Аристова Е.Н., Караваева Н.И. «Бикомпактные схемы для численного решения модельной задачи нестационарного переноса нейтронов HOLO алгоритмами» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 3-26 (2021)

Предложены бикомпактные схемы для HOLO алгоритмов решения нестационарного линейного уравнения переноса. Схемы апробированы на модельной задаче переноса нейтронов (нестационарного обобщения задачи Рида). HOLO алгоритмы строятся на основе совместного решения кинетического уравнения высокого порядка – HO (high order) (в данной работе это уравнение переноса) и кинетических уравнений низкого порядка – LO (low order) (системы уравнений квазидиффузии). Для построения схем для HO и LO части производится дискретизация уравнений по пространству с четвертым порядком аппроксимации на двухточечном шаблоне. Высокий порядок аппроксимации достигается за счет расширения списка неизвестных и включения в него не только узловых значений, но и интегральных средних по ячейке. Полученные полудискретные схемы интегрируются по времени методом Рунге-Кутты третьего порядка аппроксимации, но могут быть проинтегрированы методом любого другого, в том числе более высокого порядка аппроксимации. Проведена монотонизация полученной разностной схемы для HOLO алгоритма. Порядок сходимости в тестах для задачи Рида падает до первого, так как решение не является гладким.

Курбатова Г.И., Клемешев В.А. «Математический аппарат обнаружения места утечки в газопроводах» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 27-41 (2021)

Предложен метод, позволяющий по данным измерений давления и расхода на выходе из газопровода рассчитать размер и координаты аварийной утечки газа, возникшей в результате разгерметизации газопровода. Метод основан на математической модели неизотермического установившегося течения смеси газов по газопроводу постоянного сечения. Метод является модификацией метода идентификации места утечки газа в скважине. Метод позволяет с высокой точностью рассчитать координаты утечки в широком диапазоне изменений расхода, давления и температуры газа на входе. В расчёте начального приближения использована характерная для широкого круга задач линейная зависимость координаты места утечки газа от давления на выходе. В работе приведены примеры расчёта координаты места утечки в газопроводах предложенным итерационным методом, продемонстрирована его сходимость. Приведен пример влияния погрешности задания давления на выходе на погрешность расчёта координаты места утечки. Предложенный математический аппарат обнаружения места утечки газа обобщается на обнаружение места утечки газа в скважинах и в морских газопроводах сверхвысокого давления.

Леонов Е.А., Полбин А.В. «Численный поиск глобального решения в модели двухрежимной экономики с исчерпаемым запасом углеводородов» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 42-58 (2021)

Работа посвящена численному поиску оптимальной траектории в модели экономического роста с двумя секторами: производственным и энергетическим. В энергетическом секторе есть возможность использовать энергоресурсы из ограниченных запасов. Переключение экономики на режим работы без ресурса, момент которого не фиксирован и зависит от поведения агентов, вносит особенности в фазовый портрет и обуславливает необходимость численного поиска именно глобального решения, на что и нацелена данная работа. Для решения этой многомерной задачи предлагается использовать алгоритм стрельбы с использованием модифицированного метода Ньютона для обновления начальной точки, а также обсуждаются нюансы применения этого подхода к экономическим задачам данного типа.

Цветкова В.О., Абалакин И.В., Бобков В.Г., Жданова Н.С., Козубская Т.К., Кудрявцева Л.Н. «Моделирование обтекания винта на адаптивной неструктурированной сетке с использованием метода погруженных границ» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 59-82 (2021)

Представлена методика моделирования обтекания вязким сжимаемым газом подвижного тела на односвязной неструктурированной сетке, что возможно при использовании метода погруженных границ, и особенности ее применения для расчета течения около вращающегося винта. Важной частью методики является адаптация подвижной, сохраняющей свою топологию сетки к поверхности обтекаемого тела. Положение и форма тела задаются интерполяционной решеткой, на которой хранится расстояние до поверхности тела, а также нормали к поверхности. Методика применяется для расчета обтекания вращающегося в потоке винта. Задача рассматривается в двумерной постановке. Форма винта имеет участки высокой кривизны, которые требуют специального подхода при адаптации к границам. Приведены результаты расчета задачи обтекания вращающегося винта, а также ряда вспомогательных задач, рассмотренных в целях верификации разработанной методики.

