Анисимов В.Н. «Продольные резонансные колебания вязкоупругого стержня переменной длины» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 4, с. 5-16 (2017)

Исследуются колебания стержня, сгорающего с одного конца. Объект исследования относится к широкому кругу колеблющихся одномерных объектов с движущимися границами и нагрузками. Для описания колебаний использована классическая математическая модель, учитывающая вязкоупругость на основе структурной модели Фойгта. Введение безразмерных переменных позволило сократить число параметров, от которых зависит процесс колебаний, до двух. Параметры характеризуют скорость движения границы и вязкоупругие свойства стержня. Для решения применён метод Канторовича–Галёркина. В качестве динамических мод взяты собственные функции краевой задачи с неподвижной границей. Решение в случае, когда скорость движения границы равна нулю, является точным. При увеличении скорости движения границы погрешность решения увеличивается. Пренебрежение малыми величинами позволило получить сравнительно простое выражение для амплитуды резонансных колебаний. Выражение, полученное для амплитуды колебаний, содержит интегралы, не имеющие аналитического решения, поэтому они находились численно. Решение имеет модовую структуру, что позволяет анализировать резонансные свойства стержня. С помощью полученного решения проанализированы явления установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Для установившегося резонанса получено аналитическое выражение, описывающее увеличение амплитуды колебаний. Прохождение через резонанс проанализировано количественно. Представлены графики изменения амплитуды колебаний в резонансной области для первой динамической моды при различных значениях параметра, характеризующего вязкоупругость. Представлены также графики максимальной амплитуды колебаний при прохождении через резонанс на первой динамической моде в зависимости от параметров, характеризующих вязкоупругость и скорость движения границы

Мыльцина О.А., Белосточный Г.Н. «Устойчивость нагретой ортотропной геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 4, с. 109-120 (2017)

На основании линейной термоупругости рассматриваются тонкостенные геометрически нерегулярные объекты в виде ортотропных прямоугольных пластин, которые подкреплены симметричными относительно срединной плоскости ребрами жесткости и стандартным образом отнесены к декартовым координатам. Подкрепляющие ребра параллельны двум противоположным сторонам пластинки, расположенным в направлении набегающего газового потока. За основу взята континуальная модель термоупругой системы «пластинка–ребра». Сингулярные дифференциальные уравнения термоупругости системы «пластинка–ребра» содержат тангенциальные усилия и поперечную нагрузку. Тангенциальные усилия возникают при нагреве пластинки. Поперечная нагрузка, вызванная малым прогибом пластинки, определяется стандартным образом по «поршневой» теории. Тангенциальные усилия предварительно определяются путем решения сингулярных дифференциальных уравнений безмоментной термоупругости геометрически нерегулярной пластинки с учетом краевых условий. Решение сингулярных дифференциальных уравнений термоупругости пластинки в сверхзвуковом потоке газа в квазистатической и динамической постановках задач разыскивается в виде сумм двойных тригонометрических рядов соответственно, с постоянными и переменными по временной координате коэффициентами. Коэффициенты, аппроксимирующие функцию прогиба рядов, определяются методом Галеркина, как решения однородных алгебраических систем или однородных систем дифференциальных уравнений второго порядка в случае динамической постановки задачи с последующим сведением к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка и обращению к критерию Гурвица. Решения приводятся во втором приближении, что соответствует двум полуволнам в направлении потока и одной полуволне в перпендикулярном направлении. На основании стандартных методов анализа статической и динамической устойчивости тонкостенных конструкций определяются критические значения скорости газового потока. Количественные результаты представлены в виде таблиц, иллюстрирующих влияние геометрических параметров термоупругой системы «пластинка–ребра»: относительной высоты ребер, числа ребер, величины отношения длин сторон пластинки, температуры, анизотропии материала на устойчивость геометрически нерегулярной пластинки в сверхзвуковом потоке газа.

Пантелеев И.А., Полтавцева Е.В., Мубассарова В.А., Гаврилов В.А. «Возмущение напряженно-деформированного состояния упругого полупространства шаровой неоднородностью упругих свойств при сдвиге в горизонтальной плоскости с учетом гравитационных сил» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 4, с. 138-153 (2017)

Работа посвящена решению задачи о возмущении напряженно-деформированного состояния упругого изотропного полупространства шаровой неоднородностью упругих свойств для случая действия на полупространство только силы тяжести и случая дополнительно наложенного сдвига в горизонтальной плоскости. Получено аналитическое решение для компонент вектора перемещений и объемной деформации, выраженное через потенциалы и квазипотенциалы шара, для случая действия на полупространство только сил тяжести и случая суперпозиции сил тяжести и сдвига в горизонтальной плоскости. На примере конкретного сейсмического события показано, что вклад гравитационных сил в возмущение напряженно-деформированного состояния полупространства шаровой неоднородностью упругих свойств (распределение относительно объемной деформации) не является малым. С использованием полученного аналитического решения для случая действия только сил тяжести показано, что распределение объемной деформации является осесимметричным относительно оси z. Вокруг шаровой неоднородности упругих свойств в изотропном упругом полупространстве формируются зона относительного сжатия, расположенная по простиранию неоднородности, и зоны относительного растяжения, расположенные над и под неоднородностью. Отличительной особенностью зон относительного растяжения является их предельный размер, тогда как размер зоны относительного сжатия растет при уменьшении величины объемной деформации. При добавлении в решение слагаемого, связанного со сдвигом в горизонтальной плоскости, симметрия не нарушается, но нарушается равенство по модулю объемных деформаций в соседних октантах. Размеры и геометрия изоповерхностей объемной деформации при учете сил тяжести в задачи сдвига в горизонтальной плоскости существенно меняется. В зависимости от направления оси максимального растяжения полупространства с неоднородностью происходит увеличение размеров зон относительного сжатия и соответствующее уменьшение размеров зон относительного растяжения с изменением формы обеих.