Горбатенко М.В., Незнамов В.П. «Условия квантово-механической эквивалентности статических и стационарных метрик центрально-симметричных гравитационных полей» Вопросы атомной науки и техники. Серия: Теоретическая и прикладная физика, № 1, с. 31-62 (2018)

Проведен анализ квантово-механической эквивалентности метрик центрально-симметричного незаряженного гравитационного поля. Рассмотрены статические метрики Шварцшильда в сферических и изотропных координатах, стационарные метрики Эддингтона–Финкельштейна и Пенлеви–Гуллстранда, нестационарные метрики Леметра–Финкельштейна и Крускала–Шекереса. Анализу подвергались области определения волновых функций уравнения Дирака и уравнения второго порядка, эрмитовость гамильтонианов, возможность существования вырожденных стационарных связанных состояний частиц со спином с нулевой энергией. При использовании вещественных радиальных функций уравнения Дирака и уравнения второго порядка в поле Шварцшильда область определения волновых функций ограничивается значениями где – радиус горизонта событий. Соответствующее ограничение существует также в других координатах для всех рассмотренных метрик. Гамильтонианы для статических метрик Шварцшильда в сферических и изотропных координатах, а также для стационарных метрик Эддингтона–Финкельштейна и Пенлеви–Гуллстранда являются эрмитовыми. Для этих метрик возможен переход к самосопряженным уравнениям второго порядка со спинорными волновыми функциями. В отличие от уравнения Дирака эти уравнения допускают существование вырожденных стационарных связанных состояний фермионов с нулевой энергией. Нормируемые собственные функции этих состояний обращаются в нуль на горизонтах событий. Гамильтонианы для нестационарных метрик Леметра–Финкельштейна и Крускала явно зависят от временных координат, и в координатах этих метрик отсутствует возможность определения стационарных связанных состояний частиц со спином 1/2.