Таюрский А.А. «Влияние неоднородности плазмы с учётом тормозного излучения на нелинейное поглощение альфвеновской волны диссипативной плазмой» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 83-96 (2021)

Исследована математическая модель затухания альфвеновской волны в неоднородной несжимаемой диссипативной плазме с использованием уравнений двухжидкостной электромагнитной гидродинамики. Показано, что следствием учёта тормозного излучения является конечность глубины проникания альфвеновской волны в неоднородную плазму и установившийся квазистационарный режим затухания. Рассмотрены неоднородности по плотности двух типов – вершины и впадины, которые распределены по гауссову закону. Получены зависимости от величины вершины глубины проникания альфвеновской волны в неоднородную плазму и максимальных температур электронов и ионов. Исследование показало, что увеличение амплитуды падающей волны приводит к увеличению значений максимальных температур электронов и ионов, а также увеличению глубины проникания альфвеновской волны в неоднородную диссипативную плазму.

Толоконников Л.А., Ларин Н.В. «Рассеяние цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых линейным источником, в плоском волноводе» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 97-113 (2021)

Статья посвящена математическому моделированию акустического поля, рассеянного абсолютно жестким круговым цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, помещенным в плоский волновод, заполненный идеальной жидкостью. Плотность и модули упругости материала покрытия описываются непрерывными функциями радиальной координаты. Одна из границ волновода является идеальной (абсолютно жесткой или акустически мягкой), а другая сколь угодно мало отличается от идеальной. Первичное поле возмущений представляет собой гармоническую звуковую волну, излучаемую линейным источником. Акустическое поле в волноводе ищется в виде суммы вкладов от источника и рассеивателя. Вклад от рассеивателя определяется на основе решения задачи дифракции цилиндрической звуковой волны на жестком цилиндре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием в свободном пространстве. Используя интегральную форму записи цилиндрической волны и интегральное представление волновых цилиндрических функций через декартовы базисные решения уравнения Гельмгольца, вклады от источника и рассеивателя находятся в виде суперпозиции плоских волн с учетом многократного отражения от границ волновода. Представлены результаты расчетов акустического поля в волноводе, когда одна граница волновода является абсолютно жесткой, а другая – незначительно отличается от акустически мягкой. Показано, что с помощью неоднородного покрытия можно изменять звукоотражающие свойства цилиндрического тела в волноводе.

Шестаков А.А. «Сравнение гибридных схем DDAD/ST и DDAD-TVDR при решении двумерного уравнения переноса теплового излучения» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 114-126 (2021)

Проблеме построения монотонных схем второго порядка аппроксимации для решения уравнения переноса теплового излучения посвящено большое число работ. Отдельным классом среди них выделяются гибридные схемы, которые в областях немонотонности решения используют монотонные схемы первого порядка, а на гладких участках – схемы более высокого порядка. Если построение гибридных схем в одномерном случае не вызывает особых трудностей, то в многомерном случае эти схемы могут порождать немонотонность по времени и несходимость итераций из-за переключений с одной схемы на другую. Поэтому разработка монотонных схем второго порядка аппроксимации при решении задач переноса теплового излучения до сих пор является актуальной проблемой. Для решения двумерного уравнения переноса теплового излучения в данной работе рассмотрено построение стандартной гибридной схемы, в которой при возникновении немонотонности переходят со схемы второго порядка на схему первого порядка аппроксимации. Хотя такая схема дает монотонное распределение по пространству, показано, что она может приводить к немонотонной зависимости от времени. Приведен другой способ построения гибридной схемы, в которой при переходе со схемы второго порядка на схему первого порядка не происходит возникновения немонотонности по времени.

Кислицын А.А., Орлов Ю.Н. «Модель эволюции распределений степеней вершин графов социальных сетей» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 3-21 (2021)

Исследуются распределения степеней вершин сетевого графа, образованного дружескими связями социальной сети «ВКонтакте». Вершины социальных графов многомерны, поскольку пользователь описывается многими параметрами, основными из которых, указываемыми при регистрации, являются пол, возраст, регион проживания. Цель исследования состоит в разработке модели, позволяющей приближенно описать структуру связей графа на основе анализа эмпирических частот связей между вершинами. Выяснилось, что распределение вершин социального графа по степеням сильно зависит от того, какому параметру отвечает вершина. Так, распределение региональных связей без учета пола и возраста близко к равномерному, а распределение возрастных связей без учета пола и региона имеет треугольный вид. В результате «городской» граф имеет большое полносвязное ядро и разреженную периферию, а «возрастной» граф – полносвязные сообщества из 5–7 вершин, слабо связанных одно с другим. В работе построены модельные распределения степеней многомерных вершин сетевого графа и изучена зависимость плотности графа от ранга параметров вершин. Рассмотрены также различные способы кластеризации вершин с целью получения полносвязного графа и представлена модель эволюции матриц смежности.

