Чернышев В.Л., Шафаревич А.И. «Квазиклассический спектр оператора Шрёдингера на геометрическом графе» Математические заметки, 82, № 4, с. 606-620 (2007)

Рассматривается задача построения асимптотических решений спектральной задачи для уравнения Шрёдингера на геометрическом графе. Дифференциальные уравнения на множествах такого типа возникают при анализе процессов в системах, допускающих представление в виде набора одномерных континуумов, взаимодействующих только через концы, например, при описании колебаний решетки из струн или стержней, стационарных состояний электронов в молекуле, акустических систем. Интерес к уравнениям Шрёдингера на сетях возрос, в частности, в связи с тем, что объекты нанотехнологий могут описываться тонкими многообразиями, которые в пределе могут стягиваться к графам. Основным результатом данной работы является алгоритм построения правил квантования (обобщающих известные правила квантования Бора–Зоммерфельда), который проиллюстрирован рядом примеров. Также рассматривается задача описания ядер оператора Лапласа, действующего на k-формах, определенных на сети. Кроме того, найдены асимптотические собственные значения, соответствующие собственным функциям, локализованным в вершине графа.