Гадыльшин Р.Р. «Об аналогах резонатора Гельмгольца в теории усреднения» Математический сборник, 193, № 11, с. 43-70 (2002)

Рассмотрены возмущенные двумерные краевые задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями Дирихле и Неймана на семействе кривых, получающемся из границы ограниченной области Ω вырезанием большого числа отверстий, имеющих малый размер и расположенных почти периодически и близко друг к другу. Установлены соотношения между размерами отверстий и границы, при которых решение возмущенной задачи сходится к решениям задач Дирихле и Неймана в Ω и вне Ω^–. Для случая, когда Ω – круг, отверстия расположены периодически, усредненными задачами являются задачи Дирихле, построены асимптотики по малому параметру ε (характеризующему размер отверстий и расстояние между ними) полюсов с малой мнимой частью для аналитического продолжения решения возмущенной задачи и показан их резонансный характер.