Федосова Н.В., Берченко Г.Н., Машошин Д.В. «Создание математической модели нейронной сети для морфологической оценки репарации и ремоделирования костного дефекта» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 22-34 (2021)

В настоящее время уже не возникает сомнений в том, что применение моделей искусственного интеллекта имеет исключительный потенциал во многих сферах нашей жизни, включая медицину, поскольку выводит медицинское исследование на принципиально новый качественный уровень за счет высокой степени точности анализа растущих объёмов медицинских данных, исключающей влияние человеческого фактора и соответствующие медицинские ошибки. Несмотря на бурное развитие нейронных сетей, их практическое применение в современных научных исследованиях встречается крайне редко. В отечественной или зарубежной литературе отсутствуют работы, где нейронные сети используются для обработки морфологических изображений, полученных в результате научного эксперимента. Используемые в настоящее время для этой цели методы математической статистики очень сложны и в большинстве случаев трудны для врачей и биологов. Это приводит к большому количеству ошибок и в ряде случаев к ненаучным и абсурдным выводам. Поэтому авторы данной работы разработали методологию построения математической модели свёрточной нейронной сети GoogLeNet, с помощью которой была проведена морфологическая оценка процесса заживления костного дефекта. Морфологическое исследование, проведенное экспертом патологоанатомом, подтверждает результаты обработки гистологических препаратов математической моделью. Достоверность результатов проведенного качественного и количественного морфологического исследования – анализа изображений с помощью разработанной авторами статьи модели нейронной сети – значительно превышает достоверность обработки результатов, выполненных специалистом традиционным способом. Это становится возможным, поскольку при обработке изображений с помощью математической модели производится исследование всех полей зрения микроскопа гистологического материала, что позволяет исключить элемент случайной выборки, а также человеческий фактор при оценке результатов исследования.

Грабовенская С.А., Завьялов В.В., Шестаков А.А. «О двух подходах эффективного понижения размерности для задач переноса теплового излучения в многомерной геометрии» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 35-46 (2021)

Математическое моделирование нестационарного переноса лучистой энергии в кинетической постановке является весьма трудоемкой задачей. Это связано с нелинейностью решаемой системы и ее большой размерностью. В общем случае кинетическое уравнение переноса решается в 7-мерном фазовом пространстве, что требует больших вычислительных ресурсов. Поэтому исторически предпринимались попытки упростить исходную решаемую систему. Однако упрощающие предположения a priori могут ухудшать качество решения. Существенным шагом вперед стало квазидиффузионное приближение, предложенное В.Я. Гольдиным в 1964 г для переноса нейтронов и ставшее впоследствии одним из эффективных методов решения задач переноса нейтральных частиц. Метод квазидиффузии учитывает кинетические эффекты через коэффициенты, насчитываемые при периодическом решении кинетического уравнения. Существуют и другие подходы к упрощению исходной системы. В 2010 г. М.Ю. Козмановым и Н.Г. Карлыхановым для одномерной геометрии была предложена другая модель, идеологически близкая к алгоритму квазидиффузии. В этой модели в уравнение диффузии вводятся коэффициенты, полученные при решении кинетического уравнения. Данный подход активно развивается в РФЯЦ-ВНИИТФ как в практическом, так и в теоретическом плане, и опыт использования позволяет надеяться на его широкое применение. В статье конспективно рассматриваются эти две модели и приводятся результаты расчетов двух тестовых задач в двумерной осесимметричной геометрии.

Чечина А.А. «Алгоритмы поведения водителей на нерегулируемых перекрестках с приоритетом и при объезде препятствий» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 47-59 (2021)

Представлен набор алгоритмов «вежливый водитель» для двумерной микроскопической модели движения автотранспорта на основе теории клеточных автоматов. Рассмотрены случаи перестроения при объезде препятствия на многополосной дороге и въезд с второстепенной дороги на главную; для каждого случая представлена блок-схема алгоритма «вежливый водитель». Обсуждаются особенности программной реализации алгоритмов в составе комплекса программ для моделирования транспортных потоков. Проведены тестовые расчеты для апробации алгоритмов. Расчеты показывают, что наличие в модели «вежливых» водителей позволяет снизить время ожидания перестроения или въезда для автомобилей без приоритета, что соответствует реальной ситуации. Представленные результаты подтверждают, что созданные алгоритмы и программные модули позволяют адекватно моделировать различные ситуации, возникающие при движении автотранспорта и обусловленные «человеческим фактором».

