Карпов В.В., Бакусов П.А., Масленников А.М., Семенов А.А. «Математические модели деформирования оболочечных конструкций и алгоритмы их исследования Часть I. Модели деформирования оболочечных конструкций» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 23, № 3, с. 370-410 (2023)

Приводятся сведения по истории развития теории тонких оболочек в хронологическом порядке с указанием конкретных ученых и их вклада в совершенствование теории. Обзор работ состоит из тех публикаций, которые касаются именно разработки теории оболочек. Излагаются математические модели деформирования тонких упругих оболочек, как наиболее точные, так и упрощенные. Изложение ведется на основе публикации российских авторов, вклад которых в совершенствование теории оболочек наиболее существенен (В.В. Новожилов, А.И. Лурье, А.Л. Гольденвейзер, Х.М. Муштари, В.З. Власов). Отмечены также ученые, внесшие существенный вклад в теорию, методы расчета, исследования прочности, устойчивости и колебаний оболочек. Отдельно показано применение этих моделей для исследования ребристых оболочек. Приводятся сведения по разработке нелинейной теории оболочек и показаны нелинейные соотношения для деформаций. Анализируются математические модели деформирования тонких оболочек, полученные разными авторами. Показано, что если срединная поверхность оболочки отнесена к ортогональной системе координат, то выражения деформаций, полученные разными авторами, практически совпадают (отличаются членами, которыми ввиду их малости можно пренебречь). А.Л. Гольденвейзером разработаны математические модели деформирования тонких оболочек, когда их срединная поверхность отнесена к произвольной косоугольной системе координат. Для задач статики записывается функционал полной потенциальной энергии деформации, представляющий собой разность потенциальной энергии и работы внешних сил. Из условия минимума этого функционала выводятся уравнения равновесия и естественные краевые условия. Для задач динамики составляется функционал полной энергии деформации оболочки, в котором кроме потенциальной энергии деформации оболочки и работы внешних сил участвует еще и кинетическая энергия деформации оболочки. Также из условия минимума этого функционала выводятся уравнение движения и естественные краевые и начальные условия. Приводятся некоторые сведения по результатам современных исследований в теории тонких оболочек.

Карпов В.В., Бакусов П.А., Масленников А.М., Семенов А.А. «Математические модели деформирования оболочечных конструкций и алгоритмы их исследования. Часть II. Алгоритмы исследования оболочечных конструкций» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 25, № 3, с. 345-365 (2025)

Математические модели деформирования тонких оболочек, описанные в первой части статьи, представляют собой или вариационную задачу о минимуме функционала энергии деформации оболочки, или краевую задачу для дифференциальных уравнений равновесий оболочки. И в том, и в другом случае задаются еще краевые условия исходя из вида закрепления контура оболочек. Для решения поставленных задач рассмотрены различные методы. Применяя метод Ритца к вариационной задаче о минимуме функционала энергии деформации оболочки или метода Бубнова–Галеркина к краевой задаче для дифференциальных уравнений равновесий оболочки, получаются системы алгебраических уравнений линейных или нелинейных. Применение метода конечных элементов (МКЭ) к решению задач теории оболочек также приводит к системам алгебраических уравнений, порядок которых может быть очень большим. Для решения линейных систем алгебраических уравнений может быть применен метод Гаусса, если порядок системы не превышает 10³. Если же порядок системы линейных алгебраических уравнений превышает 10³, то для решения таких систем применяют итерационные методы. Для решения нелинейных задач теории оболочек применяют методы продолжения решения по параметру. Если за параметр принимается нагрузка, то это будет метод последовательных нагружений В. В. Петрова, который позволяет свести решение нелинейных задач к последовательному решению линейных задач с изменяющимися на каждом этапе нагружения коэффициентами. Для решения нелинейных задач теории оболочек рассмотрен также метод итераций, когда нелинейные члены переносятся в правую часть и последовательно изменяются на каждом этапе итерации. Для решения нелинейных задач теории оболочек рассмотрен еще метод наискорейшего спуска. А. Л. Гольденвейзером разработан специальный метод – метод асимптотического интегрирования уравнений теории оболочек, который также описан в предлагаемой статье. Если уравнение равновесия оболочек содержит разрывные функции (единичные функции, дельта-функции), то Г.Н. Белосточным разработан специальный метод решения таких уравнений, который также описан в статье. Приводятся примеры применения описанных методов для решения конкретных задач теории оболочек.

