертовых пространств, вариационные методы). В качестве примеров рассмотрены нано/микро/макромасштабные замкнутые цилиндрические оболочки как системы с «почти» бесконечным числом степеней свободы под действием полосовой поперечной знакопеременной нагрузки. В качестве метода сведения уравнений в частных производных к задаче Коши принят метод Бубнова–Галеркина в высших приближениях. Исследована его сходимость. Задача Коши решена методами Рунге–Кутты от четвертого до восьмого порядков точности и методом Ньюмарка. Применение нескольких численных методов на каждом этапе моделирования необходимо для достоверности получаемых результатов. Исследование характера сложных колебаний замкнутой цилиндрической нано/микро/макромасштабной оболочки проведено методами нелинейной динамики, для этого построены сигналы, фазовые портреты, применены Фурье-анализ и различные вейвлет-преобразования, среди которых вейвлет Морле оказался наиболее информативным. Анализ типа хаотических колебаний проводится на основе спектра показателей Ляпунова методом Сано–Савада и старшего показателя несколькими методами: Канца, Розенштейна, Вольфа. Показано, что величина размерно-зависимого параметра и учет пористости оказывают существенное влияние на характер колебаний цилиндрических оболочек. Обнаружено явление гиперхаоса. Ключевые слова: динамика, пористость, модифицированная моментная теория упругости, теоремы существования решения, гиперхаос, модель Кирхгофа–Лява

Litvinov V.L., Litvinova K.V. «On one solution of the problem of vibrations of mechanical systems with moving boundaries» Вестник Самарского государственного университета (Естественно-научная серия), 30, № 1, с. 40-49 (2024)

An analytical method of solving the wave equation describing the oscillations of systems with moving boundaries is considered. By changing the variables that stop the boundaries and leave the equation invariant, the original boundary value problem is reduced to a system of functional-difference equations, which can be solved using direct and inverse methods. An inverse method is described that makes it possible to approximate quite diverse laws of boundary motion by laws obtained from solving the inverse problem. New particular solutions are obtained for a fairly wide range of laws of boundary motion. A direct asymptotic method for the approximate solution of a functional equation is considered. An estimate of the errors of the approximate method was made depending on the speed of the boundary movement.

Суслов А.В., Ярославкина Е.Е. «Исследование влияния температурных напряжений на собственные колебания пластин» Вестник Самарского государственного университета (Естественно-научная серия), 30, № 2, с. 45-53 (2024)

Проведены исследования влияния температурных напряжений на частоты собственных колебаний прямоугольных пластин при различных условиях закрепления с помощью аналитического метода и компьютерного моделирования методом конечных элементов. Установлено, что с ростом температуры частота собственных колебаний уменьшается. Наличие температурных напряжений оказывает существенное влияние на изменение частоты колебаний. Сделан вывод, что наибольшее изменение претерпевают низшие частоты. Кроме этого, с ростом температуры меняется форма колебаний

Картопольцев В.М. «К вопросу вибродиагностики свободных колебаний балок методом Герца» Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета (ТГАСУ), 26, № 3, с. 242-252 (2024)

Рассмотрены вопросы вибродиагностики свободных колебаний балок пролетных строений металлических мостов на основе общей теории соударения тел по методу Герца. Динамическое взаимодействие груза и балки при ударе учитывает инерционность и ускорение в процессе колебания тел и представляет актуальную контактную теорию упругости и упругопластического деформирования. Цель работы. На основе численного решения контактной задачи способом Л.И. Маламента и общей теории малых упругопластических деформаций определить зависимости ударного воздействия груза о балку и характеристики контактного процесса соударения тел, их инерционность и ускорение во времени. Результаты. Совершенствуется механизм вычисления свободных колебаний балок пролетных строений мостов в условиях практической вибродиагностики, отвечающей современным требованиям теории колебания при динамическом воздействии нагрузки.

Корзюк В.И., Рудько Я.В. «Классическое решение смешанных задач из теории продольного удара по упругому полубесконечному стержню в случае отделения ударившего тела после удара» Известия Национальной академии наук Беларуси. Серия физико-математических наук (Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук), 60, № 2, с. 95-105 (2024)

Рассматриваются две связанные начально-краевые задачи, которые моделируют процесс продольного удара в полубесконечном стержне на основе теории Сен-Венана. Математическая постановка задачи представляет собой две смешанные задачи для одномерного волнового уравнения с условиями сопряжения. Условия Коши задаются на пространственной полупрямой. Начальное условие для частной производной по временной переменной имеет разрыв первого рода в одной точке. На временной полупрямой задается граничное условие, содержащее неизвестную функцию и ее частные производные первого и второго порядка. Решение строится методом характеристик в явном аналитическом виде. Доказана единственность и установлены условия существования кусочно-гладкого решения. Рассмотрено классическое решение смешанной задачи с условиями сопряжения.

Приходько В.Ю., До Ву Минь Тханг «Дифракция низкочастотных волн на упругих тонкостенных оболочках вращения» RUSSIAN TECHNOLOGICAL JOURNAL (Предыдущее название: Российский технологический журнал (с 2016 по 2021 гг.), Вестник МГТУ МИРЭА (с 2013 по 2015 гг.), 8, № 6, с. 157-166 (2020)

Найдены асимптотические и функциональные соотношения, связывающие характеристики рассеянного ближнего и дальнего полей с упругими и спектральными характеристиками тонкостенных вытянутых упругих оболочек, описываемых теорией Лява. Исследование проводилось методом двумасштабных разложений. Для ближнего рассеянного поля получены рекуррентные системы краевых задач для уравнений Лапласа и Пуассона, решения которых найдены в явном виде. Диаграммы направленности рассеянного поля получены при помощи теории волновых потенциалов для уравнения Гельмгольца. Найдены асимптотические формулы для плотностей потенциалов простого и двойного слоев. Это позволило представить асимптотику диаграммы направленности рассеянного поля в виде параметрических интегралов, зависящих от углов падения и наблюдения, частоты, формы поверхности и материальных характеристик оболочки. Асимптотический метод оказался эффективен для сильно вытянутых оболочек, когда отношение максимального продольного диаметра к максимальному диаметру вращения больше десяти. Для таких сильно вытянутых тел применение различных разностных и итерационных схем проблематично из-за трудностей триангуляции поверхности оболочки. Приведены численные реализации расчетов диаграмм направленности стальной оболочки сфероидальной формы в воде при различных углах падения плоских волн в широком диапазоне частот. Проведенные в работе численные расчеты не привязаны к определенной частоте, так как геометрические размеры приведены в длинах волн. Расчеты показали, что диаграмма направленности для вытянутых тел начинает отличаться от сферически симметричной при значениях kl>4. При возрастании волновых размеров оболочки возникают лепестки диаграммы направленности, направление которых зависит от вышеуказанных параметров. Количество лепестков, их направленность и мощность можно изменять при помощи специальных распределений импедансов поверхности оболочек.

Кувыркин Г.Н., Соколов А.А. «Принцип Сен-Венана в задачах нелокальной теории упругости» Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Естественные науки, № 4, с. 4-17 (2023)

При моделировании конструкционных материалов приходится использовать модели, учитывающие структурные особенности на микроуровне. К таким моделям можно отнести модель нелокальной теории упругости Эрингена. Рассмотрено применение указанной модели в сравнении с классической моделью упругости. Главная особенность нелокальной модели состоит в том, что она учитывает дальние взаимодействия частиц сплошной среды, классическая постановка является ее частным случаем. При этом уравнения имеют интегро-дифференциальную форму, что в значительной степени усложняет получение аналитических решений. В связи с этим для поиска решений был применен метод конечных элементов с использованием изопараметрических конечных элементов. Здесь, как и в классической модели теории упругости, выполняются основные балансные соотношения. Однако полученные решения в значительной степени отличаются от классических, поскольку у таких решений проявляется кромочный эффект вблизи свободных границ области. Этот эффект, а также сохранение баланса сил продемонстрированы на примере выполнимости принципа Сен-Венана при растяжении прямоугольной пластины. Полученные в нелокальной постановке решения демонстрируют значительное снижение уровня растягивающего напряжения вблизи свободных границ и касательные напряжения в поперечном сечении

Мальцев А.Г., Михеев К.Г., Огурцов С.В., Пушкарев В.В. «Расчет уровней гидродинамического шума трубопроводной арматуры численными методами» Морской вестник, № 2, с. 61-65 (2024)