Борзунов С.В., Семенов М.Е., Сельвесюк Н.И., Мелешенко П.А., Соловьев А.М. «Стохастическая модель гистерезисного преобразователя с доменной структурой» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 60-86 (2021)

Работа посвящена обобщению одной из самых «популярных» конструктивных моделей гистерезиса – преобразователя Прейзаха (континуальная система неидеальных реле, соединенных параллельно). Во многих прикладных задачах, связанных с моделированием гистерезисных эффектов, где априори предполагается доменная структура носителей гистерезисных свойств (многократное перемагничивание ферромагнитных составляющих электромагнитных систем, поляризация сегнетоэлектрика в зависимости от напряженности электрического поля, зависимость занятости от цены на монотоварных рынках и др.), приходится сталкиваться с необходимостью учитывать неопределенности в реакциях отдельных доменов на внешнее воздействие. В настоящей работе предложен инструментальный метод, позволяющий учитывать такие неопределенности посредством стохастических моделей элементарных носителей гистерезисных свойств. Рассмотрены основные свойства дискретной и континуальной систем реле, параметры которых трактуются как случайные величины, при этом выход системы реле представляется как случайный процесс. Исследована корректность определения, в частности, установлена независимость выхода (случайного процесса) от способа дискретизации в рамках предельного перехода от конечной к континуальной системе неидеальных реле, а также установлена управляемость и монотонность (в рамках соответствующего определения) стохастического аналога преобразователя Прейзаха.

Сазонов Вас.В. «Математическое моделирование работы солнечных батарей космического аппарата» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 87-107 (2021)

Рассматривается подход к математическому моделированию работы солнечных батарей орбитального космического аппарата, учитывающий возможное затенение поверхности солнечных батарей элементами конструкции внешней поверхности космического аппарата. В работе разбираются две модели функционирования солнечной батареи: первая – на основе решения диодного уравнения, вторая – учитывающая только площадь освещенной части солнечной батареи и угол падения солнечных лучей на ее плоскость. Отыскание освещенных участков солнечных батарей производится с использованием интерактивной геометрической модели внешней поверхности космического аппарата методом трассировки лучей. Проведено сравнение двух предложенных моделей, приводятся примеры, в которых каждая из моделей является предпочтительной. Сила тока, вырабатываемого солнечной батареей, вычисленная при помощи предложенной математической модели, сравнивается с данными, полученными при обработке телеметрической информации, полученной с борта Служебного модуля «Звезда» Международной космической станции.

Бублик С.А., Семин М.А. «Численное моделирование фильтрации смеси пар–вода–нефть при паротепловом воздействии на пласт» Математическое моделирование, 33, № 8, с. 108-128 (2021)

Представлена математическая модель и алгоритм численного моделирования фильтрации трехфазной смеси пар–вода–нефть в пористом пласте при паротепловом воздействии на него. Рассматривается двумерная постановка задачи, конвективный и диффузионный механизмы тепло- и массопереноса смеси. Физические свойства пласта принимаются однородными и изотропными, явный учет трещиноватости пласта не производится. Свойства пара и воды считаются не зависящими от термодинамических параметров системы. Физические свойства нефти также не зависят от термодинамических параметров системы за исключением динамической вязкости, которая является функцией температуры. Для описания изменения паро-, водо- и нефтенасыщенности используются нестационарные балансовые соотношения для каждой фазы. Из этих соотношений и закона фильтрации Дарси получено уравнение пьезопроводности для расчета распределения давления. Расчет температуры смеси осуществляется с помощью уравнения теплопроводности в рамках гипотезы о квазиравновесном тепловом состоянии всех рассматриваемых фаз и единой температуре. В модели также учитываются фазовые переходы между паром и водой. Для этого используется модель W.H. Lee. Пространственная дискретизация полученных уравнений осуществлялась методом конечных объёмов, а дискретизация по времени – с помощью прямой схемы Эйлера. Поскольку используемые балансовые уравнения являются нелинейными, то для их численного решения применен метод Ньютона. С помощью построенной численной схемы проведено моделирование фильтрации трехфазной смеси пар-вода-нефть через пористый пласт в условиях парогравитационного дренирования. В ходе анализа результатов моделирования показаны особенности предложенного численного метода, возникающие при учёте фазового перехода между паром и водой.