Ильгамов М.А. «Теория Тимошенко изгиба пластины в поле высоких давлений» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 3-21 (2025)

Дан вывод линейного уравнения цилиндрического динамического изгиба упругой пластины, на лицевые поверхности которой действуют высокие давления. Кроме инерции вращения и поперечного сдвига, учитываются обжатие пластины по толщине и связанная с ним продольная сила. Производится уточнение поперечной распределенной силы, зависящей от среднего давления и кривизны срединной поверхности. Подробно рассматривается зависимость статического изгиба от среднего давления на поверхности пластины и жесткости опор в продольном направлении.

Лесняк И.Ю., Соколовский З.Н., Фёдорова М.А., Гавриленко С.В., Казаков А.Ю., Коновалов В.Е. «Проблема оценки выносливости элементов корпуса низколетящих орбитальных объектов» Омский научный вестник, № 2, с. 29-36 (2024)

Анализируется вопрос расчета выносливости корпуса низколетящих орбитальных объектов от циклической температурной знакопеременной деформации за пределами закона Гука. Констатируется практическое отсутствие методики прямого расчета. Предлагается косвенный расчет на базе имеющихся экспериментальных данных по механическим испытаниям образцов с параметром «напряжение» и алгоритм перехода от фактических деформаций к эквивалентным напряжениям. Методика расчета базируется на использовании существующей экспериментальной кривой усталости при симметричном цикле изгиба, результатах статических испытаний на растяжение при экстремальных температурах цикла и обобщении известной информации о закономерностях изменения параметров выносливости рассматриваемого материала применительно к условиям циклической температурной знакопеременной деформации циклической температурной знакопеременной деформации. Адекватность методики проверяется на примере разгерметизации корпуса орбитального модуля «Заря» международной космической станции, изготовленного из сплава AMг6 после ≈120 000 циклов знакопеременного температурного нагружения. Отличие расчетной и фактической выносливости сплава АМг6 находится в пределах естественного разброса в 20% при испытаниях на усталость.

Калашников Б.А., Бохан В.В., Пеньков К.В. «Экспериментальное определение нелинейной функции демпфирования механических систем» Омский научный вестник, № 3, с. 5-13 (2024)

Коэффициенты нелинейной функции демпфирования механической системы с одной поступательной степенью свободы определяются по экспериментально полученной осциллограмме свободных колебаний. Функция моделируется тремя видами трения: сухим, линейно-вязким и нелинейно-вязким. Определяются численные значения коэффициентов демпфирования. Получена характеристика диссипативной силы в функции перемещения, по которой находится количество рассеянной за период энергии. Методом энергетического баланса приближённо находится эквивалентный коэффициент относительного затухания, с использованием которого выполняется численное интегрирование уравнения движения. Наложением расчётной осциллограммы на экспериментальную показывается удовлетворительное совпадение огибающей и фазы колебательного процесса. Уточнение параметров функции демпфирования может быть найдено аппроксимацией экспериментальных амплитуд. Найденное значение коэффициента относительного затухания может быть использовано для решения нелинейных задач динамики слабодемпфированных систем

Малыхина О.И., Макарьянц Г.М. «Расчёт частот и форм собственных изгибных колебаний конструкций ракетно-космической техники» Труды Московского авиационного института, № 144, с. https://trudymai.ru/published.php?ID=185684 (2025)

Рассматриваются вопросы выбора рационального размера балочного конечного элемента (КЭ) конечно-элементной модели (КЭМ), применяемой для решения задач динамики упругих конструкций ракетно-космической техники. Точность динамического расчёта зависит от корректного КЭ моделирования собственных частот и форм колебаний ракеты-носителя (РН), однако существует неопределённость в отношении выбора размера КЭ, что впоследствии приводит к трудностям верификации КЭМ. Верификация модели, с помощью доказательства её сеточной сходимости, подразумевающей уменьшение размера КЭ, в инженерной практике приводит к недопустимым временным затратам. Поэтому целью исследования является разработка рекомендаций по выбору максимально допустимого размера балочного КЭ динамической КЭМ модели РН. Первоначально задача поиска собственных частот и форм колебаний была решена для тестового случая незакреплённой однородной балки, для которой была разработана КЭМ с традиционной диагональной матрицей масс (ДММ), а также КЭМ с более точной согласованной матрицей масс (СММ), точность моделирования оценивалась путём сравнения с известными аналитическими решениями. Выявлено, соотношение для определения рационального количества элементов при использовании СММ, для случая использования ДММ, получены аналогичные приближенные зависимости на основе метода наименьших квадратов. В дальнейшем разработанная рекомендация по выбору размера КЭ c СММ была использована для создания эталонной динамической модели РН, которая была использована при верификации КЭМ, построенной на базе КЭ с ДММ. Это позволило найти адекватное количество КЭ для КЭМ с ДММ реальной конструкции РН большого продольного удлинения тандемной компоновки.

