Мерцалова Т.А. «Математическая модель исследования процесса разрушения двухконсольной балки» Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1: Математика. Физика, № 10, с. 143-148 (2006)

Рассматривается исследование процесса разрушения материалов на примере математической модели двухконсольной балки. Предлагается метод решения системы нелинейных уравнений, описывающих процесс разрушения двухконсольного образца. Сделаны обобщенные выводы по исследованию построенной математической модели с использованием разработанного пакета программ.

Культербаев Х.П., Исламова О.В. «Численное моделирование вынужденных колебаний тяжелой струны» Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Естественные науки, № 6, с. 31-36 (2007)

Рассматриваются колебания однородной тяжелой струны, подвешенной на верхнем и свободной на нижнем концах. Источником колебаний является распределенная поперечная нагрузка. С использованием методов разделения переменных, конечных разностей, прогонки и координатного спуска определены спектры собственных частот и форм для свободных колебаний, амплитуды и вероятностные характеристики вынужденных колебаний. Выполнены численные примеры, подтверждающие достоверность полученных результатов и позволяющие прийти к ряду выводов о динамике тяжелой нити.

Харламов В.Л., Игнатьев В.А. «К расчету балок на нагрузку от падающего тела» Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Естественные науки, № 6, с. 47-52 (2007)

Рассматривается детерминированный динамический анализ уравнения движения с изменяемой массой. Приведен пример расчета балки с распределенной массой при неупругом ударе жесткого тела. Результаты расчета сравниваются с элементарной теорией удара и спектральным методом.

Культербаев Х.П., Чеченов Т.Ю., Шогенова Ф.М. «Колебания многопролетной балки Тимошенко при действии векторной распределенной нагрузки» Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура, № 37, с. 143-153 (2014)

Рассматриваются вынужденные поперечные колебания многопролетной балки Тимошенко с присоединенными дискретными массами при учете инерционных сил вращения. Используется математическая модель колебаний в виде трех систем дифференциальных уравнений. Первая система описывает колебания континуальных участков балки Тимошенко, вторая и третья – линейные и угловые перемещения дискретных сосредоточенных масс. Изучены три типа установившихся вынужденных колебаний.

Елисеева Л.С., Филиппов С.Б. «Устойчивость и колебания цилиндрической оболочки переменной толщины с криволинейным краем» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 3, с. 84-91 (2003)

Решение линейных задач устойчивости и колебаний цилиндрических оболочек сводится к решению краевых задач на собственные значения для линейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при производных. В работах П.Е. Товстика разработан эффективный асимптотический метод решения таких краевых задач в случае локализации собственных функций вблизи наиболее слабой образующей цилиндра. В частности, локализация может быть вызвана переменностью толщины оболочки и наличием у оболочки криволинейного края. Влияние на собственные числа и собственные значения переменности толщины и криволинейного края по отдельности уже исследовано. В работе рассматривается одновременное действие двух этих факторов. В рассмотренных ранее задачах на цилиндрической оболочке имелась лишь одна слабая образующая. На оболочке переменной толщины с криволинейным краем могут появиться две наиболее слабых образующих. Найдены их положения в зависимости от параметров оболочки, получены явные приближенные формулы для определения критического внешнего давления и первой частоты колебаний. Проведены расчеты критического давления и первой частоты для различных значений параметров оболочки.

Иванов Д.Н. «Колебания цилиндрических оболочек с косо срезанным краем» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 3, с. 92-99 (2003)

Рассматриваются свободные колебания цилиндрической оболочки с косо срезанным краем и двух сопряженных оболочек. Предполагается, что угол среза и угол сопряжения малы. Нулевое приближение соответствует решению для оболочки с прямыми краями. Методом возмущений строятся первые приближения для формы колебаний и выводятся формулы для второго приближения параметра частоты в том и в другом случае. Приближенные значения частот сравниваются с численными результатами, полученными методом конечных элементов.

Амосов А.С. «Колебания тонкой цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 1, с. 67-72 (2004)

Исследуются колебания тонкой упругой шарнирно опертой цилиндрической оболочки с прямоугольным сечением. Использование точного аналитического решения системы уравнений, описывающей малые свободные колебания оболочки, дает громоздкое уравнение для определения частот колебаний. Корни этого уравнения найдены численным методом. В том случае, когда сечение оболочки мало отличается от квадрата, в явном виде получены два первых члена в асимптотическом разложении частоты колебаний. Результаты численного и приближенного методов сравниваются между собой.

