Вановский В.В., Петров А.Г. «Пружинная аналогия нелинейных колебаний пузырька в жидкости при резонансе» Прикладная математика и механика, 81, № 4, с. 445-461 (2017)

Рассматриваются две нелинейные колебательные системы. Первая – материальная точка на пружине при вертикальной вибрации точки подвеса с частотой, которая совпадает с частотой свободных вертикальных колебаний и в два раза больше частоты свободных колебаний по горизонтали. Учитывается сила трения в пружине. При начальном отклонении материальной точки по вертикали за достаточно большое время энергия вертикальных колебаний почти полностью перекачивается в энергию колебаний по горизонтали. Методом осреднения построено асимптотическое решение, описывающее переходный процесс установления периодического решения. Проведенное сравнение аналитического решения с численным показывает его высокую точность. Вторая система – осесимметричный пузырек в жидкости под действием переменного давления. Установлена аналогия этой системы с предыдущей. Вибрации точки подвеса пружинного маятника соответствует переменное давление в жидкости, вертикальной и горизонтальной модам колебаний качающейся пружины – радиальная и деформационная моды колебаний пузырька, отношение частот этих мод считается также равным 2 : 1. Силе трения в пружине соответствуют потери энергии при радиальных колебаниях пузырька. При расчете потерь энергии учитывается вязкость жидкости, тепловая диссипация и акустическое излучение за счет сжимаемости жидкости. При перекачке энергии радиальных колебаний амплитуда резонансной деформационной моды колебаний пузырька аномально растет, что позволяет раздробить пузырек в жидкости при малых энергетических затратах на подачу переменного внешнего поля давления.

Петров А.Г. «Об устойчивости капиллярных волн конечной амплитуды» Прикладная математика и механика, 81, № 4, с. 462-470 (2017)

Прямым методом Ляпунова доказана устойчивость (в смысле ослабленного определения устойчивости по Ляпунову) точного решения Крэппера для капиллярных волн. Поверхность волны описывается с помощью коэффициентов ряда Лорана конформного отображения одного периода волны на внутренность единичного круга (коэффициенты Стокса). Коэффициенты Стокса рассматриваются как обобщенные координаты волны. Динамические уравнения для капиллярной волны представляются в виде бесконечной цепочки уравнений Эйлера–Лагранжа для коэффициентов Стокса. Найденное стационарное решение этих уравнений является решением Крэппера для капиллярных волн. С помощью законов сохранения энергии и импульса построена функция Ляпунова доказано, что она положительно определена по отношению к любым возмущениям поверхности волны с периодом, равным длине волны.