Уровень гидродинамического шума (ГДШ) трубопроводной арматуры, возникающего при турбулентном течении жидкости, является одним из основных критериев оценки соответствия изделия предъявляемым требованиям, поэтому необходимо на этапе проектирования иметь возможность расчета данного параметра. Существуют различные методы расчета прогнозируемых уровней ГДШ. В инженерной практике широко используются методы, основанные на полуэмпирической теории турбулентных течений, а также статистические характеристики турбулентных потоков. Такой подход ограничивает круг решаемых задач относительно простыми случаями. Наиболее широкими возможностями расчета прогнозируемого уровня ГДШ обладают численные методы, пересекающиеся с моделированием турбулентных течений. Прогнозирование уровней ГДШ турбулентного потока, возникающего при обтекании трубопроводной арматуры, с помощью акустической аналогии Лайтхилла позволяет оценить различные варианты геометрии и модернизировать конструкцию с целью минимизации шума в необходимом диапазоне частот. Однако для более точного результата необходимо также учитывать и влияние вибрирующей твердой поверхности, ограничивающей область течения и генерирующей акустические волны. Для этого проводится моделирование взаимодействия механики жидкости и твердого тела с учетом двустороннего взаимодействия, что позволяет при акустическом расчете задать как гидродинамические источники шума, так и механические.

Докукова Н.А., Кафтайкина Е.Н. «Исследование изгибающих и крутящих моментов бесконечно малого элемента кругового кольца» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 37, с. 225-232 (2022)

В авиастроении упругое круговое кольцо имеет большое практическое значение, поскольку оно является частью силовой конструкции оболочек – шпангоутом. Постановка задачи о его изгибе и кручении связана с выводом уравнений равновесия бесконечно малого элемента и зависимостей, объединяющих перемещения и деформации. Полученные расчетные законы смещений и углов закручиваний на основании используемых общих уравнений могут найти применение в проектировании как изолированных шпангоутов, так и шпангоутов, подкрепляющих тонкую обшивку.

Кафтайкина Е.Н.; Докукова Н.А. «О постановке задачи изгибно-крутильных колебаний упругих колец» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 37, с. 195-202 (2022)

Упругие кольцевые и цилиндрические винтовые устройства используются во многих отраслях промышленности. В машино- и авиастроении, как элементы способные удерживать предельные нагрузки оболочечных конструкций. В строительстве энергетических объектов, как элементы, подкрепляющие крупные цилиндрические резервуары термоядерных установок. В связи с этим возникает необходимость создания точных методов расчета и вывода аналитических формул для последующих исследований на прочность и жесткость отдельных узлов и инженерных сооружений в целом.

Старовойтов Э.И., Журавков М.А., Яровая А.В. «Вынужденные колебания трехслойной круговой пластины в стационарном температурном поле» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 38, с. 21-29 (2023)

Эксплуатация трехслойных элементов конструкций, занявших доминирующее положение в технике и строительстве, часто протекает в условиях воздействия внешних температурных полей. Это объясняет возросший спрос на разработку математических моделей трехслойных пластин и методов их расчета на различные виды и типы термосиловых нагрузок.

Маркова М.В., Леоненко Д.В. «Колебания круговой трехслойной ступенчатой пластины, побуждаемые многократно повторной нагрузкой» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 38, с. 39-49 (2023)

Композитные трехслойные элементы конструкций давно заняли свою нишу в инженерном деле. Их явное преимущество над элементами, выполненными из одного материала, заключается в возможности контролировать и задавать требуемые проектными и техническими условиями физико-механические параметры элемента: прочность, жесткость, тепло- и электропроводность, звуко- и магнитную проницаемость и т.д. Это возможно, как раз благодаря сочетанию в рамках единого пакета свойств разнородных совместно работающих материалов. Кроме того, благодаря включению связующих срединных прослоек из легких материалов можно достичь существенного снижения общего веса конструкции без значимого ухудшения показателей прочности и жесткости. В то же время, проектирование слоистых конструкций с точным изменением толщины в наиболее напряженных местах повышает их рациональность с точки зрения материалоемкости. Объем публикаций и научных исследований, направленных на моделирование и изучение работы слоистых конструкций, воспринимающих воздействие внешних нагрузок, включает несколько тысяч работ. Это обусловлено существованием различных методов приведения трехмерной задачи теории упругости к двумерной и подходов к моделированию и решению поставленных задач. Однако и на сегодняшний день трехслойные конструкции и, в частности, элементы с функциональным изменением толщины не утратили своей актуальности. Приведем обзор научных разработок схожей проблематики последних лет. Собственные частоты и формы колебаний круговых пластин с функционально изменяющейся толщиной заполнителя широко рассмотрены в работах Р. Лала и Р. Рани. Схожая задача о свободных колебаниях трехслойной пластины с переменной толщиной срединного слоя обозревается в работе Ч. Чанга и Х. Чена. Ч. Лу поднимает вопрос об изменении аэродинамических свойств трехслойной балки при изменении ее толщины вдоль пролета. В работе С. Суслера и Х. Туркмени представлены теоретические и численные исследования нелинейного динамического деформирования пластин с конической формой сердцевины и коническим изменением толщины внешних слоев. Ранее был представлен способ изменения несущей способности прямоугольных сэндвич-панелей путем ступенчатого изменения толщины их внешних слоев, рассмотрены вопросы изгиба и устойчивости таких пластин, а также исследована зависимость между собственными частотами и формой ступенчатого профиля. В работе рассмотрены вопросы динамического деформирования круговой трехслойной пластины со ступенчатым изменением толщины внешних слоев.

Михасев Г.И., Radi E. «Постановка задачи о свободных колебаниях плоской системы параллельно ориентированных нанобалок с учетом ван-дер-ваальсовых сил взаимодействия» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 38, с. 82-89 (2023)

Семейства параллельно ориентированных нанотрубок, взаимодействующих между собой посредством полей межмолекулярных сил, представляют собой уникальные объекты, которые находят свое применение в различных микро- и наноразмерных электромеханических системах (МЭМС и НЭМС) В частности, пара консольных параллельно расположенных нанотрубок, взаимодействующих между собой как два бистабильных электрода, является основным элементом наноразмерных пинцетов, используемых в современной микрохирургии для манипуляций на клеточном уровне. Массив вертикально ориентированных нанотрубок, запакованных с обеих сторон между пластинками или мембранами, является сверхчувствительным элементом в таких НЭМС как наноразмерные датчики давления и напряжений, настраиваемые осцилляторы и резонаторы, биометрические сенсоры. Такие факторы, как оптимальное расстояние между трубками, их длина, а также возникающие межмолекулярные ван-дер-ваальсовы и казимировые силы, являются определяющими при моделировании механического поведения подобных НЭМС. Сверхмалые размеры всех элементов системы ставят задачу учета не только межмолекулярных сил взаимодействия между трубками, но и внутренних нелокальных эффектов деформирования самих трубок. Целью данной статьи является постановка задачи о колебаниях системы параллельно ориентированных нанотрубок, моделируемых нанобалками, в рамках нелокальной теории упругости Эрингена. Предполагается, что расстояние между нанобалками достаточно мало, что приводит к появлению межмолекулярных ван-дерваальсовых сил взаимодействия.

Лачугина Е.А. «Частоты собственных колебаний пятислойной круговой пластины» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 38, с. 227-233 (2023)

За последние годы слоистые элементы конструкций получили широкое применение в народном хозяйстве, включая строительство и машиностроение. Это обуславливает требование по созданию расчетных механико-математических моделей, учитывающих как квазистатический, так и динамический характер нагрузок. В связи с этим исследование собственных частот колебаний круговой пятислойной пластины является актуальным.

Салицкий В.С. «Изгиб круговой пятислойной пластины» Международный научно-технический сборник «Теоретическая и прикладная механика», № 38, с. 234-239 (2023)

Рассмотрен изгиб круговой симметричной по толщине пятислойной пластины под действием равномерно распределенной нагрузки. Принимается, что для тонких несущих слоев выполняются кинематические гипотезы Кирхгофа. Сравнительно толстый заполнитель деформируется в соответствии с гипотезой Тимошенко о прямолинейности и несжимаемости деформированной нормали. Уравнения равновесия получены с помощью вариационного метода Лагранжа. Учтена работа тангенциальных напряжений в заполнителе. Получено аналитическое решение краевой задачи и проведена его численная апробация.