Федчун О.В., Смирнов А.Л. «Возмущения спектра собственных частот колебаний оболочек» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 1, с. 108-115 (2006)

Рассмотрен алгоритм нахождения собственных значений возмущенной матрицы. Рассматривается случай, когда исходная задача сводится к задаче на собственные значения для пучка операторов (несамосопряженное возмущение).

Филиппов С.Б. «Частоты и формы колебаний вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 2, с. 138-145 (2006)

Изучены малые свободные колебания вращающейся цилиндрической оболочки бесконечной длины, находящейся в контакте с жесткими цилиндрическими роликами. Получены простые приближенные формулы для определения первых частот и форм колебаний оболочки, подкрепленной тремя роликами. Проведено сравнение аналитических и численных результатов. Разработанные алгоритмы и программы использованы при проектировании центробежных концентраторов, предназначенных для обогащения руд.

Ландман И.М. «Исследование колебаний вращающейся цилиндрической оболочки с частотами, близкими к точке сгущения» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 2, с. 113-119 (2007)

Рассмотрены колебания вращающейся и невращающейся тонкой цилиндрической оболочки с собственными частотами, близкими к точке сгущения. При построении асимптотического решения для исследования характеристического уравнения применен обобщенный метод Ньютона, реализованный с помощью средств вычислительной геометрии в пакете прикладных программ «Mathematica 5.2».

Филиппов С.Б., Наумова Н.В., Иванов Д.Н. «Колебания трехслойных цилиндрических оболочек» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 2, с. 150-156 (2007)

Трехслойные оболочки давно нашли широкое применение в различных областях промышленности, авиации и судостроении. Неоднородность структуры таких оболочек по толщине требует учета работы слоя заполнителя при поперечном сдвиге и поперечном сжатии, а также приводит к необходимости проводить сопряжение слоев. Для успешного применения на практике таких оболочечных конструкций необходимо получить значения частот и форм свободных колебаний. Частоты и формы колебаний трехслойных цилиндрических оболочек найдены в статье методом конечных элементов. Для случая свободного опирания краев оболочек проведено сравнение полученных результатов с аналитическими результатами. Иллюстрации, представленные в данной работе, позволяют не только увидеть, но и проанализировать реальные деформационные процессы, происходящие на поверхностях трехслойных оболочек.

Юферева Л.М., Лавров Ю.А., Кот П.Н. «Сравнение поправок к низшим собственным частотам цилиндрического акустического резонатора» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 2, с. 157-163 (2007)

Построено представление для поля свободных акусто-механических колебаний жидкости, заполняющей цилиндрический объем, и ограничивающих его плоских упругих торцевых пластин. Внутренняя поверхность цилиндрической стенки считается идеально жесткой. Выведены уравнения для собственных частот. Учтены дополнительные факторы, влияющие на собствен ные частоты: продольные движения пластин, а также сдвиг и инерция вращения. Проведено аналитическое сравнение найденных частот с таковыми для модели без учета дополнительных факторов. Приближенные формулы для поправок обоих видов численно испытаны. Показано, что учет сдвига и инерции вращения дает существенно большую относительную поправку.

Товстик П.Е. «Об асимптотическом характере приближенных моделей балок, пластин и оболочек» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 3, с. 49-54 (2007)

На ряде тестовых примеров результаты, полученные по приближенным моделям для балок, пластин и оболочек, основанным на кинематических гипотезах Бернулли–Кирхгофа–Лява и Тимошенко–Рейсснера, сравниваются с асимптотическими решениями трехмерных уравнений теории упругости для узких областей. Рассматриваются задачи статики и свободных колебаний для тел из линейно упругого ортотропного материала. Основное внимание уделено случаю, когда жесткость материала в тангенциальных направлениях существенно больше его жесткости в поперечном направлении.

Боярская М.Л., Филиппов С.Б. «Малые свободные колебания вращающейся на роликах бесконечной цилиндрической оболочки» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 1, с. 31-37 (2011)

Рассматриваются малые свободные колебания вращающейся цилиндрической оболочки бесконечной длины, находящейся в контакте с жесткими цилиндрическими роликами. Выведена система линейных дифференциальных уравнений колебаний оболочки. С помощью разложения решений в ряды Фурье по окружной координате получена система алгебраических уравнений для приближенного определения частот и форм колебаний. Показано, что для произвольного числа n равномерно распределенных роликов приближенные значения первых n частот и форм колебаний находятся в явном виде. На основании метода ортогональной прогонки разработан алгоритм численного решения краевой задачи на собственные значения описывающей колебания вращающейся оболочки. Проведено сравнение аналитических и численных результатов. Полученные приближенные формулы для частот и алгоритм для их определения численным методом могут быть использованы при проектировании центробежных концентраторов, предназначенных для обогащения руд.

