Богатов Е.М. «О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях» Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 27, № 1, с. 96-114 (2019)

Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900–1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида f(x)=x в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (deg f) "заиграло" в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта deg f, характеризующего отображение f окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление deg f для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Метод неподвижной точки и степень отображения – основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.