Каракозова А.И. «Пространственная дисперсия акустических волн в функционально-градиентных стержнях» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 23-37 (2024)

Гармонические акустические волны в полубесконечном функционально-градиентном (ФГ) одномерном стержне с продольной произвольной неоднородностью анализируются комбинированным методом, основанным на модифицированном формализме Коши и методе экспоненциальных матриц. Построены замкнутые дисперсионные уравнения для гармонических волн, из решения которых получены неявные дисперсионные соотношения для акустических волн в ФГ стержнях. Для продольной неоднородности полиномиального типа соответствующие дисперсионные соотношения строятся в явном виде.

Рабецкая О.И., Кудрявцев И.В., Митяев А.Е. «Аналитический расчет жесткости опор балки для обеспечения первой собственной частоты колебаний и критической силы» Сибирский журнал науки и технологий. Ранее "Вестник Сибирского государственного аэрокосмического ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева" (с 2002 по 2017), "Вестник Сибирской аэрокосмической академии им. академика М.Ф. Решетнева" (с 2000 по 2002 год), 23, № 4, с. 708-720 (2022)

Рассматривается проблема обеспечения требуемой первой собственной частоты изгибных колебаний балки при действии продольной силы за счет введения необходимой жесткости опор. Рассматривая и объединяя уравнения свободных колебаний балки и уравнения, описывающие потерю ее устойчивости, было получено условие работоспособности на основе обеспечения минимально заданного значения первой собственной частоты колебаний с учетом действия продольной силы. При этом достижение нулевой частоты собственных колебаний соответствует потере устойчивости, что позволяет решать обе задачи. Данная задача математически сложна и в известной научной литературе ее решение обычно приводится только в графическом или табличном виде. Проблема заключается в нелинейной зависимости коэффициентов опор от жесткости при колебаниях и потере устойчивости. Для решения этой проблемы использовалась аппроксимация нелинейных зависимостей коэффициентов опор методом наименьших квадратов и получения квадратичных аппроксимирующих функций. В результате задача определения требуемой жесткости опор свелась к разрешающему алгебраическому уравнению четвертой степени, для которого существует аналитическое решение. Полученное решение позволяет определить жесткость опор балки, которая обеспечивает требуемое значение первой собственной частоты колебаний балки и ее первой критической нагрузки в виде внешней сжимающей силы или температурных воздействий. Замена нелинейных зависимостей коэффициентов опор от жесткости опор более простыми квадратичными функциями привела к относительно простым аналитическим зависимостям, которые позволяют преобразовывать разрешающее уравнение в соответствии с конкретной решаемой задачей. Вместе с тем, квадратичные функции повлияли на погрешность расчета, для снижения которой было произведено ограничение рассматриваемого диапазона жесткостей опор и разбиение его на три зоны. Проведено сравнение результатов расчетов по предложенному аналитическому решению с численными расчетами методом конечных элементов. Сравнение результатов расчета показало погрешность не более 5% для рассматриваемого диапазона жесткостей опор, что вполне достаточно для инженерных расчетов балочных конструкций. Для ограничения погрешности результата рекомендуется, чтобы жесткости обоих опор были равны или же одного порядка.

Рабецкая О.И., Кудрявцев И.В., Митяев А.Е. «Аналитический расчет жесткости опор балки для обеспечения первой собственной частоты колебаний и критической силы» Сибирский журнал науки и технологий. Ранее "Вестник Сибирского государственного аэрокосмического ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева" (с 2002 по 2017), "Вестник Сибирской аэрокосмической академии им. академика М.Ф. Решетнева" (с 2000 по 2002 год), 24, № 3, с. 708-720 (2023)

Рассматривается проблема обеспечения требуемой первой собственной частоты изгибных колебаний балки при действии продольной силы за счет введения необходимой жесткости опор. Рассматривая и объединяя уравнения свободных колебаний балки и уравнения, описывающие потерю ее устойчивости, было получено условие работоспособности на основе обеспечения минимально заданного значения первой собственной частоты колебаний с учетом действия продольной силы. При этом достижение нулевой частоты собственных колебаний соответствует потере устойчивости, что позволяет решать обе задачи. Данная задача математически сложна и в известной научной литературе ее решение обычно приводится только в графическом или табличном виде. Проблема заключается в нелинейной зависимости коэффициентов опор от жесткости при колебаниях и потере устойчивости. Для решения этой проблемы использовалась аппроксимация нелинейных зависимостей коэффициентов опор методом наименьших квадратов и получения квадратичных аппроксимирующих функций. В результате задача определения требуемой жесткости опор свелась к разрешающему алгебраическому уравнению четвертой степени, для которого существует аналитическое решение. Полученное решение позволяет определить жесткость опор балки, которая обеспечивает требуемое значение первой собственной частоты колебаний балки и ее первой критической нагрузки в виде внешней сжимающей силы или температурных воздействий. Замена нелинейных зависимостей коэффициентов опор от жесткости опор более простыми квадратичными функциями привела к относительно простым аналитическим зависимостям, которые позволяют преобразовывать разрешающее уравнение в соответствии с конкретной решаемой задачей. Вместе с тем, квадратичные функции повлияли на погрешность расчета, для снижения которой было произведено ограничение рассматриваемого диапазона жесткостей опор и разбиение его на три зоны. Проведено сравнение результатов расчетов по предложенному аналитическому решению с численными расчетами методом конечных элементов. Сравнение результатов расчета показало погрешность не более 5% для рассматриваемого диапазона жесткостей опор, что вполне достаточно для инженерных расчетов балочных конструкций. Для ограничения погрешности результата рекомендуется, чтобы жесткости обоих опор были равны или же одного порядка.

Jilavyan S.H., Grigoryan E.R. «On optimal control of thermoelastic vibrations of a plate-strip» Ученые записки Ереванского государственного университета, физико-математических наук, 58, № 1, с. 13-21 (2024)

Рассматривается задача оптимального управления для управляемой системы с распределенными параметрами. Процесс нестационарной, динамической термоупругости в тонких, изотропных пластинках описывается системой дифференциальных уравнений поперечных колебаний в температурном поле и теплопроводности для пластинки. Учитывается термоупругое рассеяние механической энергии, что приводит к связанной задаче термоупругости между плоскостями пластинки и окружающей средой, где осуществляется теплообмен. Ставится задача перевода рассматриваемого процесса термоупругости за некоторое время в квазистатический режим. При этом функционал, характеризующий энергию внешнего теплового воздействия, достигает наименьшего значения, а температура окружающей среды является управляемой функцией.

Утяшев И.М., Фатхелисламов А.Ф. «Идентификация продольного надреза стержня по собственным частотам колебаний» RUSSIAN TECHNOLOGICAL JOURNAL (Предыдущее название: Российский технологический журнал (с 2016 по 2021 гг.), Вестник МГТУ МИРЭА (с 2013 по 2015 гг.), 11, № 2, с. 92-99 (2023)

Цели. Цели работы: рассмотреть прямую и обратную задачу о колебании прямоугольного стержня с продольным надрезом; исследовать закономерности поведения собственных частот и собственных форм продольных колебаний при изменении места и размера надреза; разработать метод, позволяющий однозначно идентифицировать параметры продольного надреза с помощью собственных частот продольных колебаний стержня. Методы. Стержень с продольным надрезом моделируется как два стержня, где первый не имеет надреза, а второй – имеет. Для соединения используются условия сопряжения, в которых приравниваются продольные колебания и деформации. Решение обратной задачи основано на построении частотного уравнения в предположении, что искомые параметры входят в уравнение. При подстановке собственных частот в это уравнение получим нелинейную систему относительно неизвестных параметров. Решение последнего есть искомые параметры надреза. Результаты. Приведены таблицы собственных частот и графики собственных форм для разных параметров надреза. Получены и проанализированы результаты для различных краевых условий. Представлен метод идентификации параметров надреза по конечному числу собственных частот. Показано, что обратная задача имеет два решения, симметричных относительно центра стержня. Для однозначного решения требуются собственные частоты той же задачи с другими граничными условиями на правом конце. Добавление дополнительных условий на концах стержня позволило решить обратную задачу с новыми краевыми условиями, дающими возможность построить точное решение и разработать алгоритм проверки однозначности решения. Выводы. Разработанный метод позволяет решить задачу идентификации геометрических параметров различных деталей и конструкций, моделируемых стержнями.