Петров М.Б. «Устойчивость и низкочастотные колебания тонких оболочек с полностью или частично отрицательной гауссовой кривизной» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 1, с. 72-75 (2011)

Статья посвящена определению низшей части спектра оболочек вращения полностью или частично отрицательной гауссовой кривизны. Проведена классификация интегралов системы уравнений в зависимости от геометрии срединной поверхности и граничных условий. Специальное внимание уделяется проблеме точки поворота, в которой кривизна меняет знак.

Платонов В.В. «Устойчивость и колебания цилиндрической оболочки при осевом сжатии в неклассической постановке» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 1, с. 132-137 (2011)

Рассматривается устойчивость цилиндрической оболочки под действием осевого сжатия. Используется уточненная теория, учитывающая поперечные деформации сдвига согласно С.А. Амбарцумяну. Определяются критические нагрузки для трансверсально изотропного и изотропного материалов. Рассматривается задача колебаний цилиндрической оболочки, проводится сравнение величин частот собственных колебаний, найденных по уточненной и классической теориям.

Тулкина А.Н. «Определение частот и форм колебаний стержневой системы, содержащей нанообъект, на основе теории С.П. Тимошенко» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, № 1, с. 144-154 (2011)

На основе теории С.П. Тимошенко получены точные решения задач о свободных и вынужденных колебаниях стержневой системы кантилевер–исследуемый нанообъект, используемой в конструкции атомного силового микроскопа при проведении экспериментов. Система состоит из двух шарнирно соединенных стержней, противоположные концы которых жестко защемлены. Дано развитие построенного решения на случай, когда между стержнями введена линейная упругая связь с заданным коэффициентом податливости. Получены частотные уравнения в задачах о свободных колебаниях и их решения, дающие спектры частот. Расчетные формулы для определения прогибов позволяют в дальнейшем получать выражения для изгибающих моментов и поперечных сил. В задаче о вынужденных колебаниях системы получены условия динамического гашения колебаний исследуемого объекта. Выполнены числовые расчеты, результаты которых иллюстрируются в таблицах и на графиках, показывающих влияние варьирования геометрических исходных данных элементов системы, а также сравнение с результатами классической теории Бернулли–Эйлера.

Забиякин М.В. «Колебания вращающейся на роликах цилиндрической оболочки» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 1, № 2, с. 237-244 (2014)

Рассматриваются малые свободные колебания вращающейся замкнутой цилиндрической оболочки конечной длины, находящейся в контакте с жесткими цилиндрическими роликами. Края оболочки либо шарнирно оперты, либо один из краев заделан, а другой свободен. Второй вариант граничных условий соответствует условиям закрепления оболочки центробежного концентратора. Используются предположения полубезмоментной теории оболочек. Формы колебаний ищутся в виде рядов Фурье по окружной координате. Для произвольного числа равномерно распределенных роликов в явном виде найдены приближенные значения первых частот колебаний. В случае шарнирного опирания краев оболочки проведено сравнение результатов, полученных по приближенной полубезмоментной теории и классической теории оболочек Кирхгоффа–Лява. Из результатов расчетов следует, что полубезмоментную теорию можно использовать для оценки первой частоты колебаний. Чем тоньше оболочка, тем большее число низших частот можно определить по приближенным формулам. Результаты работы можно использовать при расчете и проектировании центробежных концентраторов, предназначенных для обогащения руд.

Товстик П.Е., Товстик Т.П. «Свободные колебания анизотропной балки» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 1, № 4, с. 599-608 (2014)

Предложен вывод уравнений свободных колебаний балки-полоски, изготовленной из анизотропного материала общего вида, основанный на асимптотическом разложении неизвестных функций по степеням малой относительной тонкостенности. Ранее вывод этих уравнений был основан на обобщенных гипотезах Тимошенко–Рейсснера. В рассматриваемой задаче поперечные и продольные колебания оказываются связанными между собой, однако эта связь является слабой. Поэтому в нулевом приближении рекомендуется игнорировать эту связь и рассматривать балку как изотропную с приведенным модулем Юнга, учитывающим анизотропию.

