Беляев А.К., Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. «Устойчивость гибкого вертикального стержня на вибрирующем основании» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 5, № 3, с. 477-478 (2018)

Дается обобщение классической задачи Капицы на случай перевернутого гибкого маятника. Рассматривается тонкий однородный вертикальный стержень со свободным верхним концом и шарнирно или жестко закрепленным нижним концом под действием веса и гармонических вертикальных колебаний основания. В обоих случаях закрепления найдены условия устойчивости вертикального положения стержня. Учитывается влияние как продольных, так и изгибных колебаний стержня, причем изгибные колебания описываются по балочной модели Бернулли-Эйлера. Решение построено в виде разложения в ряды Фурье по собственным функциям вспомогательных краевых задач. В результате задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и малым параметром. Для ее решения и для определения критического уровня вибраций используется асимптотический метод двухмасштабных разложений. Установлено, что учет влияния продольных волн в стержне существенно снижает критическую нагрузку. Оказалось, что одномодовое приближение дает удовлетворительную точность. В случае шарнирной опоры нижнего конца стержня получено явное приближенное решение. Для жесткого закрепления проведен численный анализ критического уровня вибраций от параметров задачи.

Пашкевич В.В. «Вращение абсолютно твердого тела в релятивистском приближении» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 5, № 3, с. 494-508 (2018)

Проводилось изучение релятивистского вращения абсолютно твердого тела. Релятивистское вращение абсолютно твердого тела порождается метрическими свойствами псевдориманова пространства общей теории относительности. Основная цель данного исследования – вывод функции Лагранжа для случая релятивистского вращения абсолютно твердого тела. Для этого рассматривается система точечных масс, в которой некоторая совокупность точечных масс образует «абсолютно твердое тело». Таким образом, выполняется условие, заключающееся в том, что расстояние между любыми двумя точечными массами этой совокупности всегда остается неизменным. При этом тело может вращаться вокруг собственного центра масс с угловой скоростью |ω|≥0. Остальные точечные массы из совокупности точечных масс являются точечными телами, которые не вращаются. В результате функция Лагранжа для случая релятивистского вращения абсолютно твердого тела получается из функции Лагранжа системы невращающихся точечных масс в пост-ньютоновом приближении.

Холшевников К.В., Щепалова А.С. «О расстояниях между орбитами планет и астероидов» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 5, № 3, с. 509-523 (2018)

Во многих задачах астрономии требуется количественно оценить близость орбит небесных тел. Она может служить критерием общего происхождения (обычно распада некоторого родительского тела). Для этих целей во второй половине прошлого века было предложено несколько субметрик, т.е. определенных для каждой пары кеплеровых орбит функций, удовлетворяющих первым двум аксиомам метрического пространства, но не обязательно третьей, аксиоме треугольника. В этом десятилетии было показано, что для каждой из предложенных субметрик можно указать открытое множество пар орбит, для которых эта ключевая аксиома нарушается. Недавно были построены новые метрики, удовлетворяющие всем аксиомам метрического пространства, а также индуцируемые ими метрики в распространенных в небесной механике факторпространствах пространства непрямолинейных кеплеровых орбит. В настоящей статье мы продолжили исследования свойств обсуждаемых субметрик и метрик; вычислили соответствующие субрасстояния и расстояния между орбитами планет Солнечной системы; вычислили расстояния между парами орбит всех нумерованных астероидов (как в пространстве орбит, так и в трех его фактор-пространствах); вычислили расстояния между орбитой челябинского тела и орбитами всех нумерованных астероидов.