Алгазин С.Д. «Нелинейные колебания прямоугольной пластины» Известия высших учебных заведений. Авиационная техника, № 3, с. 17-21 (2025)

Построена математическая модель нелинейных колебаний изотропной прямоугольной пластины. Разработан численный алгоритм без насыщения для решения данной проблемы. В качестве искомых переменных выбраны прогиб и усилия в срединной плоскости пластины. Задача сведена к системе нелинейных обыкновенных уравнений. Ключевые слова: уравнения Кармана, нелинейные колебания, прямоугольная пластина, численный алгоритм без насыщения

Ватульян А.О., Юров В.О. «Об одном новом подходе к идентификации неоднородных механических свойств упругих тел» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 24, № 2, с. 209-221 (2024)

Представлен новый подход к решению задачи об идентификации переменных характеристик неоднородного упругого изотропного тела. Приведены наиболее употребительные постановки задач об определении переменных механических характеристик (параметры Ламе и плотность – функции координат). Обратная задача идентификации свойств в силу своей существенной нелинейности обычно решается итерационным образом, причем каждая итерация требует решения прямой задачи для некоторого начального приближения и системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода с гладкими ядрами для нахождения поправок. Такой подход, в свою очередь, требует задания поля перемещений в области, в которой осуществляется нагружение. Предложен подход, на базе которого возможно осуществлять реконструкцию при съеме дополнительной информации о поле смещений в области, отличной от области нагружения, в более узком пространстве поиска. Представлен пример такой реконструкции в задаче о продольных колебаниях неоднородного стержня, где амплитудно-частотная характеристика задана во внутренней точке стержня, а нагружение реализовано на торце. Приведены результаты вычислительных экспериментов по реконструкции модуля упругости и плотности в виде двух функций продольной координаты.

Кириллова И.В. «Гиперболический погранслой в окрестности фронта волны сдвига в оболочках вращения» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 24, № 3, с. 394-401 (2024)

Строятся асимптотическим методом уравнения гиперболического погранслоя в тонких оболочках вращения в малой окрестности фронта волны сдвига (с учетом его геометрии) при ударных торцевых воздействиях нормального типа. Используется специальная система координат, явно выделяющая узкую зону действия погранслоя. В этой системе координатные линии, определяемые нормалями к срединной поверхности, заменяются линиями, образующими поверхность переднего фронта волны сдвига. Асимптотическая модель геометрии переднего фронта волны предполагает, что эти образующие формируются повернутыми нормалями к срединной поверхности. Определены главные компоненты рассматриваемого типа напряженно-деформированного состояния: нормальное перемещение и касательное напряжение. Разрешающее уравнение рассматриваемого погранслоя является гиперболическим уравнением второго порядка с переменными коэффициентами относительно нормального перемещения.

Модестов К.А., Шитикова М.В. «Распространение гармонических волн в вязкоупругих средах, описываемых моделями с дробными производными» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 25, № 2, с. 214-230 (2025)

Исследуются характеристики гармонических волн, распространяющихся в трехмерных изотропных вязкоупругих средах, с помощью обобщенных моделей Кельвина–Фойгта, Максвелла и стандартного линейного твердого тела с дробными производными. Найдены асимптотические значения скоростей продольных и поперечных волн, их коэффициентов затухания и логарифмических декрементов.