Индейцев Д.А., Куклин Т.С., Мочалова Ю.А. «Особенности локализации в балке Бернулли–Эйлера на неоднородном упругом основании» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 2, № 1, с. 112-122 (2015)

Работа связана с явлением локализации в одномерных конструкциях конечной и бесконечной длины, лежащих на неоднородном основании. На примере бесконечной балки, поджатой силой, исследовалась возможность локализации колебаний в области дефекта основания и особенности потери устойчивости конструкции в этом случае. Показано, что существование локализованных мод (trapped modes) связано с возникновением, наряду с непрерывным спектром, точного (дискретного) спектра, лежащего ниже частоты отсечки конструкции. Получена зависимость локализованных дискретных частот от сжимающей силы. Стремление к нулю первой дискретной частоты при увеличении силы определяет локализованную форму потери устойчивости и критическую силу, которые совпадают с решением соответствующей статической задачи. Результаты работы сравнивались с результатами, полученными для систем конечных размеров.

Prikazchikov D.A. «Near-resonant regimes of a steady-state moving load on a transversely isotropic elastic half-plane» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 15, № 2, с. 215-221 (2015)

Рассматриваются автомодельные(стационарные) режимы в задаче о подвижной нагрузке в случае трансверсально изотропной упругой полуплоскости. Решение опирается на асимптотическую гиперболико-эллиптическую модель для поля поверхностной волны, что позволяет получить существенные упрощения в околорезонансной области. В частности, формулировка сводится к задаче Дирихле для уравнения Лапласа, имеющей явное решение выраженное в терминах элементарных функций. Полученные приближения могут быть использованы при скоростях нагрузки, близких к критической скорости поверхностной волны.

Крупенин В.Л. «Трапециевидные стоячие волны в струне, соударяющейся с прямой, вибририрующей по полигармоническому закону преградой» Вестник научно-технического развития, № 5, с. 8-14 (2015)

Изучены нелинейные стоячие трапециевидные волны, в защемленной на концах струне. Струна соударяется с вибрирующей преградой: прямой, колеблющейся по заданному закону стенкой, расположенной по одну сторону от оси её статического равновесия. Закон движения стенки – периодический полигармонический Образующиеся стоячие волны могут иметь трапециевидные профили. При их реализации, точки струны в течение половины каждого периода колебаний либо равномерно движутся, либо покоятся.

Тер-Акопянц Г.Л. «Дисперсионные кривые и модальные коэффициенты при распространении волн в оболочке с жидкостью» Естественные и технические науки, № 6, с. 77-81 (2015)

Исследуется распространение волн в упругой цилиндрической оболочке, заполненной несжимаемой и сжимаемой жидкостью, в режиме изгибных колебаний. Рассматриваются модели несжимаемой и сжимаемой жидкости. В этих двух случаях найдены решения дисперсионного уравнения, найдены дисперсионные кривые и модальные коэффициенты. Проанализировано изменение модальных коэффициентов на частотах, где затухающие волны переходят в распространяющиеся. Исследовано влияние на модальные коэффициенты эффекта сближения дисперсионных кривых в случае сжимаемой жидкости.

Гулгазарян Л.Г. «Вынужденные колебания ортотропных оболочек при наличии вязкого сопротивления» Прикладная математика и механика, 79, № 3, с. 405-419 (2015)

Рассматриваются вынужденные колебания ортотропных оболочек при наличии вязкого сопротивления, когда на верхней лицевой поверхности оболочки заданы два варианта пространственных граничных условий, а на нижней задан вектор перемещения. Асимптотическим методом получено решение соответствующих динамических уравнений трехмерной задачи теории упругости. Определены амплитуды вынужденных колебаний и установлено, что наличие вязкого сопротивления приводит к тому, что амплитуды вынужденных колебаний в области значений собственных колебаний возрастают, но остаются конечными. Получены функции типа пограничного слоя, установлены характеристические уравнения для определения скорости затухания пограничных колебаний в направлении от боковой поверхности внутрь оболочки.

Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. «Определение законов неоднородности плоского упругого слоя с заданными звукоотражающими свойствами» Акустический журнал, 61, № 5, с. 552-558 (2015)

Рассматривается задача об определении линейных законов неоднородности плоского упругого слоя, имеющего наименьшее отражение при заданном угле падения плоской звуковой волны. На основе аналитического решения прямой задачи построен функционал, выражающий интенсивность отражения, и предложен алгоритм его минимизации. Получены аналитические выражения, описывающие механические параметры неоднородного слоя.