Цетлин И.В., Иванов А.В., Куфтин А.А., Крыжко С.М., Письмаров М.Н., Смирнова С.И., Демарева А.И., Шеховцев С.С., Нураев Р.Х. «Защита малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Обзор средств защиты. Часть 1. Применение амортизаторов» Авиакосмическое приборостроение, № 4, с. 3-14 (2024)

Обзор средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Изложены основные принципы конструирования средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры, предназначенной для эксплуатации в условиях жестких вибрационных и ударных воздействий высокой интенсивности. Ключевые слова: амортизатор, демпфер, активная виброзащита, синтактные пены, вибрация, удар, прочность.

Цетлин И.В., Иванов А.В., Куфтин А.А., Крыжко С.М., Письмаров М.Н., Смирнова С.И., Демарева А.И., Шеховцев С.С., Нураев Р.Х. «Защита малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Обзор средств защиты. Часть 2. Применение демпфирующих материалов» Авиакосмическое приборостроение, № 5, с. 3-16 (2024)

Обзор средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Изложены основные принципы конструирования средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры, предназначенной для эксплуатации в условиях жестких вибрационных и ударных воздействий высокой интенсивности. Ключевые слова: амортизатор, демпфер, активная виброзащита, синтактные пены, вибрация, удар, прочность.

Цетлин И.В., Иванов А.В., Куфтин А.А., Крыжко С.М., Письмаров М.Н., Смирнова С.И., Демарева А.И., Шеховцев С.С., Нураев Р.Х. «Защита малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Обзор средств защиты. Часть 3. Применение сплавов высокого демпфирования» Авиакосмическое приборостроение, № 6, с. 3-10 (2024)

Обзор средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Изложены основные принципы конструирования средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры, предназначенной для эксплуатации в условиях жестких вибрационных и ударных воздействий высокой интенсивности. Ключевые слова: амортизатор, демпфер, активная виброзащита, синтактные пены, вибрация, удар, прочность.

Цетлин И.В., Иванов А.В., Куфтин А.А., Крыжко С.М., Письмаров М.Н., Смирнова С.И., Демарева А.И., Шеховцев С.С., Нураев Р.Х. «Защита малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Обзор средств защиты. Часть 4. Применение систем активной виброзащиты» Авиакосмическое приборостроение, № 7, с. 3-10 (2024)

Обзор средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры от механических воздействий. Изложены основные принципы конструирования средств защиты малогабаритной бортовой аппаратуры, предназначенной для эксплуатации в условиях жестких вибрационных и ударных воздействий высокой интенсивности. Ключевые слова: амортизатор, демпфер, активная виброзащита, синтактные пены, вибрация, удар, прочность.

Чугайнова А.П. «О единственности автомодельного решения задачи Римана для продольно-крутильных волн в нелинейно-упругих стержнях» Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 327, с. https://www.mathnet.ru/rus/tm4404 (2024)

Изучаются автомодельные решения задачи Римана для гиперболической системы двух уравнений, описывающей продольно-крутильные волны в нелинейно-упругих средах с отрицательным параметром нелинейности. Решения строятся из последовательности волн, состоящих из неопрокидывающихся волн разряжения и классических (по Лаксу) разрывов (ударных волн). Ключевые слова: ударные волны, единственность, задача Римана, продольно-крутильные волны

Босаков С.В., Козунова О.В. «Функции Грина для статически неопределимых однопролетных балок» Наука и техника, 23, № 4, с. 289-294 (2024)

В зависимости от класса в инженерной практике различают решаемые задачи: статические/динамические, плоские/пространственные, контактные/с частичным или краевым опиранием и др. Давление рельса на шпалу, колонны на фундамент, плит перекрытия на стены, фундамента на грунтовое основание – все это типичные примеры практических задач, приводящие к необходимости решения краевых задач – математически и контактных – физически. Из математических постановок контактных задач конструкций, лежащих на упругом основании, известно, что основу их решения составляет поиск закона распределения реактивных давлений на контакте конструкции с основанием, который сложным образом зависит от жесткости конструкции, упругих характеристик основания, внешней нагрузки, характера закрепления конструкции. При решении многих краевых и начально-краевых задачах строительной механики и теории упругости, таких как решение классического однородного уравнения методом собственных функций, при некоторых граничных условиях, вытекающих из рода закрепления балки на концах, важную, порой определяющую, роль играют фундаментальные функции оператора x^IV, которые получили свою базовую трактовку академиком А.Н. Крыловым. Однако вычисления по этим формулам весьма затруднительны из-за математических ограничений и громоздкости выражений. В связи с этим в предлагаемой работе использованы собственные функции дифференциального уравнения изгибных колебаний статически неопределимых однопролетных балок для построения функции Грина в виде бесконечного ряда по этим собственным функциям. Построены точные выражения для определения прогибов балок от сосредоточенной силы. Полученные выражения представлены через элементарные функции, носят общий характер и дают возможность решать разнообразные задачи статики, динамики и устойчивости рассматриваемых балок. Авторами получены численные результаты для изгибающих моментов и прогибов защемленной балки и балки с защемленной и шарнирной опорами с использованием компьютерного пакета MATHEMATICA.

Степаненко Д.А., Киндрук А.Н. «Вариационная задача о колебаниях неравнотолщинных колец и ее применение для расчета концентраторов ультразвуковых колебаний» Наука и техника, 23, № 4, с. 295-303 (2024)

Рассмотрена методика расчета собственных частот колебаний неравнотолщинных колец, основанная на использовании вариационного принципа Гамильтона и теорий колебаний криволинейных балок типа Эйлера–Бернулли и Тимошенко. Решения задачи представляются в виде рядов Фурье, что позволяет свести ее к решению системы линейных алгебраических уравнений. Задача определения собственных частот сводится при этом к обобщенной задаче на собственные значения матриц. На основе сравнения численных результатов, полученных для эксцентричного кольца, с результатами расчетов методом конечных элементов показаны преимущества использования теории Тимошенко, включающие в себя повышение точности вычислений и возможность идентификации радиальных и радиально-изгибных собственных форм. Исследована возможность снижения вычислительных затрат при использовании теории Тимошенко за счет представления определителя описывающей задачу блочной матрицы в виде произведения определителей более низких порядков. Показано, что соотношения, полученные на основе теории Эйлера –Бернулли, в частном случае равнотолщинного кольца приводят к известным аналитическим формулам для собственных частот колебаний кольца. Полученные результаты могут быть использованы для расчета кольцевых концентраторов ультразвуковых колебаний. Преимущество предлагаемого метода по сравнению с другими известными подходами, например, методом гармонического баланса, состоит в отсутствии необходимости работы с дифференциальными или интегро-дифференциальными уравнениями колебаний, которые в случае неравнотолщинных колец имеют достаточно сложную структуру и требуют для своего решения применения вычислительно-затратных операций, например, дискретной свертки.

Герасимчук В.В., Жиряков А.В., Кузнецов Д.А., Телепнев П.П. «Моделирование вибрационного фона космического аппарата» Труды Московского авиационного института, № 4(131), с. DOI: 10.34759/trd-2023-131-02 (2023)

Двигатели-маховики и двигатели коррекции, являясь устройствами обмена импульсами, выступают фундаментальным компонентом большинства космических аппаратов как для грубого управления ориентацией, так и для точного наведения. Неуравновешенность вращающихся масс при работе двигателей-маховиков и силовые вибрационные воздействия, вызванные пульсациями давления в камере сгорания двигателей коррекции, способны вызывать чрезмерные колебания исследовательского оборудования, что может привести к снижению точности функционирования. Уровни вибронагруженности определяются в ходе экспериментальной отработки космического аппарата, однако на ранних стадиях проектирования целесообразно предварительным моделированием вибрационного фона мест установки высокоточного оборудования выбрать оптимальные места для их установки с целью минимизации уровней их вибронагруженности. Вибрационный фон определялся для разработанной конечно-элементной модели «гибкой» конструкции космического аппарата в среде пакета программ Femap with NX Nastran. Расчёты проводились для вариантов вибронагружения одним из четырёх двигателей-маховиков и от двух двигателей коррекции. Модель воздействия от двигателя-маховика учитывала силы, возникающие в результате дисбаланса маховика. Моделировалось гармоническое воздействие с амплитудой, пропорциональной квадрату скорости вращения маховика. Уровни вибронагруженности от возмущающих сил двигателей коррекции исследовались для синфазного и противофазного случаев воздействия. Исследование выполнялось методом гармонического анализа. Значения величин воздействий соответствовали уровням возмущений штатных двигателей-маховиков и двигателей коррекции. Оценка уровней вибронагруженности в местах предполагаемого крепления приборов осуществлялась по максимальным значениям рассчитанных линейных и угловых виброускорений, угловых скоростей и угловых перемещений по трём осям. Представленный в статье вариант моделирования вибрационного фона мест установки аппаратуры, чувствительной к стабильности положения для эффективной работы, позволяет провести предварительную оценку уровня вибронагруженности такой аппаратуры на ранних этапах проектирования космических аппаратов.