Дегилевич Е.А., Смирнов А.С. «Колебания конечномерных моделей растяжимой цепной линии» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 25, № 3, с. 332-344 (2025)

Статья посвящена исследованию собственных частот колебаний конечномерных моделей растяжимой гибкой цепной линии. Приводятся аналитическое решение для двухгантельной и трехгантельной моделей, а также результаты компьютерного моделирования двадцатигантельной схемы растяжимой цепной линии. В случае аналитического подхода применяется координатный метод решения, при котором расписываются координаты сосредоточенных масс гантельных схем в отклоненном положении. В случае численного подхода используется программный комплекс MSC.ADAMS, позволяющий анализировать статику, кинематику и динамику многотельных систем. Полученные результаты для рассматриваемых моделей растяжимой цепной линии находятся в хорошем качественном соответствии между собой. Кроме того, при рассмотрении предельных переходов от растяжимого варианта к нерастяжимому также наблюдается хорошая согласованность ожидаемых эффектов с найденными результатами. Для конечномерной двадцатигантельной модели нерастяжимой цепной линии с сосредоточенными параметрами проводится сопоставление первых трех безразмерных частот с частотами непрерывной модели, значения которых были найдены ранее. Наблюдается отличная схожесть результатов, подтверждающих применимость двадцатигантельной схемы для описания динамики цепной линии на низших частотах колебаний. Помимо определения частот, привычных для классической нерастяжимой цепной линии, проводится анализ новых «мигрирующих» частот, которые появляются вследствие возникновения дополнительных степеней свободы из-за учета растяжимости. Строятся частотные зависимости от параметра, характеризующего податливость цепной линии, что позволяет оценить, как быстро «мигрирующие» частоты перемещаются из высокочастотного диапазона в зону низших частот по мере ослабления жесткости цепи. Полученные формулы и рассмотренные модели имеют как теоретическую ценность, так и хорошую применимость для прикладных задач.

Семенова В.Ю., Альбаев Д.А. «Определение нелинейных сил второго порядка, обусловленных разностью частот, возникающих при поперечно-горизонтальных, вертикальных и бортовых колебаниях судна на основании трехмерной потенциальной теории» Морские интеллектуальные технологии, № 3-1, с. 42-50 (2025)

Рассматривается определение нелинейных сил второго порядка, обусловленных разностью частот и возникающих при изолированных поперечно-горизонтальных, вертикальных и бортовых колебаний судна в бесконечно-глубокой жидкости. Определение данных сил производится на основании разработанного ранее Альбаевым Д.А метода расчета нелинейных сил, основанного на применении трехмерной потенциальной теории, методов малого параметра и интегральных уравнений. В последствии выполнено расширение возможностей данного метода. В настоящей статье выполнена апробация полученных результатов расчетов нелинейных сил, обусловленных разностью частот , а именно проверено выполнение условий симметрии , характерных для данных сил и выполнено сопотавление полученных расчетов с расчетами аналогичных сил, выполненных по двумерной теории. Проведенное сопоставление показало убедительное согласование результатов. Приводятся результаты расчетов нелинейных сил, для различных типов судов и различных комбинаций частот. Показано значительное увеличение нелинейных сил при сочетании частот ω₂=1.0 с^–1 , и изменении ω₁ от 0.1 до 1.0 с^–1 . Бесспорным достоинством метода, в отличии от двумерного, является его возможность рассчитывать нелинейные силы, обусловленные разностью частот при различных значениях курсовых углов. В работе приводятся расчеты различных нелинейных сил и моментов, при разных сочетаниях курсовых углов пакетов волн с частотами ω₂ и ω₁. Показано значительное увеличение нелинейных сил при равенстве обоих курсовых углов 90°. Приведено сравнение нелинейных сил, обусловленных разностью частот с нелинейными силами, обусловленными суммой , полученными авторами ранее. Показана необходимость учета обеих категорий сил. Ключевые слова: нелинейные силы, разность частот, метод малого параметра, функция Грина, трехмерная потенциальная теория

Семенова В.Ю., Альбаев Д.А. «Исследование влияния мелководья на нелинейные силы второго порядка, обусловленные суммой частот, возникающие при поперечных видах качки судов на бихроматическом волнении» Морские интеллектуальные технологии, № 4-1, с. 69-77 (2025)

