Бреховских В.В., Горев В.В. «Бесстолкновительное затухание солитонных решений уравнений Кортевега–Де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега–Де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера» Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, № 2, с. 190-202 (2015)

Решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой актуальную и сложную задачу. В отличие от линейных дифференциальных уравнений, где разработаны общие методы решения (например, методы Фурье, Лапласа и др.) для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных общих методов решения нет. Каждое нелинейное уравнение или небольшая группа однотипных уравнений требует разработки своих, специфических методов решения. В работе рассматриваются нестационарные, затухающие солитонные решения трех уравнений (Кортевега–де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега–де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера), описывающих, в частности, разные моды колебаний в плазме. Используя метод масштабных преобразований, найдены нестационарные (затухающие) решения указанных уравнений, справедливые для случая, когда в результате взаимодействия статистического ансамбля солитонов с плазмой на функции распределения электронов и (или ионов) формируется «немаксвеловская» высокоэнергичная часть («степенной хвост»). Полученное решение для уравнения Кортевега–де Вриза можно применять для магнитозвуковых плазменных волн, распространяющихся под углом к магнитному полю, решение для модифицированного уравнения Кортевега–де Вриза можно применить, например, в теплой пылевой плазме, содержащей два сорта ионов, а решение для нелинейного уравнения Шредингера справедливо, например, в плазменной короне мишени лазерного термоядерного синтеза вблизи критической плотности.