Зуськова В.Н., Оконечников А.С., Сердюк Д.О. «Нестационарная динамика тонкого изотропного сферического пояса» Труды Московского авиационного института, № 4(131), с. DOI: 10.34759/trd-2023-131-05 (2023)

В осесимметричной постановке исследована нестационарная динамика тонкого сферического пояса с произвольными граничными условиями при воздействии подвижной нестационарной нагрузки. Материал пояса упругий и изотропный. В качестве математический модели сферического пояса приняты гипотезы Кирхгофа–Лява. Подход к исследованию основан на принципе суперпозиции, методе функции Грина и методе компенсирующих нагрузок. Суть заключается в связи искомого решения с действующей и компенсирующими нагрузками при помощи интегральных операторов типа свертки по координате и времени. Ядром этих операторов является функция Грина для сферической оболочки, которая представляет собой нормальное перемещение в ответ на воздействие единичной сосредоточенной по координате и времени нагрузки, математически описываемой дельта-функцией Дирака. Компенсирующее решение есть результат влияния некоторых специально вычисленных нагрузок, при котором сумма решений от действующей нагрузки и компенсирующих нагрузок удовлетворяет граничным условиям на торцах сферического пояса.

Попов И.П. «Многомерные плоские монореактивные колебания» Труды Московского авиационного института, № 132, с. https://trudymai.ru/published.php?ID=176835 (2023)

В рассматриваемом (идеализированном) случае многоугольник, в вершинах которого расположены осциллирующие грузы, лежит в плоскости. В технических приложениях грузы не должны препятствовать перемещениям друг друга, следовательно, каждому грузу должна соответствовать своя плоскость, а все плоскости должны быть параллельными (наподобие многопоршневого механизма). Условием возникновения свободных гармонических колебаний является равенство нулю полной энергии системы, которая в рассматриваемом случае является исключительно кинетической, что и обусловливает монореактивный характер осциллятора. В рассмотренном многомерном плоском монореактивном осцилляторе могут происходить свободные гармонические линейные колебания грузов. При этом в энергообмене участвует только кинетическая энергия. В упругих элементах нет необходимости. Осциллятор не имеет фиксированной собственной частоты колебаний. Частота зависит от начальных скоростей и положений грузов.

Гришакин В.Т. «Идентификация усилий в опорах многопролетных балок» Труды Московского авиационного института, № 132, с. https://trudymai.ru/published.php?ID=176835 (2023)

Рассматриваются поперечные колебания консервативных механических систем в виде шарнирно опертых балок уточненной теории с деформируемыми промежуточными опорами. Деформационные процессы в балках возникают в результате приложения сосредоточенных безынерционных сил, движущихся с постоянной скоростью. Показаны возможности, открывающиеся в результате решения одной из обратных задач механики деформируемого твердого тела – задачи идентификации усилий в промежуточных упругих опорах по таким проявлениям, как вертикальные перемещения точки приложения подвижной силы (прогибам под силой). Представлены результаты идентификации усилий в опорах при изменении жесткости одной из них (второй), что может быть использовано, например, в строительной практике с целью выявления дефектов в опорах конструкций, воспринимающих подвижные нагрузки, без прекращения движения по ним. Всю интересующую информацию о состоянии конструкций в этом случае можно получить с применением транспортного средства, оборудованного необходимыми датчиками. Непосредственное применение результатов исследования в авиационно-ракетно-космической технике возможно, например, при проектировании и диагностировании направляющих элементов конструкций ракетных установок. Приведены результаты численных экспериментов.

Большаков Р.С., Гозбенко В.Е., Выонг К.Ч. «Математическое моделирование динамических состояний вибрационных машин» Труды Московского авиационного института, № 133, с. https://trudymai.ru/published.php?ID=177652 (2023)

Рассмотрены оценки динамического состояния технического объекта в виде вибрационной технологической машины, используемой при реализации технологических процессов, связанных, в частности, с вибрационным упрочнением длинномерных деталей. Рассматриваемый технический объект содержит массоинерционные и упругие элементы. Предложено использование подходов структурного математического моделирования, основанных на применении динамических аналогов исходных расчетных схем вибрационных технологических машин в виде механических колебательных систем с несколькими степенями свободы, представляющих собой структурные схемы систем автоматического управления. Оцениваются возможности изменения динамического состояния вибрационной технологической машины за счёт корректировки параметров составляющих элементов для получения устойчивых динамических режимов работы рассматриваемого технологического оборудования.

Добрышкин А.Ю., Сысоев О.Е., Сысоев Е.О. «Экспериментальная проверка характеристик колебаний композитной цилиндрической тонкостенной оболочки с ребром жесткости» Труды Московского авиационного института, № 1(134), с. https://trudymai.ru/published.php?ID=178455 (2024)

Выполнена экспериментальная проверка характеристик колебательного процесса, полученных на основе математической модели колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки усовершенствованным методом рядом Фурье. Проведен анализ полученных данных. Описано простое и в тоже время точное решение, основанной на решении методом рядов Фурье (МРФ) применяемое при анализе колебаний цилиндрических оболочек. В качестве закрепления принято шарнирное опирание. В каждом элементе конструкции функций смещения выражена в виде суперпозиции из двойного ряда Фурье и нескольких дополнительных функций. Неизвестные параметры деформаций находятся как обобщенные координаты и определены с помощью метода Релея–Ритца. Использование метода Фурье для комплексной задачи объединенной пластины и оболочки, соединенных симметричной и ассиметричной границей может быть получено без преобразований уравнений движения или выражения перемещений. Жесткость закрепления может оказывать существенное влияние на модальные характеристики сопряженной конструкции. В процессе работы высоты резонансов находятся на пике в местах опирания. Изменение жесткости изменяет только вибрационные характеристики пластины и не влияет на оболочку. Полученное решение проверено сравнением теоретических результатов и экспериментальных данных. При проведении экспериментальных исследований использован бесконтактный измеритель частотных характеристик системы HSV-2000 состоит из контроллера HSV2001/2002, лазерного блока HSV-800 и прочной компактной сенсорной головки HSV-700. Лазерный блок содержит интерферометр и маломощный лазер, а также осциллограф Rohde&Schwarz RTB2002. Компоненты перемещения цилиндрической оболочки и круглой пластины обычно разлагаются независимо от граничных условий как суперпозиция двумерного ряда Фурье и нескольких дополнительных функций. Неизвестные коэффициенты разложения трактуются как обобщенные координаты и определяются с помощью известной процедуры Рэлея–Ритца. Граничные условия и условия связи учитываются путем применения используется реакционные составляющие шарнирного закрепления. Приемлемая точность текущих решений демонстрируется сравнением с результатами, полученными в ходе экспериментальных исследований. С помощью системы Polytec получены удовлетворительные результаты, показывающие применимость полученного метода.

