Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Толченников А.А. «Равномерная асимптотика граничных значений решения линейной задачи о набеге волн на пологий берег» Математические заметки, 101, № 5, с. 700-715 (2017)

Для двумерного волнового уравнения с переменной скоростью рассматривается задача Коши в области Ω с пространственно локализованными начальными условиями. Предполагается, что скорость вырождается на границе ∂Ω области как корень квадратный из расстояния до ∂Ω. В частности, такая задача описывает в линейном приближении набег волн цунами на пологий берег, причем в ней имеется естественный малый параметр – отношение характерных размеров источника и бассейна, что позволяет изучать ее асимптотическими методами. В работе “Характеристики с особенностями и граничные значения асимптотического решения задачи Коши для вырождающегося волнового уравнения” (Матем. заметки, 2016, т. 100, № 5, 710-731) было показано, что сужение на границу области асимптотического решения этой задачи, задаваемого модифицированным каноническим оператором Маслова на лагранжевом многообразии, образованном сопоставляемыми задаче нестандартными характеристиками, можно выразить через канонический оператор на лагранжевом подмногообразии кокасательного расслоения границы. Открытым, однако, оставался вопрос о том, как это сужение соотносится с сужением на границу точного решения задачи. В работе показано, что если начальное возмущение задается быстро убывающей на бесконечности функцией, то сужение указанного асимптотического решения на границу дает асимптотику граничных значений решения в равномерной норме. Для этого, в частности, доказывается теорема о следах для нестандартных пространств соболевского типа с вырождением на границе.