Беляев А.К., Морозов Н.Ф., Товстик П.Е., Товстик Т.П. «Параметрические резонансы в задаче о продольном ударе по тонкому стержню» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 3, № 1, с. 77-94 (2016)

Рассматривается продольный удар по тонкому упругому стержню, порождающий в нем периодическую систему продольных волн. При определенных значениях параметров задачи в линейном приближении эти волны порождают параметрические резонансы, сопровождающиеся неограниченным ростом амплитуды поперечных колебаний. Для получения конечных значений амплитуд рассматривается квазилинейная система, учитывающая влияние поперечных колебаний на продольные. Ранее эта система была численно решена методом Бубнова–Галеркина и получены биения, сопровождающиеся обменом энергией продольных и поперечных колебаний. Здесь построено приближенное аналитическое решение этой системы, основанное на двухмасштабных разложениях. Проведен качественный анализ решения. Найдена оценка максимального поперечного прогиба в зависимости от способа нагружения. Рассмотрены как кратковременный, так и длительный импульсы. Показано, что в случае внезапно приложенного длительного импульса, меньшего эйлеровой критической нагрузки, возможно развитие интенсивных поперечных колебаний.

Иванов Д.Н., Наумова Н.Н., Сабанеев В.С., Товстик П.Е., Товстик Т.П. «О спектре частот свободных колебаний мембран и пластин, находящихся в контакте с жидкостью» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 3, № 1, с. 95-104 (2016)

Рассматривается контейнер в форме параллелепипеда, полностью заполненный идеальной несжимаемой жидкостью. Контейнер закрыт упругой крышкой, которая моделируется мембраной или пластиной постоянной толщины. Остальные грани контейнера недеформируемы. Построен спектр частот малых свободных колебаний крышки с учетом присоединенной массы жидкости, движение которой предполагается потенциальным. Основная особенность постановки задачи заключается в том, что при колебаниях объем жидкости под крышкой не меняется. В результате форма прогиба крышки должна удовлетворять уравнению связи, вытекающему из условия сохранения объема жидкости под крышкой.

Бауэр С.М., Воронкова Е.Б. «О собственных частотах колебаний трансверсально-изотропных круглых пластин» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 3, № 1, с. 105-109 (2016)

Обсуждается влияние свойств материала круглой трансверсально-изотропной пластины на частоты ее собственных колебаний. Частоты собственных колебаний однородной пластины найдены с помощью двух неклассических теорий пластин и оболочек с учетом нормальных сил инерции и инерции вращения. Для исследования влияния неоднородных по радиусу свойств пластины проведены расчеты частот колебаний в конечно-элементном пакете Comsol Multiphysics 5.0. Проведенные расчеты показывают, что неоднородность пластины оказывает наибольшее влияние на первую частоту колебаний, в то время как различие тангенциальных и нормальных модулей упругости оказывает большее влияние на высокочастотные колебания пластины.

Ватульян А.О., Недин Р.Д. «Сравнительный анализ предварительного состояния в неоднородных балках» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 3, № 1, с. 110-119 (2016)

Одной из важных задач механики деформируемого твердого тела является анализ влияния различных типов неоднородности материальных свойств и факторов предварительного состояния (ПС), включающего в себя предварительные напряжения и деформации, на динамические характеристики материала. В статье проведен анализ влияния различных типов предварительного состояния на спектр акустических характеристик (собственные частоты, амплитудно-частотные характеристики) в стержнях, изготовленных из функционально-градиентных композитов. В рамках модели Тимошенко рассмотрены такие факторы ПС, как предварительные напряжения, предварительный прогиб стержня и предварительный угол поворота главной оси стержня, обусловленный изгибом.

Кириллова И.В., Коссович Л.Ю. «Эллиптический погранслой в оболочках вращения при ударных поверхностных воздействиях нормального типа» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 3, № 1, с. 139-146 (2016)

Получены асимптотические уравнения, описывающие эллиптический погранслой в оболочках вращения при действии ударных нормальных поверхностных нагрузок. Рассматриваемый вид погранслоя имеет место только при поверхностных и торцевых нагрузках нормального типа и сосредоточен в малой окрестности условного фронта поверхностных волн Рэлея. Используются асимптотические методы в комбинациях с символическим методом Лурье. Для погранслоя получены эллиптические уравнения, описывающие поведение погранслоя по толщине оболочки, и гиперболические уравнения, задающие граничные условия на лицевых поверхностях.

Михасев Г.И., Ботогова М.Г. «Свободные локализованные колебания длинной двухстенной углеродной нанотрубки, внедренной в неоднородную упругую среду» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 3, № 1, с. 155-163 (2016)

На основе модифицированных уравнений Флюгге и нелокальной теории упругости исследуются свободные осесимметричные колебания длинной двухстенной углеродной нанотрубки, внедренной в неоднородную упругую среду. Окружающая среда моделируется винклеровским основанием. Для учета сил взаимодействия стенок нанотрубки вводятся силы ван-дер-Ваальса. С использованием асимптотического метода Товстика строятся собственные формы в виде функций, затухающих вдали от линии на поверхности внешней стенки, на которой коэффициент постели упругого основания имеет локальный минимум. Найдены формы колебаний и соответствующие собственные частоты, отвечающие одинаково направленному и разнонаправленному движениям стенок. Обнаружено, что введение в модель параметра нелокальности «порождает» собственные формы колебаний трубки, которые не свойственны макроразмерным оболочкам. В частности, увеличение растягивающей силы приводит, во-первых, к большей степени локализации колебаний и росту амплитуды тангенциальных колебаний атомов, во-вторых – к убыванию частот в случае, когда трубка лежит в достаточно жесткой среде.