Долгих Т.Ф. «Метод годографа для решения задачи о мелкой воде под твердой крышкой» Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки, № 1, с. 15-24 (2021)

Исследована одна из математических моделей, описывающих поведение двух бесконечных в горизонтальном направлении соприкасающихся слоев идеальной несжимаемой жидкости под твердой крышкой, движущихся с различными скоростями. При большой разности скоростей слоев возникает неустойчивость Кельвина–Гельмгольца, приводящая к искажению границы раздела. В первоначальный момент времени граница раздела необязательно является плоской. С математической точки зрения поведение слоев жидкости описывается системой, в общем случае – четырех, а в упрощенном варианте – двух квазилинейных уравнений либо гиперболического, либо эллиптического типа в частных производных первого порядка. Для построения модели используются уравнения типа мелкой воды. В простом варианте модели, рассматриваемые в представленной работе, в пространственно-одномерном случае неизвестными являются граница раздела слоев жидкости h(x,t) и разность их скоростей γ(x,t). Основное внимание уделяется случаю эллиптических уравнений, когда |h|<1 и γ>1 . Для системы уравнений поставлена эволюционная задача Коши с произвольными достаточно гладкими начальными данными. Указана явная зависимость инвариантов Римана от исходных переменных задачи. Для решения задачи Коши, сформулированной в терминах инвариантов Римана, используется вариант метода годографа на основе некоторого закона сохранения. Такой метод позволяет преобразовать систему двух квазилинейных уравнений в частных производных первого порядка к одному линейному уравнению в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами. Для линейного уравнения указана функция Римана–Грина, с помощью которой строится двухпараметрическое неявное решение исходной задачи. Явное решение задачи строится на линиях уровня неявного решения (изохронах) путем решения некоторой задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В итоге исходная задача Коши в частных производных первого порядка преобразуется к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая решается численными методами. Ввиду громоздкости выражения для функции Римана–Грина рассмотрено некоторое асимптотическое приближение задачи, приведены результаты вычислений и их анализ.