Мастрюков А.С. «Обратная задача для уравнений акустики. Многоуровневый адаптивный метод» Сибирский журнал вычислительной математики, 13, № 3, с. 323-341 (2010)

Представлено численное решение обратной задачи для уравнений акустики оптимизационным методом для слоистой среды. По распределению поля акустической волны на поверхности среды определяются одномерные распределения плотности среды, скорость и коэффициент поглощения акустической волны. Поглощение рассматривается в модели тела Фойгта. Для минимизации используются метод сопряженных градиентов и метод Ньютона. Для повышения эффективности численного алгоритма предлагается многоуровневый адаптивный алгоритм. Алгоритм основан на разбиении всего алгоритма решения обратной задачи на ряд последовательных уровней. Каждый уровень характеризуется числом параметров, определяемых на этом уровне. При переходе с одного уровня на другой число параметров меняется адаптивно в зависимости от величины функционала и скорости сходимости. Подбор параметров минимизации иллюстрируется результатами решения обратной задачи в спектральной области, когда искомые величины представляются в виде ряда по полиномам Чебышева и минимизация проводится не по значению самой величины в точке, а по коэффициентам разложения этой величины в ряд. Сравнивается эффективность предлагаемого метода с неадаптивным методом решения. Приводится подбор наиболее оптимальных параметров многоуровневого метода. Показано, что многоуровневый алгоритм обладает рядом достоинств в сравнении с алгоритмом, не использующим разбиение на уровни. В первую очередь он позволяет получить более точное решение обратной задачи.

Алексеев Г.В., Чеботарёв А.Ю. «Обратные задачи акустического потенциала» Журнал вычислительной математики и математической физики, 25, № 8, с. 1189-1199 (1985)

Устанавливаются необходимые и достаточные условия существования решений обратных задач излучения акустических волн объемными источниками. Показано, что в общем случае указанные задачи могут иметь бесчисленное множество решений, мощность которого определяется мощностью специального Соболевского пространства. Вводится понятие нормального решения, доказывается его существование, единственность, и устанавливается априорная оценка.