Елисеев А.В., Кузнецов Н.К., Миронов А.С. «Энергетические характеристики в оценке упругих и рычажных связей в диаде механической колебательной системы» Труды Московского авиационного института, № 2(135), с. https://trudymai.ru/published.php?ID=179674 (2024)

В рамках проблемы изменения динамических свойств технических объектов, находящихся в условиях вибрационных нагружений, рассматриваются задачи оценки, формирования и коррекции динамических состояний структурных образований механических колебательных систем. В качестве структурного образования рассматривается диада – изолированная система из двух массоинерционных элементов, соединенных пружиной с учетом дополнительных связей, включающих устройства для преобразования движений или демпфер. Цель разрабатываемого методологического подхода заключается в формировании динамических состояний диад и оценке их динамических свойств в условиях вибрационных нагружений на основе обобщенных энергетических отношений, учитывающих рычажные и упругие связи. Используются методы теоретической механики, теории дифференциальных уравнений, интегральных преобразований, системного анализа и структурного математического моделирования, основанного на сопоставлении механическим колебательным системам, используемым в качестве расчетных схем технических объектов, структурных схем, эквивалентных в динамическом отношении системам автоматического управления. Разработана научно-методологическая основа оценки, формирования и коррекции динамических состояний диады, рассматриваемой в качестве эталонного элемента, использующая энергетические характеристики, учитывающие рычажные отношения и упругие связи между парциальными системами и внешними возмущениями.

Блинов А.О., Борисов А.В., Мухарлямов Р.Г., Гончарова И.А., Борисова В.Л. «Модель звена переменной длины с управляемой жесткостью и подвижным полюсом для экзокостюма аэрокосмического назначения» Труды Московского авиационного института, № 3(136), с. https://trudymai.ru/published.php?ID=180663 (2024)

Рассмотрена достаточно приближенная к реальности модель звена переменной длины, содержащая магнитно-реологическую жидкость для активного управления ее жесткостью под действием изменяющегося внешнего магнитного поля. Новизна модели заключается в наличии подвижного полюса в нижней точке звена с заданным законом движения. Таким образом, модель звена имеет семь степеней свободы: три поступательных движения полюса, три вращения вокруг полюса и переменная длина звена при движении верхней части относительно полюса. Динамика звена описывается уравнениями Лагранжа, составляющими систему семи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В качестве модели управления выбран программный метод задания движения и на его основе определены моменты и силы, которые необходимо приложить для реализации заданных движений звена. Созданная модель звена при соединении в многозвенную конструкцию может найти применение при разработке экзокостюмов в виде скафандров, защитных экзоскелетов, усиливающих и поддерживающих физические возможности пилотов и космонавтов в авиакосмической отрасли.

Кауфман Д.В., Рябинин А.Н. «Затухающие колебания цилиндра с соосным диском и со стабилизатором» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 11, № 1, с. 161-170 (2024)

Изучаются затухающие вращательные колебания цилиндра, который в головной части снабжен соосным диском, а в хвостовой части имеет стабилизатор. Удлинение цилиндра (отношение длины к диаметру) равно девяти. Цилиндр крепится в рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей на проволочной подвеске, содержащей стальные пружины. В положении равновесия ось цилиндра горизонтальна и параллельна вектору скорости набегающего потока. К одной из пружин подвески присоединен полупроводниковый тензопреобразователь, измеряющий во время колебаний зависимость натяжения пружин от времени. Напряжение на выходе тензопреобразователя поступает на РС-осциллограф. Цифровой сигнал осциллографа передается на компьютер. После калибровки прибора определялась частота и амплитуда затухающих вращательных колебаний вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр цилиндра и перпендикулярной вектору скорости набегающего потока. Под действием воздушного потока увеличивается скорость затухания вращательных колебаний цилиндра. Влияние воздушного потока описывается аналогами вращательных производных, которые в случае плохо обтекаемых тел зависят от амплитуды колебаний угла наклона тела и от амплитуды угловой скорости. Предложена простая модель влияния стабилизатора на вращательные производные.

Морозов Н.Ф., Лукин А.В., Попов И.А. «Об эволюции кососимметричных изгибных колебаний круглой пластинки при ее вращении вокруг оси, расположенной в плоскости пластинки» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 11, № 2, с. 354-370 (2024)

Выполняется построение и исследование модели связанных плоско-поперечных колебаний круглой тонкой пластинки с концентричным отверстием при действии кориолисовых и центробежных сил инерции, вызванных вращением системы вокруг оси, расположенной в плоскости пластинки. Уравнения колебаний в частных производных получены с применением вариационного принципа Гамильтона–Остроградского. В предположении малости угловой скорости вращения по отношению к частоте рабочей кососимметричной изгибной формы колебаний пластинки найдено приближенное аналитическое решение как для радиальной и окружной, так и для поперечной компонент поля перемещений в режиме свободных колебаний. С помощью проекционного метода Галеркина задача была сведена к системе двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка для модальных координат взаимно ортогональных базисных кососимметричных форм колебаний пластинки. Обнаружено, что режим начально возбужденных гармонических колебаний при наличии вращения преобразуется в режим амплитудно-модулированных биений. Найдены аналитические выражения как для частоты медленной огибающей биений, так и для относительной глубины их амплитудной модуляции. Показана принципиальная возможность определения модуля проекции вектора угловой скорости на плоскость пластинки по измеряемой величине частоты огибающей. Исследована задача о выборе оптимальной геометрической формы резонатора с точки зрения максимизации чувствительности системы к изменениям величины угловой скорости вращения. Рассмотрен вопрос об определении направления проекции вектора угловой скорости на плоскость пластинки по измеряемой глубине амплитудной модуляции режима биений.

Алифов А.А. «Колебания при нелинейном параметрическом воздействии и комбинации запаздываний» Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки, 17, № 1, с. 47-55 (2024)

Рассмотрены колебания при нелинейном параметрическом воздействии и комбинации запаздываний в упругости и демпфировании. Моделью является стержень с пружиной, приводимый в движение источником энергии ограниченной мощности. Для решения нелинейных дифференциальных уравнений движения системы использован метод прямой линеаризации нелинейности. Получены уравнения для определения нестационарных и стационарных значений амплитуды и фазы колебаний, скорости источника энергии. На основе критериев Рауса–Гурвица выведены условия устойчивости стационарных режимов движения. Проведены расчеты амплитудно-частотных характеристик при различных значениях параметров, линейной и нелинейной силах упругости. Соответствующие графики наглядно представляют совместное влияние различных значений запаздываний на амплитудно-частотные кривые. Показано, что запаздывания изменяют амплитудные кривые, существенно влияя на устойчивость колебаний.

Андрианова Е.А. «Алгоритм нахождения коэффициентов демпфирования по данным вибрационных обследований методом FDD (декомпозиции в частотной области)» Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки, 17, № 2, с. 21-32 (2024)

Представлен алгоритм и теоретическое обоснование методики нахождения коэффициентов демпфирования по данным вибрационных обследований при использовании метода декомпозиции в частотной области (FDD). Этот метод применяется при динамическом тестировании сооружений (здания, мосты, плотины) для экспериментального определения их динамических характеристик в условиях нормальной эксплуатации без применения вибровозбудительного оборудования.

Савельев А.Д., Савельев И.А. «Моделирование колебаний давления на пластине за поперечной выемкой в сверхзвуковом потоке» Математическое моделирование, 36, № 4, с. 103-115 (2024)

Численно моделируется обтекание поперечной выемки на плоской пластине сверхзвуковым потоком вязкого газа. Исследуется течение внутри выемки и колебания давления в следе за ней при числах Маха набегающего потока от 2 до 8 и ламинарном пограничном слое. В расчетах используются разностные схемы высокого порядка.

Азаров А.А., Попов А.Л., Челюбеев Д.А. «О некоторых особенностях спектра продольных колебаний и звукоизлучения стержня» Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 88, с. 53-65 (2024)

Работа посвящена согласованию теоретических моделей удара и послеударных продольных колебаний стержня с экспериментальными данными. Получено решение задачи о продольных колебаниях стержня со свободными концами при наличии трения, коэффициент которого определяется по совокупности многочастотных затухающих колебаний стержня после ударного воздействия. Определены и проанализированы амплитудно-частотные зависимости перемещений и скоростей концов стержня, их связь с акустическим давлением, излучаемым торцами при разных соотношениях между массой ударника и стержня. Продемонстрирован эффект сдвига амплитудного максимума акустического давления с частоты основного тона на обертон, зависящий от параметров, определяющих период осцилляции, и отношения масс ударника и стержня.