Бакулин В.Н., Волков Е.Н., Недбай А.Я. «Флаттер слоистой цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми ребрами и нагруженной осевыми силами» Доклады академии наук, 463, № 4, с. 414-417 (2015)

Исследуется сверхзвуковой флаттер слоистой цилиндрической оболочки, подкрепленной изнутри кольцевыми ребрами и нагруженной по торцам осевыми силами. Движение оболочки описывается уравнениями теории слоистых ортотропных оболочек. Решение уравнений ищется в виде тригонометрических рядов по осевой координате. С помощью метода Бубнова–Галёркина задача сводится к системе алгебраических уравнений, для анализа устойчивости которых используется критерии Рауса–Гурвица. На числовом примере показано влияние количества и высоты ребер на критическую скорость обтекания оболочки. DOI: 10.7868/S0869565215220090

Пикулев А.А. «Затухание продольных колебаний давления в цилиндрической кювете» Журнал технической физики, 75, № 3, с. 45-48 (2005)

Рассмотрены продольные акустические колебания в кювете цилиндрической формы. Получены выражения для распределения температуры и скорости в периодически нестационарном пограничном слое. Найдено выражение для характерного времени затухания колебаний давления.

Ахтямов А.М., Нусратуллина Л.Р., Нусратуллин Э.М. «Зависимость первой частоты колебаний круговой пластины от длины закрепления по контуру» Вестник Башкирского университета, 19, № 1, с. 11-18 (2015)

Рассмотрена круговая однородная пластина, которая защемлена по некоторой дуге ее кругового контура. Вне этой дуги контур пластины свободен. Известны параметры круглой однородной пластины (ее радиус, толщина и цилиндрическая жесткость). В статье решаются прямая задача определения первой собственной частоты свободных колебаний пластины и граничная обратная задача – задача определения длины защемленной дуги кругового контура. Выявлено, что функция, выражающая зависимость частоты от длины дуги является возрастающей. Причем до определенного значения эта функция возрастает быстро (выпукла вниз), после чего возрастание становится медленным (функция становится выпуклой вверх). Перегиб достигается тогда, когда длина защемленной дуги становится в три раза большей его свободной части. Функция, выражающая зависимость длины защемленного контура от первой частоты, также является возрастающей. Причем до определенного значения эта функция возрастает медленно (выпукла вверх), после чего возрастание становится быстрым (функция становится выпуклой вниз). Построены две математические модели для решения прямой и обратной задач. Первая математическая модель представляет собой аппроксимирующий полином 6-го порядка. Вторая математическая модель – кубический сплайн. Показано, что вторая модель позволяет с более высокой точностью решать прямую и обратную задачи.

Шаталов А.Л., Суслин М.А., Прищепенко В.Ю. «Модель резонансной частоты колебанияh₀₁₁ цилиндрического объемного резонатора с учетом потерь в возмущающем объеме» Вестник Воронежского государственного технического университета, 7, № 5, с. 162-166 (2011)

Получена аналитическая модель резонансной частоты колебания H₀₁₁ цилиндрического объемного резонатора с учетом как действительной, так и мнимой диэлектрической проницаемости возмущающегося объема. Модель получена путем введения эквивалентной емкости резонатора, с использованием моделирования методом конечных элементов в системе ANSYS. Уточненная модель может найти применение при контроле электрофизических характеристик, например, технических авиационных жидкостей, радиопоглощающих материалов.

Горохов В.В., Морчев М.А., Розарёнов Г.С., Будник А.П. «Моделирование колебаний плоских упругих систем при акустическом нагружении» Вестник Воронежского государственного технического университета, 7, № 11-2, с. 94-96 (2011)

Исследуется возможность получения количественных оценок величин амплитуд колебаний пластин, а также возможностей снижения величин амплитуд колебаний при реализации нескольких наиболее простых технических способов защиты информации.

Burkov S.I., Zolotova O.P., Sorokin B.P., Aleksandrov K.S. «Anisotropy of DC electric field influence on acoustic wave propagation in piezoelectric plate» Журнал Сибирского Федерального университета. Математика и физика, 4, № 3, с. 282-291 (2011)

Рассмотрена анизотропия влияния однородного электрического поля E на характеристики и условия распространения волн различных типов в пьезоэлектрической пластине германосилленита.