Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. «Нелинейные околорезонансные колебания слоя упругой несжимаемой среды» Прикладная математика и механика, 70, № 6, с. 1031-1041 (2006)

Рассматриваются плоские одномерные волны малой амплитуды, распространяющиеся поперек слоя несжимаемой упругой среды, отражаясь поочередно от его границ. Колебания вызваны малым периодическим (или близким к периодическому) внешним воздействием на одной из границ слоя, когда период внешнего воздействия близок к периоду собственных колебаний слоя. Одна из границ упругого слоя неподвижна, а другая совершает малое заданное двумерное движение в своей плоскости. В такой околорезонансной ситуации проявляются нелинейные эффекты, которые могут накапливаться с течением времени. Получена система уравнений, описывающая медленное изменение функций, которые характеризуют колебания среды, на каждом периоде внешнего воздействия. Считается, что все величины зависят как от реального времени, изменение которого при рассматриваемом подходе ограничивается одним периодом, так и от "медленного" времени, для которого малой величиной служит один период реального времени. Предполагается, что эволюция решения происходит при изменении медленного времени, а роль реального времени аналогична роли пространственной переменной. Упомянутая система уравнений получена методом осреднения за период величин, представляющих в уравнениях нелинейные члены и влияние граничных условий. Она содержит производные по реальному и медленному временам, а также осредненные по периоду реального времени значения функций, характеризующих решение. Уравнения имеют гиперболический тип и их решения могут быть как непрерывными, так и содержать слабые и сильные разрывы.