Бригаднов И.А. «Разрывные отображения и предельная нагрузка в краевых задачах нелинейной упругости» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 86-98 (2023)

Рассматривается краевая задача нелинейной упругости для отображения (деформации) в двух слабых постановках: в форме вариационного уравнения равновесия и в форме минимизации многомерного интегрального функционала энергии. С математической точки зрения обе постановки относятся к задачам функционального анализа, на языке которого обсуждаются вопросы их математической корректности. Методами вариационного исчисления на примере двух простых задач доказывается, что для некоторых нелинейно упругих моделей в соответствующих краевых задачах могут существовать отображения, имеющие разрывы типа проскальзывания, а также предельная нагрузка – такое конечное значение внешних сил, выше которого краевая задача вообще не имеет никакого решения. К таким моделям относятся упругие потенциалы линейного роста по модулю градиента отображения, например широко известная статистическая модель Бартенева–Хазановича и феноменологическая модель Трелоара. Обсуждается взаимосвязь этих эффектов, а также отмечается, что полученные результаты необходимо учитывать при практическом использовании упругих потенциалов линейного роста по модулю градиента отображения. На примере задачи об осесимметричном кручении или растяжении круглого цилиндра аналитически строятся оценки снизу для предельной нагрузки методами вариационного исчисления и теории оптимизации. Анализ полученных соотношений показывает, что для упругих потенциалов степенного роста с показателем p характерно степенное упрочнение с показателем p1. При линейном росте удельной энергии деформации по модулю градиента деформации наблюдается эффект насыщения, что отвечает предельной нагрузке. Указанное поведение характерно для краевых задач деформационной теории пластичности, где также существует предельная нагрузка при нулевом упрочнении, т.е. для идеальной упругопластичности.

Еремеев В.А. «Об эллиптичности уравнений равновесия градиентной теории упругости и устойчивости в малом» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 99-108 (2023)

В рамках градиентной теории упругости при конечных деформациях сформулированы условия сильной эллиптичности уравнений равновесия. В данной модели плотность энергии деформации является функцией первого и второго градиентов вектора места (градиента деформации). Свойство эллиптичности накладывает определенные ограничения на касательные модули. Оно также тесно связано с устойчивостью в малом, понимаемой как положительная определенность второй вариации функционала потенциальной энергии. В статье рассмотрена первая краевая задача – с краевыми условиями типа Дирихле. Для одномерной деформации определены достаточные и необходимые условия устойчивости в малом, которые представляют собой два неравенства для упругих модулей.

Филиппов С.Б., Смирнов А.Л., Нестерчук Г.А. «Собственные колебания цилиндрической оболочки с крышкой. I. Асимптотический анализ» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 109-120 (2023)

Низшие собственные частоты и формы колебаний конструкции, состоящей из замкнутой круговой цилиндрической оболочки с присоединенной к ней концевой крышкой, имеющей форму пологого сферического сегмента, исследуются в статье с помощью численных и асимптотических методов. Выделены три типа собственных колебаний конструкции. Собственные частоты и формы колебаний первого типа близки к частотам и формам колебаний пологой сферической оболочки, формы и частоты второго типа – к частотам и формам цилиндрической оболочки, а третьего типа – к частотам и формам колебаний консольной балки с грузом на конце. В данной работе асимптотическими методами найдены приближенные значения для частот колебаний первого типа. Обнаружено хорошее согласие асимптотических и численных результатов, полученных с помощью метода конечных элементов.

Смирнов А.С., Смольников Б.А. «Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. II. Решение задачи и анализ результатов» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 121-138 (2023)

Продолжением статьи «Оптимизация режимов гашения колебаний пространственного двойного маятника. I. Постановка задачи», в которой была дана постановка задачи оптимального гашения колебаний двойного маятника, имеющего не коллинеарные друг другу шарнирные оси. При этом рассматривается в отдельности пассивное гашение (вязкое трение), а также обсуждается возможность дополнительного учета активных воздействий (коллинеарное управление). Принимаются два критерия оптимизации, характеризующие эффективность процессов затухания движений системы: сначала максимизируется степень устойчивости, а затем минимизируется интегральный энерговременной критерий. В ходе точного решения задачи в рамках линейной модели определяются оптимальные значения параметров рассматриваемых вариантов гашения по обоим критериям. Полученные результаты представлены в виде наглядных графических иллюстраций, позволяющих установить их основные качественные и количественные особенности. Сделанные выводы могут быть полезны при исследовании движений манипуляторов и различных робототехнических конструкций.

Шитикова М.В. «Удар жесткого шара по бесконечной пластинке Кирхгофа–Лява с учетом объемной и сдвиговой релаксации» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 139-154 (2023)

Рассматривается задача о нормальном низкоскоростном ударе жесткого шара по бесконечной вязкоупругой пластинке Кирхгофа–Лява. Динамическое поведениие вязкоупругой пластинки описывается моделью стандартного линейного тела с дробными производными. Параметр дробности, определяющий порядок дробной производной, учитывает изменение вязкости материала пластинки в зоне контакта в процессе удара. Местное смятие материала пластинки и контактная сила определяются по обобщенной теории Герца. Используя алгебру операторов Ю.Н. Работнова, а также учитывая действие объемной и сдвиговой релаксации, удается получить интегральное уравнение относительно местного смятия контактирующих тел. Приближенное решение этого уравнения позволяет найти временные зависимости не только для контактного смятия, но и для контактной силы.

Никонова Е.А. «Равногранный тетраэдр и система точечных масс, равномоментная твердому телу» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 155-164 (2023)

Рассматривается задача о равномоментности произвольного твердого тела и системы материальных точек равных масс. Показывается, что система четырех одинаковых масс, располагающихся в вершинах равногранного тетраэдра, равномоментна твердому телу. Строится система материальных точек равных масс, располагающихся в вершинах равногранного тетраэдра, равномоментная ядру кометы 67P Чурюмова–Герасименко.

Титов В.Б. «Поверхность нулевой скорости в общей задаче трех тел» Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия, 10, № 1, с. 165-175 (2023)

Поверхности нулевой скорости общей плоской задачи трех тел строятся в пространстве форм, фактор-пространстве конфигурационного пространства задачи по переносам и поворотам. Такое пространство представляет собой пространство конгруэнтных треугольников, а сфера в этом пространстве – подобные треугольники. Интеграл энергии в пространстве форм дает уравнение поверхности нулевой скорости. Эти поверхности можно получить также исходя из неравенства Сундмана. Такие поверхности отделяют области возможного движения от областей, где движение невозможно. Без потери общности можно считать, что постоянная энергия равна 1/2 и искомые поверхности зависят только от величины углового момента задачи J. В зависимости от этой величины можно выделить пять топологически разных типов поверхностей. При малых J поверхность состоит из двух отдельных поверхностей, внутренней и внешней, движение возможно только между ними. При увеличении J внутренняя поверхность увеличивается, внешняя уменьшается, поверхности сначала при каком-то значении J имеют общую точку, при дальнейшем увеличении J их топологический тип изменяется и, в конце концов, поверхность нулевой скорости распадается на три непересекающихся поверхности, движение возможно только внутри них. Для каждого из пяти типов приведены примеры соответствующих поверхностей, построены их сечения в плоскости xy и в плоскости xz и сами поверхности, изучаются их свойства.