Георгиевский В.П., Пилипенко П.Б. «Колебания и устойчивость ортотропных цилиндрических оболочек, скрепленных с упругим цилиндром конечной длины» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 4, с. 137-150 (2006)

Работы, посвященные вопросам колебаний и устойчивости оболочек, скрепленных с упругим цилиндрическим телом (заполнителем), можно разделить на три группы в зависимости от расчетной схемы, принятой для заполнителя. К первой группе работ относятся работы, в которых заполнитель моделируется упругим основанием с одним (основание Винклера) или двумя (основание Пастернака) коэффициентами "постели". Ко второй группе относятся работы, в которых заполнитель рассматривается как упругое трехмерное тело и описывается уравнениями теории упругости, либо уравнениями, получающимися из них путем сведения пространственной задачи к двумерной или одномерной, при этом докритическое напряженное состояние заполнителя не учитывается. К последней, третьей группе, относятся работы, в которых учитывается докритическое состояние заполнителя; в них используются трехмерные линеаризованные уравнения упругой устойчивости, получающиеся путем линеаризации нелинейных уравнений теории упругости. Решение задач с использованием первой модели заполнителя позволяет выявить основные закономерности потери устойчивости оболочек с заполнителем. К более строгой постановке задач по устойчивости оболочек с заполнителем относятся работы второй группы, в этих задачах на торцах упругого заполнителя рассматриваются смешанные граничные условия (равенство нулю осевых напряжений и радиальных перемещений), что соответствует рассмотрению заполнителя в виде бесконечно длинного цилиндра. Случай заполнителя со свободными торцами приближенно рассматривался ранее, задача решалась энергетическим методом и при учете только радиального взаимодействия между оболочкой и заполнителем. Устойчивость оболочек с заполнителем с учетом докритического напряженного состояния заполнителя рассматривалась в работах Власова В.В., Иванова В.А., Германа Ж., Форрестола М. В них показано, что для широкого диапазона изменения жесткостных и геометрических параметров можно пренебречь докрити-ческим состоянием заполнителя и работу его описывать линейными уравнениями Ламе. Несмотря на большое количество работ, посвященных колебаниям и устойчивости ортотропных оболочек, скрепленных с упругим заполнителем, многие вопросы еще полностью не решены: отсутствует строгое решение задачи колебаний и устойчивости сжатой цилиндрической оболочки, скрепленной с упругим заполнителем, при различных граничных условиях на его торцах, в том числе, свободных от напряжений; в недостаточной мере проведена экспериментальная проверка теоретических решений. В статье заполнитель рассматривается как упругое изотропное тело конечной длины с соосным цилиндрическим каналом конечной длины, что со ответствует рассмотрению на его торцах четырех возможных вариантов граничных условий. Математическая постановка задачи заключается в записи дифференциальных уравнений, описывающих поведение рассматриваемой системы, "оболочка–заполнитель", формулировке граничных условий на торцах заполнителя, оболочки и условий на цилиндрических поверхностях заполнителя.