Бабанин Н.В., Мелконян А.Л., Николаев Д.А. «Расчет параметров совместной вибрации корпуса и соосного валопровода» Морские интеллектуальные технологии, № 3-2, с. 68-74 (2024)

Работа посвящена разработке расчётного комплекса (модель, алгоритм и программа) для получения параметров совместной вибрации соосного многоопорного валопровода и корпуса подводного аппарата при учете вращения гребных винтов, а также оценки взаимовлияния валов и корпуса на параметры их вибрации. Разработанная модель представляет совокупность из трех квазиодномерных конечноэлементных конструкций. Алгоритм расчета построен на базе метода парциальных откликов в его дискретном варианте. Влияние вращения гребного винта учтено введением дополнительных моментов гироскопической природы. Действие этих моментов учитывалось модификацией инерционно-жесткостных характеристик каждой из квазиодномерных моделей валов. Для проведения расчётов параметров вибрации была создана программа «Соосность» и выполнена серия расчетов в задаче прикладного характера. Ключевые слова: установившиеся колебания, квазиодномерная моде

Мелконян А.Л., Николаев Д.А., Яремчук С.А. «Расчёт параметров вибрации трубопровода без выполнения последовательных приближений» Морские интеллектуальные технологии, № 3-2, с. 94-101 (2024)

Представляемая работа отражает дальнейшее развитие подходов, примененных авторами в предыдущих статьях, посвященных разработке математической модели, алгоритма и программы расчета параметров вибрации трубопровода при движении по нему идеальной жидкости. В отличии от предыдущих моделей, разработанная модель позволяет получить параметры вибрации без организации процесса последовательных приближений, что существенно снижает трудоемкость и время расчетов. Отмеченные достоинства особенно проявляются при скоростях движения жидкости, близких к критической. Получить новое решение оказалось возможным, так как удалось записать выражения для сил инерции относительного движения элементов модели через углы между их продольными осями. Указанное обстоятельство позволило модифицировать ранее используемую модель, введя в ее состав дополнительные элементы, автоматически порождающие для элементов модели дополнительную нагрузку, соответствующую силам инерции относительного движения. Как и ранее, алгоритм расчета построен на базе метода парциальных откликов в его дискретном варианте. Разработанная программа позволила выполнить серию расчетов, результаты которых продемонстрировали хорошее совпадение с результатами вычислений по формулам, полученным методом Бубнова–Галеркина

Ильичев В.Ю., Терехов П.А. «Влияние расцентровок осей валов, соединенных зубчатыми муфтами, на виброактивность роторных систем турбоагрегатов» Наукоемкие технологии, 26, № 4, с. 40-47 (2024)

Постановка проблемы. В настоящее время на производственных предприятиях возникла необходимость исследовать влияние расцентровок осей валов на возникновение переменных сил и моментов, а также на виброактивность в соединении зубчатых муфт различных конструкций. Цель. Исследовать механизм возникновения переменных сил и моментов в соединении валов зубчатыми муфтами при расцентровке осей валов. Результаты. Проведен ряд исследований на примере двух расцентрованных валов, соединенных двухрядной зубчатой муфтой. Установлено, что величина расцентровки в указанном диапазоне существенно влияет на уровень максимально возможных амплитуд колебаний валов. Практическая значимость. Выявлено, что тщательная центровка осей валов отнюдь не является гарантированным средством для снижения уровня динамических процессов в системе роторов; напротив, при этом возможно установление максимальных амплитуд колебаний валов.

Попов В.С., Попова А.А. «Нелинейные аэроупругие колебания стенки плоского канала, заполненного вязким газом и установленного на вибрирующем основании» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 166, № 2, с. 220-237 (2024)

Рассмотрена задача аэроупругих колебаний стенки канала, имеющей подвес с жесткой кубической нелинейностью, возбуждаемых вибрацией основания, на котором установлен канал. Исследован плоский узкий канал, заполненный пульсирующим вязким газом, с параллельными жесткими стенками, одна из которых неподвижна, а вторая имеет нелинейно-упругий подвес. Дана постановка задачи аэроупругости для случая изотермического состояния газа и стенок канала. В предположении узости канала осуществлен переход к уравнениям динамики тонкого слоя вязкого газа с учетом инерции его движения и проведен асимптотический анализ поставленной задачи методом возмущений. С использованием метода итераций определен закон распределения давления вязкого газа в канале и получено уравнение аэроупругих колебаний стенки в виде обобщения уравнения Дуффинга. Уравнение решено методом гармонического баланса и найдены в виде неявных функций: основной нелинейный аэроупругий отклик стенки канала и нелинейная характеристика фазового сдвига на вибрацию основания. Проведено численное исследование названных характеристик с целью оценки влияния нелинейно-упругого подвеса стенки канала, инерции движения вязкого газа и его сжимаемости на нелинейные колебания стенки канала.

Назаров С.А. «Локализация собственных колебаний тонких упругих прокладок» Прикладная математика и механика, 88, № 1, с. 104-138 (2024)

Изучены собственные колебания тонких изотропных однородных пластин постоянной и переменной толщины, основания которых жестко защемлены. Показано, что лишь для пластины постоянной толщины с дополнительно зафиксированной боковой поверхностью двумерная модель – спектральная задача Дирихле для двумерной системы Ламе с измененным коэффициентом Пуассона – правильно описывает частоты собственных колебаний тонкого трехмерного тела. В остальных случаях асимптотический анализ предоставляет иные модели пониженной размерности, в частности разнообразные обыкновенные дифференциальные уравнения, а для соответствующих мод собственных колебаний характерна концентрация около всей боковой поверхности или некоторых точек на границе. При неплоских основаниях локализация собственных мод происходит около точек максимума толщины пластины и описывается обобщенными уравнениями гармонического осциллятора. Обсуждается случай несжимаемого изотропного материала пластины.

Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А., Христофорова А.В. «Математическое моделирование нелинейных колебаний стенки канала, взаимодействующей с вибрирующим штампом через слой вязкой жидкости» Вестник Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана (МГТУ). Серия: Приборостроение, № 2, с. 26-41 (2022)

Разработана и исследована математическая модель для изучения динамики взаимодействия стенки канала, опирающейся на нелинейную пружину, с вибрирующей противоположной стенкой через слой вязкой жидкости, заполняющей канал. Рассмотрен плоский щелевой канал, образованный двумя прямоугольными в плане абсолютно жесткими стенками, параллельными друг другу. Один размер канала в плане значительно больше другого, что обусловливает переход к плоской задаче. Нижняя стенка канала опирается на пружину с кубической нелинейной характеристикой, а верхняя – это штамп, который совершает колебания по заданному закону. Предположено, что щель между стенками значительно меньше продольного размера канала, а амплитуды колебаний стенок значительно меньше размера щелевого зазора. Движение вязкой жидкости в канале представлено ползущим. Математическая модель рассматриваемого канала представляет собой уравнение динамики массы на пружине, имеющей кубическую нелинейность, а также уравнения Навье–Стокса и неразрывности, дополненные граничными условиями непроскальзывания жидкости на стенках канала и ее свободного истечения на торцах. Исследованы установившиеся нелинейные колебания нижней стенки канала на частоте вынуждающей силы и определен ее гидроупругий отклик. Предложенную модель можно использовать для исследования нелинейных колебаний упругозакрепленных элементов, контактирующих с жидкостью и входящих в состав современных приборов и агрегатов.

Попов В.С., Попова А.А., Попова М.В., Христофорова А.В. «Моделирование динамики взаимодействия пластины на упругом основании с мягкой кубической нелинейностью с вибрирующим штампом через слой вязкой жидкости» Вестник Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана (МГТУ). Серия: Приборостроение, № 3, с. 110-131 (2022)

Предложена математическая модель взаимодействия пластины и слоя вязкой жидкости, находящейся между ней и вибрирующим штампом, с учетом нелинейности свойств упругого основания пластины. Изучены вынужденные нелинейные гидроупругие колебания пластины, удовлетворяющей гипотезам Кирхгофа, на основании с мягкой кубической нелинейностью. Поставлена связанная задача гидроупругости для рассматриваемой колебательной системы. Математическая модель состоит из системы уравнений динамики вязкой жидкости и пластины Кирхгофа на нелинейно-упругом основании. Система дополнена краевыми условиями на границах контакта жидкости с пластиной и штампом, а также условиями на торцах рассматриваемого канала. Проведен асимптотический анализ поставленной задачи гидроупругости и решены упрощенные уравнения движения вязкой жидкости методом итерации. Определено распределение давления и получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение изгибных колебаний пластины, возбуждаемых вибрирующим штампом. Данное уравнение решено методом Бубнова–Галеркина. Показано, что рассматриваемая задача может быть сведена к исследованию обобщенного уравнения Дуффинга, которое решено методом гармонического баланса. Найден основной нелинейный гидроупругий отклик и фазовый сдвиг пластины. Проведено численное исследование данных характеристик, позволяющее прийти к выводу.