Проводится исследование влияния жидкости ограниченной глубины на значения нелинейных сил второго порядка, обусловленных суммой частот и возникающих при изолированных поперечно-горизонтальных, вертикальных и бортовых колебаний судна. Определение данных сил проводится на основании метода, разработанного авторами ранее на основании трехмерной потенциальной теории, методов малого параметра и интегральных уравнений и распространенного на случай жидкости ограниченной глубины. Выполнена апробация метода, а именно проверено выполнение условий, характерных для данных сил. Приводятся результаты расчетов нелинейных сил, для различных типов судов и различных комбинаций частот для разных значений относительной глубины. Показано значительное увеличение нелинейных сил при сочетании частот ω₂, равной 1 с^–1 и изменении ω₁ от 0.1 до 1.0 с^–1 . Проведено исследование влияния изменения относительной глубины на нелинейные силы и моменты, обусловленные суммой частот. В работе приводятся расчеты различных нелинейных сил и моментов, возникающих при поперечно-горизонтальной, вертикальной и бортовой качке различных судов при разных сочетаниях H/T и частот волнения ω₂ и ω₁. Показано значительное увеличение нелинейных сил при уменьшении относительной глубины для различных сочетаний частот бихроматического волнения. Ключевые слова: нелинейные силы, сумма частот, метод малого параметра, функция Грина, трехмерная потенциальная теория, мелководье ограниченная глубина, бихроматическое волнение

Дружинина О.В., Лисовский Е.В. «Построение нелинейной модели движения железнодорожной тележки и исследование устойчивости поперечных колебаний с учетом внешних возмущений» Нелинейный мир, 23, № 2, с. 32-37 (2025)

Постановка проблемы. Построение нелинейных моделей транспортных систем и анализ различных типов устойчивости движения систем железнодорожного транспорта является актуальным научным направлением, связанным с обеспечением безопасности движения и с разработкой цифровых двойников. В качестве важных задач следует выделить построение моделей с учетом криволинейного профиля катания и внешних возмущений, а также исследование устойчивости решений нелинейных систем дифференциальных уравнений, моделирующих поперечные колебания транспортных средств. Цель. Построить и исследовать обобщенную модель движения железнодорожной тележки с использованием методов теории устойчивости движения. Результаты. Предложено обобщение учитывающей криволинейный профиль катания линейной модели поперечных колебаний железнодорожной тележки при нелинейном случае. Рассмотрено построение нелинейной модели, описываемой двумя дифференциальными уравнениями второго порядка, и выполнен переход к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме. В предложенной модели учтены внешние возмущения, описываемые нелинейными функциями. Отмечено, что указанные возмущения могут иметь характер внешних воздействий на движение железнодорожной тележки, связанных, с ветровыми или сейсмическими нагрузками. На основе первого и второго методов Ляпунова получены условия устойчивости рассматриваемой динамической модели транспортной системы. Практическая значимость. Полученные результаты исследования могут найти применение при решении задач, связанных с обеспечением устойчивых режимов функционирования систем транспорта, с разработкой алгоритмов анализа устойчивости для последующей реализации в виде комплекса программ. Результаты направлены на реализацию моделей динамики подвижного состава с учетом их использования для разработки цифровых двойников элементов транспортной инфраструктуры.

Князева К.С., Шелест Е.Л., Шанин А.В. «Описание пластин с помощью матричного уравнения Клейна–Гордона» Акустический журнал, 71, № 5, с. 625-632 (2025)

Матричное уравнение Клейна–Гордона описывает волноводы с дискретной структурой сечения. Оно также может рассматриваться как модель сплошного волновода, полученная в результате применения волноводного метода конечных элементов. В данной работе изучается возможность описания изгибных колебаний тонкой пластины с помощью матричного уравнения Клейна–Гордона. Вопрос не является тривиальным, так как матричное уравнение Клейна–Гордона содержит производные по времени и по координате второго порядка, а изгибные колебания описываются уравнением с производной по координате четвертого порядка. В работе выводятся матричные уравнения Клейна–Гордона различной размерности для пластины. Показано, что линейная аппроксимация деформации пластины по сечению приводит к завышенным значениям жесткости пластины, но более сложные модели приводят к верным значениям.

