Челноков Ю.Н. «Кватернионные методы и регулярные модели небесной механики и механики космического полета: локальная регуляризация особенностей уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел, порождаемых гравитационными силами» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 27-57 (2023)

Изучается проблема локальной регуляризации дифференциальных уравнений возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел: устранения порождаемых силами гравитации особенностей типа сингулярности (деления на ноль) дифференциальных уравнений возмущенного пространственного движения материальной точки M, имеющей пренебрежимо малую массу, в окрестностях двух гравитирующих точек M₀ и M₁ с помощью записи уравнений движения во вращающихся системах координат, использования новых регулярных переменных и регуляризующего преобразования времени. Получены различные системы регулярных кватернионных дифференциальных уравнений (РКДУ) этой задачи. В качестве переменных в этих уравнениях выступают следующие группы переменных: 1) четырехмерные переменные Кустаанхеймо–Штифеля, кеплеровские энергии и время t, 2) расстояния от точки M до точек M₀ и M₁, модули векторов моментов скоростей точки M относительно точек M₀ и M₁, кеплеровские энергии, время t и параметры Эйлера (Родрига–Гамильтона), характеризующие ориентации орбитальных систем координат в инерциальной системе координат; 3) двухмерные переменные Леви–Чивита, описывающие движение точки M в идеальных системах координат, кеплеровские энергии, время t и параметры Эйлера, характеризующие ориентации идеальных систем координат в инерциальной системе координат и являющиеся оскулирующими элементами (медленно изменяющимися переменными) для движения точки M в окрестности гравитирующей точки M₀ или M₁ соответственно. Для построения РКДУ в качестве исходных использованы уравнения возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел, записанные или в неголономных (азимутально свободных), или в орбитальных, или в идеальных системах координат; в качестве новых независимых переменных использованы "фиктивные" времена τ₀ и τ₁ (т.е. использованы регуляризующие дифференциальные преобразования времени Зундмана) или угловые переменные _f₀ и _f₁, традиционно используемые при изучении орбитального движения в составе полярных координат. Для согласования двух используемых в окрестностях гравитирующих точек M₀ и M₁ независимых переменных использованы дополнительные дифференциальные уравнения. Полученные различные локально регулярные кватернионные дифференциальные уравнения возмущенной пространственной ограниченной задачи трех тел позволяют разработать регулярные аналитические и численные методы изучения движения тела пренебрежимо малой массы в окрестностях двух других тел, имеющих конечные массы, а также позволяют построить регулярные алгоритмы численного интегрирования этих уравнений. Уравнения могут быть эффективно использованы для изучения орбитального движения небесных и космических тел и космических аппаратов, для прогноза их движения, а также для решения задач управления орбитальным движением космических аппаратов и решения задач инерциальной навигации в космосе.

Левский М.В. «Управление разворотом твердого тела (космического аппарата) с комбинированным критерием оптимальности на основе кватернионов» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 58-78 (2023)

Изучается динамическая задача оптимального разворота твердого тела (например, космического аппарата) из произвольного начального в назначенное конечное угловое положение при наличии ограничений на управляющие переменные. Время разворота не фиксировано. Для оптимизации программы управления вращением применяется комбинированный критерий качества, минимизируемый функционал объединяет в заданной пропорции энергетические затраты и длительность маневра. На основе принципа максимума Л.С. Понтрягина и кватернионных моделей управляемого движения твердого тела получено решение поставленной задачи. Условия оптимальности переориентации записаны в аналитической форме, и раскрыты свойства оптимального вращения. Для построения оптимальной программы вращения записаны формализованные уравнения и расчетные формулы. Оптимальное управление представлено в форме синтеза. Закон управления сформулирован в виде явной зависимости управляющих переменных от фазовых координат. Приведены аналитические уравнения и соотношения для нахождения оптимального движения. Даны ключевые соотношения, определяющие оптимальные значения параметров алгоритма управления вращением. Также описана конструктивная схема решения краевой задачи принципа максимума для произвольных условий разворота (начального и конечного положений и моментов инерции твердого тела). Для динамически симметричного твердого тела получено решение задачи переориентации в замкнутой форме. Представлены численный пример и результаты математического моделирования, демонстрирующие практическую реализуемость разработанного метода управления ориентацией космического аппарата.

Расулова Н.Б., Махмудзаде Т.М. «Решение динамической задачи Ламе» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 131-137 (2023)

Хорошо известная задача Лaме, поставленная в 1852 году, предусматривает решение статического равновесия параллелепипеда, со свободными боковыми поверхностями, подверженными действию противоположных торцевых усилий. В данной работе эта же задача рассматривается для более усложнённого варианта, т.е. для случая ударных воздействий торцевых сил. Найдено точное аналитическое решение этой задачи. Подчеркивая особую трудность решения этой задачи, Ламе, в своей книге “Lecons sur la thorie mathematique de Ielasticite des corps solides” (Paris, 1852) писал: “C’est une sorte d’engine aussi digne d‘exercer la sagasite des analystes que le fameux problem des trios corps de la Mecanique celeste”, – “Это, своего рода двигатель, столь же достойный тренировать прозорливость аналитиков, как и знаменитая проблема трех тел небесной механики”. В то время эта задача была предметом премии Парижской академии наук, предназначавшимся для того, кто решит задачу Ламе. Несмотря на это, до сегодняшнего дня не найдено никакого решения даже статического варианта этой задачи, а в усложненном варианте задача даже не была в повестке.