Тлячев В.Б., Ушхо А.Д., Ушхо Д.С. «О периодических решениях уравнения Рэлея» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 21, № 2, с. 173-181 (2021)

Получены новые достаточные условия существования и единственности периодического решения системы дифференциальных уравнений, эквивалентной уравнению Рэлея. В отличие от известных результатов доказательство существования хотя бы одного предельного цикла системы основано на применении кривых топографической системы Пуанкаре, дополненной новыми конструкциями. Единственность предельного цикла, окружающего сложный неустойчивый фокус, доказывается методом Отрокова

Панкратов И.А. «Аппроксимация уравнений ориентации орбитальной системы координат методом взвешенных невязок» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 21, № 2, с. 194-201 (2021)

В кватернионной постановке рассмотрена задача математического моделирования движения космического аппарата (КА) по эллиптической орбите. Постоянное по модулю управление (вектор ускорения от реактивной тяги) направлено ортогонально плоскости орбиты КА. Для описания движения центра масс КА использовано кватернионное дифференциальное уравнение ориентации орбитальной системы координат. Построено приближённое аналитическое решение кватернионного дифференциального уравнения ориентации орбитальной системы координат в виде разложения по системе линейно независимых базисных функций. Для нахождения неизвестных кватернионных коэффициентов этого разложения был использован метод поточечной коллокации. Учёт известного решения уравнения ориентации орбитальной системы координат для случая, когда орбита КА является круговой, позволил упростить вид вышеуказанного разложения. Относительно искомых коэффициентов получена система линейных алгебраических уравнений, в которой компоненты матрицы жёсткости и столбца свободных членов являются кватернионами. Для проведения численного моделирования движения КА была составлена программа на языке Python. Проведено сравнение расчётов по аналитическим формулам, полученным в работе, и численного решения задачи Коши методом Рунге–Кутты 4-го порядка точности. Составлены таблицы погрешности определения ориентации орбитальной системы координат для случаев, когда базисные функции являются полиномами и тригонометрическими функциями. Приведены примеры численного решения задачи для случая, когда начальная ориентация орбитальной системы координат соответствует ориентации орбиты одного из спутников орбитальной группировки ГЛОНАСС. Построены графики изменения компонент кватерниона погрешности определения ориентации орбитальной системы координат. Проведён анализ полученных решений. Установлены особенности и закономерности процесса движения КА по эллиптической орбите.

Петухов В.Г., Рязанов В.В. «Искусственные точки либрации в задаче буксировки космического мусора ионным потоком» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 21, № 2, с. 202-212 (2021)

Работа посвящена проблеме буксировки космического мусора с геостационарной орбиты до орбиты захоронения бесконтактным способом с помощью ионного потока, создаваемого двигателем активного космического аппарата. Для плоского случая с помощью модифицированной задачи Хилла определены точки относительного равновесия (точки либрации) активного космического аппарата относительно объекта увода и произведена оценка их устойчивости. Показано, что в зависимости от значений радиального ускорения существует до 6 точек либрации, но лишь одна точка пригодна для буксировки объекта космического мусора. Определено необходимое количество топлива при различных значениях тяги и удельного импульса компенсирующего двигателя активного космического аппарата при одновременной работе электрореактивных двигателей. Полученные результаты можно использовать при стабилизации относительного движения активного космического аппарата и определении необходимого количества топлива для миссии увода объекта космического мусора.

Сапунков Я.Г., Молоденков А.В. «Аналитический алгоритм квазиоптимального по энергии и времени разворота космического аппарата при произвольных граничных условиях» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 21, № 2, с. 213-226 (2021)

В кватернионной постановке рассматривается классическая задача оптимального управления пространственной переориентацией космического аппарата как твердого тела с одной осью симметрии при произвольных граничных условиях по угловому положению и угловой скорости космического аппарата без ограничения на вектор-функцию управления. В качестве критерия оптимальности используется комбинированный функционал, который объединяет время и энергию, затраченные на разворот космического аппарата. Используя взаимно-однозначные замены переменных, исходная задача упрощается (в смысле динамических уравнений Эйлера) до задачи оптимального разворота твердого тела со сферическим распределением масс. Упрощенная задача содержит одно дополнительное скалярное дифференциальное уравнение. В классе обобщенных конических движений эта задача модифицируется для получения аналитических решений уравнений движения. Решения содержат произвольные константы и две произвольные скалярные функции (обобщенные параметры конического движения). Предлагаемый подход хорошо согласуется с концепцией Пуансо, что всякое произвольное угловое движение твердого тела вокруг неподвижной точки можно рассматривать как некоторое обобщенное коническое движение твердого тела. При этом для случаев аналитической разрешимости классической задачи оптимального разворота сферически-симметричного космического аппарата, когда наложены ограничения на краевые условия задачи – плоский эйлеров разворот, коническое движение, – решения классической и модифицированной задач полностью совпадают. Сформулирована и решена оптимизационная задача относительно параметров конического движения, вторые производные которых являются управлениями. Полученное аналитическое решение модифицированной задачи можно рассматривать как приближенное (квазиоптимальное) решение традиционной задачи оптимального разворота при произвольных граничных условиях. Дается квазиоптимальный алгоритм оптимального разворота космического аппарата. Приведен числовой пример, показывающий близость решений традиционной и модифицированной задач оптимального разворота осесимметричного космического аппарата.

Смирнов А.Л., Васильев Г.П. «Частоты собственных колебаний круглой тонкой пластины с нелинейно возмущенными параметрами» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 21, № 2, с. 227-237 (2021)

Исследуются поперечные колебания неоднородной круглой тонкой пластины. Рассмотрены пластины, геометрические и физические параметры которых мало отличаются от постоянных, причем исследуется случай, когда параметры зависят только от радиальной координаты, что позволяет разделить переменные. Полученные уравнения колебаний представляют собой однородные обыкновенные дифференциальные уравнения, которые вместе с однородными граничными условиями образуют регулярно возмущенную краевую задачу на собственные значения. С помощью метода возмущений получены асимптотические формулы для частот собственных колебаний пластины, толщина и/или модуль Юнга которой нелинейно зависят от радиальной координаты. В качестве примеров рассмотрены собственные колебания пластины, зависимость параметров которой от радиальной координаты является квадратичной или экспоненциальной. Проанализировано поведение частот в зависимости от малого параметра возмущения при условии фиксированности массы при изменении толщины или средней жесткости пластины при изменении модуля Юнга. Рассмотрено влияние краевых условий на характер поведения низших частот при изменении малого параметра. Рассмотрена зависимость величин, вызываемых неоднородностью поправок к частотам, от значений соответствующих волновых чисел. Для широкого диапазона значений малого параметра асимптотические результаты для низших частот колебаний пластины хорошо согласуются с результатами конечно-элементного анализа в пакете COMSOL Multiphysics 5.4 и результатами других авторов, полученными с помощью различных численных методов. Малое нелинейное изменение параметров оказывает на все частоты, включая фундаментальную, заметно большее влияние, чем линейное.