Рябинин А.Н., Иванов М.И., Данилов А.В. «Колебания подвешенного в воздушном потоке цилиндра со стабилизатором» Журнал технической физики, 96, № 3, с. 477-485 (2026)

В экспериментах в аэродинамической трубе изучены колебания кругового цилиндра, снабженного стабилизатором. Цилиндр подвешен в воздушном потоке на тросовой подвеске и может колебаться. Ось цилиндра в равновесном положении направлена под небольшим отрицательным углом атаки к направлению скорости набегающего потока. Стабилизатор удерживает цилиндр в этом положении, обеспечивая малое лобовое сопротивление. Колебания цилиндра в воздушном потоке зарегистрированы акселерометром, который вместе с контроллером находится внутри цилиндра. Прибор позволил измерять три проекции угловой скорости цилиндра на оси системы координат, связанной с цилиндром. В отдельном эксперименте определены аэродинамические коэффициенты сил и моментов, действующих на цилиндр. Модифицирована математическая модель, ранее предложенная для описания колебаний цилиндра. Модель правильно описывает угловые колебания цилиндра вокруг оси, близкой к вертикальной, поперечные колебания, амплитуда которых увеличивается с ростом скорости воздушного потока, и режим биений, возникающий в определенном диапазоне скоростей воздушного потока. Ключевые слова: аэродинамическая труба, акселерометр, плохо обтекаемое тело, математическая модель, обыкновенные дифференциальные уравнения, числа подобия.

Верхоглядов А.Е. «Экспериментальное изучение поперечных колебаний твэла пульсирующего реактора» Журнал технической физики, 96, № 3, с. 624-630 (2026)

С целью уточнения параметров математической модели реактора периодического действия и разработки конструкции активной зоны нового источника нейтронов был изготовлен стенд вибродиагностики модельных твэлов. Описаны устройство стенда и задачи, которые планируется на нем решить. Результаты первых измерений сравнены с численным моделированием. Обсуждены перспективы дальнейших экспериментов и развития приборной базы стенда. Ключевые слова: источник нейтронов, реактор периодического действия, активная зона, нитрид нептуния, твэл, вибродиагностика.

Паймушин В.Н., Шишкин В.М. «Моделирование вынужденных изгибных колебаний стержня-полосы c закрепленным участком конечной длины при заданных перемещениях упругого опорного элемента» Прикладная механика и техническая физика, 66, № 4, с. 188-205 (2025)

Решается задача о вынужденных изгибных колебаниях стержня-полосы с двумя консолями и закрепленным участком конечной длины на одной из лицевых поверхностей. Для описания процессов деформирования консолей используется классическая модель Кирхгофа–Лява, закрепленного участка – уточненная сдвиговая модель Тимошенко с учетом поперечного обжатия, модифицированная за счет учета наличия заданных перемещений опорного элемента. Сформулированы условия кинематического сопряжения закрепленного участка и консолей, с учетом которых на основе принципа Гамильтона–Остроградского получены уравнения движения и граничные условия, а также силовые условия сопряжения участков стержня. Построено точное аналитическое решение задачи о гармонических вынужденных колебаниях при воздействии гармонической поперечной силы на конце одной из консолей стержня. Проведены численные эксперименты, в которых исследовались вынужденные изгибные колебания стержня, выполненного из дюралюминия марки Д16АТ. Показано, что колебания ненагруженной консоли стержня в основном обусловлены заданными перемещениями опорного элемента

Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е. «Неустойчивость колебаний рельсовой направляющей при воздействии движущейся распределенной нагрузки» Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: Машиностроение, № 4, с. 40-55 (2025)

Рассмотрена задача о колебаниях рельсовой направляющей при движении по ней протяженного состава. В качестве модели рельсовой направляющей использована балка, лежащая на упругом основании, состав рассмотрен как одномерная среда с нулевой изгибной жесткостью. Предположено, что при колебаниях на балку со стороны вагонов действует распределенная нагрузка. Уравнение, описывающее динамическое поведение балки с учетом движущейся нагрузки, приведено в эйлеровых координатах и безразмерной форме. Представлены дисперсионные кривые, рассчитанные при различных скоростях движения нагрузки. Найдены критические скорости ее движения, при переходе через которые изменяется число возбуждаемых в направляющей изгибных волн. Эти скорости зависят от физико-механических свойств направляющей, нагрузки и основания. Определено, при каких условиях частота имеет отличную от нуля мнимую часть, поскольку именно отрицательное значение мнимой части частоты ассоциируется с неустойчивостью – возможностью экспоненциального роста амплитуды возмущения во времени. Установлено минимальное значение скорости движения нагрузки, при котором наступает неустойчивость направляющей по поперечным колебаниям. Показано, что на основе анализа задачи кинематики можно строить прогнозы возможных режимов устойчивости и/или неустойчивости вибраций рельсовой направляющей при движении высокоскоростных объектов