Попов В.С., Попова А.А., Попова М.В., Христофорова А.В. «Моделирование динамики взаимодействия пластины на упругом основании с мягкой кубической нелинейностью с вибрирующим штампом через слой вязкой жидкости» Вестник Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана (МГТУ). Серия: Приборостроение, № 4, с. 110-131 (2023)

Предложена математическая модель взаимодействия пластины и слоя вязкой жидкости, находящейся между ней и вибрирующим штампом, с учетом нелинейности свойств упругого основания пластины. Изучены вынужденные нелинейные гидроупругие колебания пластины, удовлетворяющей гипотезам Кирхгофа, на основании с мягкой кубической нелинейностью. Поставлена связанная задача гидроупругости для рассматриваемой колебательной системы. Математическая модель состоит из системы уравнений динамики вязкой жидкости и пластины Кирхгофа на нелинейно-упругом основании. Система дополнена краевыми условиями на границах контакта жидкости с пластиной и штампом, а также условиями на торцах рассматриваемого канала. Проведен асимптотический анализ поставленной задачи гидроупругости и решены упрощенные уравнения движения вязкой жидкости методом итерации. Определено распределение давления и получено нелинейное интегро-дифференциальное уравнение изгибных колебаний пластины, возбуждаемых вибрирующим штампом. Данное уравнение решено методом Бубнова–Галеркина. Показано, что рассматриваемая задача может быть сведена к исследованию обобщенного уравнения Дуффинга, которое решено методом гармонического баланса. Найден основной нелинейный гидроупругий отклик и фазовый сдвиг пластины. Проведено численное исследование данных характеристик, позволяющее прийти к выводу.

Никитин И.С., Никитин А.Д., Стратула Б.А. «Модель и метод расчета циклической повреждаемости при высокочастотном нагружении корсетных образцов» Прикладная механика и техническая физика, 65, № 1, с. 136-149 (2024)

С использованием полученных ранее аналитических формул для собственных частот и форм колебаний неоднородных стержней с переменным сечением (корсетной формы) определены геометрические и упругие характеристики образцов, а также выполнены оценки амплитуд осевых напряжений, полученных при проведении экспериментальных исследований усталостной прочности металлических сплавов при высокочастотном циклическом нагружении. На основе трехрежимной модели усталостного разрушения предложен численный метод расчета кинетики повреждаемости при высокочастотном циклическом нагружении растяжением-сжатием образцов корсетной формы при различных значениях коэффициента асимметрии цикла. Проведено сравнение результатов расчетов по предложенной модели с результатами экспериментов на образцах корсетной формы из титанового сплава. Предложенные модель и метод расчета позволяют с достаточной точностью строить усталостные кривые для различных режимов циклического нагружения и коэффициентов асимметрии цикла. Для этого достаточно знать базовые точки бимодальной усталостной кривой для реверсивного цикла

Мусазадех Х., Мохаммади М.М. «Исследование колебаний, выпучивания и аэроупругости тонкой композитной пластины при наличии в ней локальных и глобальных дефектов геометрии» Прикладная механика и техническая физика, 65, № 1, с. 150-169 (2024)

Проведено исследование нелинейных колебаний, выпучивания и аэроупругости тонкой композитной пластины. Рассмотрены способы симметричной и антисимметричной укладки различного количества слоев под различными углами в диапазоне от 0 до 90°. Изучено поведение пластины при постоянных и переменных тепловых нагрузках с учетом зависимости коэффициента удельной теплоемкости и модуля упругости от температуры. Исследовано влияние на поведение пластины наличия в ней дефектов геометрии. С использованием метода Галеркина система дифференциальных уравнений в частных производных сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решена методом Рунге–Кутты

Паймушин В.Н., Шишкин В.М. «Уточненная модель динамического деформирования стержня-полосы с закрепленным участком конечной длины на одной из лицевых поверхностей» Прикладная механика и техническая физика, 65, № 1, с. 181-197 (2024)

Решается задача о вынужденных изгибных колебаниях стержня-полосы с двумя консолями и закрепленным участком конечной длины на одной из лицевых поверхностей. Для описания процессов деформирования консолей используется модель Тимошенко без учета поперечного обжатия, закрепленного участка – такая же модель деформирования с учетом поперечного обжатия, модифицированная за счет учета наличия неподвижного закрепленного участка. Сформулированы условия кинематического сопряжения консолей и закрепленного участка. На основе вариационного принципа Гамильтона–Остроградского сформулированы уравнения движения и граничные условия, а также силовые условия сопряжения участков стержня. Получены точные аналитические решения уравнений движения при воздействии гармонической поперечной силы на конце одной из консолей стержня. Проведены численные эксперименты, в которых исследовалось прохождение резонансных колебаний через закрепленный участок конечной длины в стержнях, выполненных из дюралюминия и волокнистого композита, с учетом и без учета поперечного обжатия закрепленного участка. Обнаружено значительное увеличение амплитуды колебаний конца ненагруженной консоли дюралюминиевого стержня за счет поперечного обжатия закрепленного участка. Для композитного стержня амплитуда колебаний увеличилась незначительно

Юджель Х., Каплунов Д., Эге Н., Эрбаш Б. «Асимптотический вывод совместных уравнений для тонкой оболочки в виде упругого кольца, заполненного жидкостью» Прикладная механика и техническая физика, 65, № 2, с. 164-176 (2024)

Рассматривается классическая гармоническая по времени задача о плоской деформации цилиндрической упругой оболочки, нагруженной жидкостью. Представлены результаты низкочастотного асимптотического анализа. Получены явные формулы для собственных частот. Сформулирована уточненная теория полумембранных оболочек. Показано, что инерция оболочки не оказывает существенного влияния на низшие собственные частоты. Установлено, что окружная компонента напряжения изменяется по параболическому закону

Михасев Г.И. «Длинноволновые изгибные колебания и деформация малоразмерной полосы-балки с учетом поверхностных эффектов» Прикладная механика и техническая физика, 65, № 2, с. 214-225 (2024)

Рассматривается малоразмерная упругая изотропная полоса-балка, нагруженная переменными объемными и поверхностными силами. На лицевых поверхностях учитываются поверхностные касательные напряжения и инерция в рамках поверхностной теории упругости Гуртина–Мурдоха. Методом асимптотического интегрирования уравнений двумерной теории упругости по толщине полосы выводятся асимптотически корректные уравнения, описывающие длинноволновую изгибную деформацию микро- и нанобалок с учетом сдвигов и поверхностных эффектов. Исследуется влияние поверхностных напряжений и инерции на нижний спектр собственных колебаний металлических микро- и нанобалок. Показано, что поверхностная инерция оказывает такое же влияние на спектр собственных частот изгибных колебаний, как и поверхностные напряжения

Дмитриев С.Н., Хамидуллин Р.К. «Обработка результатов модальных испытаний с учетом нелинейной зависимости демпфирования от частоты колебаний» Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Машиностроение, № 2, с. 63-81 (2024)

Предложена методика обработки результатов модальных испытаний, основанная на представлении демпфирования в окрестности резонансных пиков в виде функции от частоты колебаний. Такой подход применен для повышения качества идентификации модальных параметров систем с проявлениями нелинейностей. Методика позволяет учитывать изменения демпфирования в окрестности резонансных пиков, возникающих в основном из-за зависимости демпфирования от амплитуды колебаний, а также существенную несимметричность пиков, обычно связанную с проявлением гистерезиса при уменьшении или возрастании частоты колебаний. При обработке на основе экспериментально полученных амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик построена функция демпфирования, характеризующая изменение демпфирования в конструкции от частоты колебаний. В окрестности резонансных пиков проведена аппроксимация функции демпфирования полиномом второй степени для определения соотношения между коэффициентами полинома. Методом наименьших квадратов выполнен итерационный подбор коэффициентов демпфирования для каждого тона колебаний с учетом взаимного влияния тонов. Методика реализована в среде MATLAB. Верификация проведена сравнением результатов обработки с результатами, полученными с помощью методов PolyMAX, Time MDOF и метода половинной мощности.