Айзикович С.М., Кудиш И.И. «Приближенное аналитическое решение задачи о полосовом электроде на поверхности пьезоэлектроупругой полуплоскости с функционально-градиентным пьезоэлектроупругим покрытием» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 4, с. 393-401 (2019)

Рассматривается плоская задача о полосовом электроде на поверхности функционально-градиентного пьезоэлектрического покрытия однородной полуплоскости. Покрытие и подложка трансверсально-изотропны, ось изотропии совпадает с осью поляризации и нормальна к поверхности покрытия. Предполагается, что электроупругие свойства покрытия изменяются с глубиной по произвольным, независимым друг от друга законам. На поверхности покрытия находится полосовой электрод и задана разность потенциалов, которая приводит к электроупругой плоской деформации покрытия и подложки. С использованием интегрального преобразования Фурье задача сводится к решению парного интегрального уравнения. Для решения уравнения применен двусторонний асимптотический метод, основанный на аппроксимации Паде трансформанты ядра интегрального уравнения. Полученное приближенное парное интегральное уравнение решается в замкнутом аналитическом виде. Построены приближенные аналитические выражения для электрической индукции, вертикальных и горизонтальных смещений поверхности покрытия и распределения электрического потенциала на поверхности покрытия. Эти выражения являются асимптотически точными для больших и малых значений относительной толщины покрытия (отношение толщины покрытия к полуширине электрода).

Петраков Е.В., Лотфи П.Х., Дробный Е.В. «Активное гашение поперечных колебаний консольной балки пьезоэлектрическими слоями с различными формами электродов» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 4, с. 429-442 (2019)

Рассматривается эффективность гашения колебаний консольной балки, описанной в рамках гипотезы Бернулли–Эйлера и обладающей линейной вязкостью. Предложены методы гашения поперечных колебаний, реализованные динамическим гасителем из пьезоэлектрического слоя, распределенного симметрично вдоль оси симметрии балки. Пьезоэлектрические слои выполнены с треугольной и прямоугольной формой электродных обкладок, которая влияет на характер механических нагрузок при приложении электрического напряжения. Электродные обкладки представляют собой тонкие слои, реализованные из никеля или серебра толщиной несколько микрон и расположенные по нормали к оси поляризации, то есть вдоль длины пьезокерамической пластины. Управление пьезоэлектрическими слоями осуществляется изменением разности потенциалов между электродными обкладками; пьезоэлектрический материал, не покрытый электродной обкладкой с обеих сторон, бесполезно использовать как активный материал. Математические модели воздействия пьезоэлектрических элементов на рассматриваемую консольную балку выводятся из принципа Гамильтона. Парето-эффективность гашения колебаний пьезоэлектрическими пластинами с различными электродными формами оценивается относительно двух критериев: уровня управляющего напряжения и величины максимального прогиба балки. Для сравнения результатов с наилучшим вариантом гашения колебаний в данной постановке приводится результат гашения колебаний для балки с приложенным по всей длине пьезоэлектрическим слоем. Эффективность методики подтверждается на прикладном частном примере с помощью виброграмм. Синтез оптимальных по Парето управлений осуществлен на основе свертки Гермейера, а поиск оптимальной обратной связи основывается на применении теории линейных матричных неравенств и эффективных алгоритмов их решения.

Саурин В.В. «Метод интегродифференциальных соотношений в задаче о свободных изгибных колебаниях балок переменного поперечного сечения» Проблемы прочности и пластичности, 81, № 4, с. 449-461 (2019)

Обсуждаются вопросы, связанные с собственными колебаниями упругих балок переменного сечения. Отмечено, что одной из общих характерных черт, присущих краевым задачам математической физики, является некоторая неоднозначность в их формулировке. Сформулирована краевая задача нахождения собственных частот балки переменного сечения в перемещениях. Введением новых переменных, которые характеризуют поведение системы, краевая задача сводится к трем обыкновенным дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами. Новые переменные имеют ясный физический смысл. Одна функция является линейной плотностью импульса, а другая – изгибающим моментом в поперечном сечении балки. Такая формулировка задачи о свободных колебаниях балки переменного сечения позволяет свести систему дифференциальных уравнений к одному уравнению четвертого порядка, записанному в терминах функции импульсов. Это уравнение эквивалентно исходному уравнению, сформулированному в перемещениях, но имеет другую форму. Описан метод интегродифференциальных соотношений, который является альтернативным к классическим численным подходам. Исследованы возможности построения различных двусторонних энергетических оценок точности приближенных решений, вытекающих из метода интегродифференциальных соотношений. Рассмотрен проекционный подход для решения спектральных задач линейной теории балок. На примере задачи о свободных колебаниях прямолинейной балки с квадратично меняющейся строительной высотой по ее длине показана эффективность метода интегродифференциальных соотношений. Предложены энергетические оценки точности приближенного решения, построенного с использованием полиномиальных аппроксимаций искомых функций. Показано, что применение стандартной техники метода Бубнова–Галеркина к задаче о свободных колебаниях приводит к появлению комплексных собственных частот. При этом отношение мнимой части к действительной части собственного числа является относительной погрешностью решения краевой задачи. Предложенный численный алгоритм позволяет однозначно оценить локальное и интегральное качества полученных численных решений.