Khruslov Evgenii Ya., Holger Stephan «Splitting of some non-localized solutions of the Korteweg–de Vries equation into solitons» Математическая физика, анализ, геометрия, 5, № 1, с. 49-67 (1998)

Изучается асимпотическое поведение нелокализованных решений уравнения Кортевега–де Фриза при больших временах и доказывается, что эти решения распадаются в бесконечную последовательность солитонов.

Баранецкий В.Б. «Асимптотические солитоны в окрестности заднего фронта решения уравнения Кортевега–де Фриза» Математическая физика, анализ, геометрия, 6, № 3-4, с. 199-212 (1999)

Изучено асимптотическое поведение при больших временах решения задачи Коши для уравнения Кортевега–де Фриза с неубывающими начальными данными, которые стремятся к нулю при x→ –∞ и к некоторой периодической функции при x→ +∞ . Доказано, что в окрестности заднего фронта такое решение распадается в пределе больших t в бесконечную серию медленных асимптотических солитонов. Получены явные формулы, описывающие это явление распада.

Бреховских В.В., Горев В.В. «Бесстолкновительное затухание солитонных решений уравнений Кортевега–Де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега–Де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера» Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, № 2, с. 190-202 (2015)

Решение нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных представляет собой актуальную и сложную задачу. В отличие от линейных дифференциальных уравнений, где разработаны общие методы решения (например, методы Фурье, Лапласа и др.) для нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных общих методов решения нет. Каждое нелинейное уравнение или небольшая группа однотипных уравнений требует разработки своих, специфических методов решения. В работе рассматриваются нестационарные, затухающие солитонные решения трех уравнений (Кортевега–де Вриза, модифицированного уравнения Кортевега–де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера), описывающих, в частности, разные моды колебаний в плазме. Используя метод масштабных преобразований, найдены нестационарные (затухающие) решения указанных уравнений, справедливые для случая, когда в результате взаимодействия статистического ансамбля солитонов с плазмой на функции распределения электронов и (или ионов) формируется «немаксвеловская» высокоэнергичная часть («степенной хвост»). Полученное решение для уравнения Кортевега–де Вриза можно применять для магнитозвуковых плазменных волн, распространяющихся под углом к магнитному полю, решение для модифицированного уравнения Кортевега–де Вриза можно применить, например, в теплой пылевой плазме, содержащей два сорта ионов, а решение для нелинейного уравнения Шредингера справедливо, например, в плазменной короне мишени лазерного термоядерного синтеза вблизи критической плотности.

Пелиновский Е.Н., Сергеева А.В. «Динамика КДВ-солитона в случайном поле» Известия высших учебных заведений. Радиофизика, 49, № 7, с. 599-606 (2006)

Рассмотрено взаимодействие солитона с пространственно-однородным внешним случайным полем в рамках вынужденного уравнения Кортевега–де Вриза. В общем случае усреднённое солитонное поле трансформируется в гауссовый импульс, амплитуда которого затухает со временем как t^–α, а ширина растёт как t^α, где параметр α характеризуется статистическими свойствами внешней силы. Получено аналитическое решение для α=2, соответствующее предельному случаю бесконечно большого времени корреляции (τ₀→∞). Найденное решение сопоставлено с известным решением Вадати для случая дельта-коррелированной внешней силы (τ₀→0), когда солитон трансформируется в гауссовый импульс с более медленно спадающей амплитудой, α=3/2. Для промежуточного случая, соответствующего 0<τ₀<∞, приведены численные решения вынужденного уравнения Кортевега–де Вриза, демонстрирующие рост параметра α от 3/2 до 2 с увеличением времени корреляции. Показано, что амплитуда среднего солитона в периодическом случайном поле спадает как t^–1 при больших временах t, при этом образуются два импульса, распространяющиеся в разные стороны.

Дроздова Ю.А. «Распространение солитона в широком канале с неровным дном» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 4, с. 147-155 (2000)

Рассматриваются нелинейные волны малой амплитуды в широких горизонтальных каналах. Считается, что глубина канала является функцией, слабо зависящей от поперечной координаты. Для описания волн используются двумерные уравнения Буссинеска в форме, полученной в этой работе. Найдены стационарные решения, имеющие вид солитона со следующей за ним системой синусоидальных волн. Фазовая скорость этих волн в направлении канала совпадает со скоростью солитона.

Иванов В.И. «Математическая модель солитона Стокса» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 1, с. 174-180 (1999)

Построена математическая модель уединенной волны предельной амплитуды в канале постоянной глубины. Модель основана на конформном отображении области изменения комплексного потенциала на область, близкую к области течения солитона Стокса. Проведено сравнение параметров модели с известными результатами численных расчетов. С помощью предлагаемой модели построены линии тока в подвижной и неподвижной системах координат, а также изотахи, изоклины и изобары солитона Стокса.

Попов С.П. «Двумерные солитоны и их взаимодействие» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 2, с. 101-109 (1999)

Рассматривается развитие волновых возмущений, описываемых двумерным аналогом уравнения Захарова–Кузнецова. К ним относятся вторичные нелинейные течения в двумерном конвективном потоке газа около вертикальной нагретой пластины, а также ионно-звуковые волны в неизотермической плазме низкого давления, находящейся в однородном магнитном поле. Найдены пространственно локализованные волны солитонного типа. Численно исследованы их основные свойства, определены условия генерации и особенности парных взаимодействий при различных прицельных параметрах.

