Товстик П.Е., Товстик Т.П. «Свободные колебания анизотропной балки» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 1, № 4, с. 599-608 (2014)

Предложен вывод уравнений свободных колебаний балки-полоски, изготовленной из анизотропного материала общего вида, основанный на асимптотическом разложении неизвестных функций по степеням малой относительной тонкостенности. Ранее вывод этих уравнений был основан на обобщенных гипотезах Тимошенко–Рейсснера. В рассматриваемой задаче поперечные и продольные колебания оказываются связанными между собой, однако эта связь является слабой. Поэтому в нулевом приближении рекомендуется игнорировать эту связь и рассматривать балку как изотропную с приведенным модулем Юнга, учитывающим анизотропию.

Шатров Е.А. «Использование главных координат в задаче о гашении колебаний тележки с двумя маятниками» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 1, № 4, с. 619-623 (2014)

Конструктивно применять к задаче о гашении колебаний тележки с двумя маятниками принцип максимума Понтрягина и обобщённый принцип Гаусса можно в том случае, когда система уравнений, описывающая управляемое движение тележки с двумя маятниками, записана в главных координатах. В работе показывается, что эти уравнения могут быть получены без громоздких преобразований, связанных с представлением кинетической и потенциальной энергий рассматриваемой механической системы в главных координатах. Первоначально составляются уравнения Лагранжа второго рода относительно простейших лагранжевых координат, которыми являются горизонтальное перемещение тележки и углы поворота маятников. Затем из них исключается перемещение тележки. Оставшиеся два уравнения относительно двух углов поворота маятников позволяют определить две ненулевые собственные частоты и соответствующие им формы колебаний данной механической системы. Зная эти частоты и формы, будем знать, как при собственных колебаниях углы поворота маятников связаны с главными координатами. Переходя в двух уравнениях относительно двух углов к главным координатам, получим две независимые линейные комбинации искомых уравнений в главных координатах. Это и позволяет определить их достаточно просто. Присоединяя к ним уравнение движения центра масс и, переходя во всех уравнениях к безразмерным переменным, в результате получим систему трех уравнений в главных координатах, записанную в простейшей форме.