Папков С.О. «Колебания консольно-защемленной толстой пластины» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 2, с. 106-117 (2021)

Представлено аналитическое решение задачи о свободных колебаниях консольно-защемленной толстой ортотропной пластины. Данная задача является достаточно громоздкой для использования точных методов теории упругости, в связи с чем для ее решения разрабатывались методы на основе вариационного подхода. В статье предлагается использовать метод суперпозиции для построения общего решения уравнений колебаний пластины в виде ряда по частным решениям, полученным на основе разделения переменных. При этом частные решения по одной из координат выбираются в форме тригонометрических функций специального вида (модифицированная тригонометрическая система). Построенное решение, в отличие известных в литературе решений на основе вариационного подхода, точно удовлетворяет уравнениям колебаний. Использование модифицированной тригонометрической системы функций позволяет получить единообразные выкладки для четных и нечетных форм колебаний и уменьшить число граничных условий на сторонах пластины с 12 до 9, при этом 5 из 9 граничных условий также выполняются точно. Структура представленного решения такова, что на границе пластины каждая из кинематических или силовых характеристик пластины представляется в виде суммы двух рядов – тригонометрического ряда и ряда по гиперболическим функциям. Относительно неопределенных коэффициентов рядов, представляющих решение, из оставшихся граничных условий, получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений. Сходимость решения бесконечной системы по методу редукции исследуется численно. Приведены примеры численной реализации, на основе полученного решения выполнены численные исследования спектра собственных частот консольно-защемленной толстой пластины, как при вариации упругих характеристик материала, так и при вариации геометрических параметров.

Шляхин Д.А., Кальмова М.А. «Нестационарная задача термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического цилиндра» Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика, № 2, с. 167-180 (2021)

Построено новое замкнутое решение связанной нестационарной задачи термоэлектроупругости для длинного пьезокерамического радиально поляризованного цилиндра. Рассматривается случай действия на его внутренней цилиндрической поверхности нестационарной нагрузки в виде функции изменения температуры при заданном законе конвекционного теплообмена на внешней лицевой стенке (граничные условия теплопроводности 1-го и 3-го родов). Электродированные поверхности цилиндра подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением (электрический холостой ход). Исследуется задача, в которой скорость изменения температурной нагрузки не оказывает влияние на инерционные характеристики упругой системы, что позволяет включить в исходные линейные расчетные соотношения уравнения равновесия, электростатики и теплопроводности относительно радиальной компоненты вектора перемещений, электрического потенциала, а также функции изменения температурного поля. В расчетах используется гиперболическая LS-теория теплопроводности. Решение задачи осуществляется с помощью обобщенного метода биортогонального конечного интегрального преобразования, основанного на многокомпонентном соотношении собственных вектор-функций двух однородных краевых задач. Структурный алгоритм данного подхода позволяет выделить сопряженный оператор, без которого невозможно осуществить решение несамосопряженных линейных задач математической физики. Построенные расчетные соотношения дают возможность определить напряженно-деформированное состояние, термоэлектрические поля, индуцируемые в пьезокерамическом элементе при произвольном температурном внешнем воздействии. Подключение электроупругой системы к измерительному прибору позволяет измерить электрическое напряжение. Анализ численных результатов позволяет, во-первых, установить скорость изменения температурной нагрузки, при которой необходимо использовать гиперболическую теорию теплопроводности и, во-вторых, определить физические характеристики пьезокерамического материала для случая, когда скорость изменения объема тела приводит к перераспределению температурного поля. Разработанный алгоритм расчета может быть использован при проектировании нерезонансных пьезоэлектрических датчиков температуры.