Муравей Л.А., Петров В.М., Романенков А.М. «О задаче гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны» Вестник Мордовского университета, 28, № 4, с. 472-485 (2018)

Введение. Рассматриваемая задача гашения поперечных колебаний продольно движущейся струны актуальна для производственных процессов, связанных с продольным движением материалов (например, бумажного полотна). Для данных процессов крайне нежелательными являются поперечные возмущения, которые в вертикальном сечении описываются гиперболическим уравнением продольно движущейся струны. Вследствие этого возникает задача гашения колебаний за конечное время. Материалы и методы. Для решения задачи гашения колебаний в статье производится ее сведение к тригонометрической проблеме моментов на произвольном временном отрезке. При рассмотрении движущихся материалов построение базисных систем, образующих проблему моментов, является отдельной задачей, поскольку гиперболическое уравнение содержит смешанную производную (кориолисово ускорение). По этой причине в данном случае неприменим классический метод разделения переменных. Вместо него был использован новый метод нахождения автомодельных решений нестационарных уравнений, что позволяет найти базисные системы в явном виде. Результаты исследования. В случае с бумажным полотном находится минимальный во всем классе допустимых возмущений временной отрезок, на котором образующая проблему моментов тригонометрическая система является базисом Рисса. Это позволяет с использованием сопряженной ей системы найти соответствующее минимальному времени гашения колебаний оптимальное управление (в виде ряда) и построить так называемый оптимальный демпфер. Обсуждение и заключение. В результате исследования было построено обобщенное решение задачи гашения поперечных колебаний. Получено точное время гашения, а именно такое время T₀, при котором полная энергия системы равна нулю. Найдено оптимальное управление в виде ряда Фурье.