Дубинов А.Е., Колотков Д.Ю. «Ионно-звуковые суперсолитоны в плазме» Физика плазмы, 38, № 11, с. 987-990 (2012)

Предложена идея нового класса уединенных волн – сверхнелинейных солитонов (суперсолитонов), фазовая траектория которых охватывает одну или несколько внутренних сепаратрис на фазовом портрете волны. Показано, что в незамагниченной плазме, содержащей не менее четырех заряженных сортов частиц, могут существовать суперсолитоны ионно-звукового типа. Указаны условия существования суперсолитонов. Построен профиль электростатического потенциала в ионно-звуковом суперсолитоне. Показано, что в эксперименте суперсолитон можно легко распознать среди обычных солитонов с помощью дифференцирующей цепочки в измерительном канале.

Кузнецов С.В. «Солитоноподобные волны Лэмба» Прикладная математика и механика, 73, № 1, с. 98-105 (2009)

Исследуется скорость и поляризация акустических волн Лэмба, распространяющихся в направлениях упругой симметрии одно-, и двухслойных анизотропных сред при исчезающе малых частотах (солитоноподобные волны). Для построения решений используется метод фундаментальных матриц. Анализируются условия существования солитоноподобных волн Лэмба.

Ведерко А.В., Марченко В.Ф., Сухоруков А.П. «Светлые и темные нераспространяющиеся солитоны на поверхности жидкости» Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия, № 3, с. 67-71 (1991)

Теоретически и экспериментально исследованы возникающие при вертикальных колебаниях кюветы с жидкостью локализованные распространяющиеся возмущения поверхности, имеющие солитонную форму. Обнаружено, что в зависимости от глубины жидкости (знака кубической нелинейности среды) возможно формирование не только светлых, но и темных нераспространяющихся солитонов.

Елютин П.В. «Об одном автомодельном солитоне» Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия, № 1, с. 107-108 (1992)

Для уравнения Кортевега–де Фриза с дополнительным членом, учитывающим нелинейную диссипацию, получено автомодельное решение солитонного вида, сохраняющее при распространении свою форму при изменяющихся параметрах.

Ведерко А.В., Дубровская О.Б., Марченко В.Ф., Сухоруков А.П. «О солитонах с малым числом периодов во времени или в пространстве» Вестник Московского университета. Серия 3: Физика. Астрономия, № 3, с. 4-20 (1992)

Представлена теория солитонов в среде, дисперсия и нелинейность которой описываются уравнением Дуффинга. Для сигналов, содержащих малое число осцилляций под огибающей, выведено модифицированное уравнение Кортевега–де Фриза. Исследовано распространение солитона и бризера. Показано, что при увеличении числа периодов бризер переходит в солитон огибающей. На примере двух реальных физических систем (волновод, периодическая структура) рассмотрен процесс формирования и распространения медленных солитонов в кубично-нелинейной среде с ограниченной полосой пропускания. Получены точные аналитические выражения для формы солитона и указана область их существования. Обсуждаются условия возбуждения нераспространяющегося солитона.

Дубовик А.Н. «Одномодовые солитонные решения для гравитационно-капиллярных волн на глубокой воде» Известия РАН. Физика атмосферы и океана, 40, № 3, с. 410-417 (2004)

Рассмотрена приближенная “одномодовая” теория гравитационно-капиллярных солитонов на поверхности бесконечно глубокой жидкости, в рамках которой функция тока описывается элементарными решениями m-го порядка для уравнения Лапласа в полярных координатах R и φ : ψ ∼ cos(mφ–φ₀)/R^m. Получены аналитические решения для симметричных (φ₀ = 0, π) и несимметричных (φ₀ = π/2) солитонов, если m = 2, 1, 1/2. Показано, что во всех случаях солитоны предельной формы являются неустойчивыми, а их профиль содержит одну или две угловые точки, где поверхность образует угол 90°.

Сазонов С.В. «Солитонные соотношения типа Крамерса–Кронига» Известия РАН. Серия физическая, 68, № 12, с. 1688-1693 (2004)

Разработана процедура установления зависимостей групповой и фазовой скоростей двухпараметрических солитонов (бризеров) от частоты и длительности по известным линейным дисперсионным уравнениям. Построена схема восстановления бризерных параметров по известным характеристикам однопараметрических солитонов в виде решения задачи Дирихле на плоскости солитонных параметров. Получены солитонные соотношения Крамерса–Кронига, устанавливающие связь между групповыми и фазовыми характеристиками бризеров.

Лобанов В.Е., Сухоруков А.П. «Анализ свойств гибридных солитонов» Известия РАН. Серия физическая, 68, № 12, с. 1748-1751 (2004)

Рассмотрены свойства гибридных солитонов, генерируемых в результате каскадных процессов трехволнового взаимодействия. Форма огибающей солитонов изучается с помощью вариационного метода для широкой области параметров. Показана сравнительно высокая точность проведенных расчетов. С помощью метода усреднения проанализировано влияние индуцированной кубичной нелинейности на параметры солитонов в кристаллах с периодически инвертированными доменами.