Дегилевич Е.А., Смирнов А.С. «Колебания конечномерных моделей растяжимой цепной линии» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 25, № 3, с. 332-344 (2025)

Статья посвящена исследованию собственных частот колебаний конечномерных моделей растяжимой гибкой цепной линии. Приводятся аналитическое решение для двухгантельной и трехгантельной моделей, а также результаты компьютерного моделирования двадцатигантельной схемы растяжимой цепной линии. В случае аналитического подхода применяется координатный метод решения, при котором расписываются координаты сосредоточенных масс гантельных схем в отклоненном положении. В случае численного подхода используется программный комплекс MSC.ADAMS, позволяющий анализировать статику, кинематику и динамику многотельных систем. Полученные результаты для рассматриваемых моделей растяжимой цепной линии находятся в хорошем качественном соответствии между собой. Кроме того, при рассмотрении предельных переходов от растяжимого варианта к нерастяжимому также наблюдается хорошая согласованность ожидаемых эффектов с найденными результатами. Для конечномерной двадцатигантельной модели нерастяжимой цепной линии с сосредоточенными параметрами проводится сопоставление первых трех безразмерных частот с частотами непрерывной модели, значения которых были найдены ранее. Наблюдается отличная схожесть результатов, подтверждающих применимость двадцатигантельной схемы для описания динамики цепной линии на низших частотах колебаний. Помимо определения частот, привычных для классической нерастяжимой цепной линии, проводится анализ новых «мигрирующих» частот, которые появляются вследствие возникновения дополнительных степеней свободы из-за учета растяжимости. Строятся частотные зависимости от параметра, характеризующего податливость цепной линии, что позволяет оценить, как быстро «мигрирующие» частоты перемещаются из высокочастотного диапазона в зону низших частот по мере ослабления жесткости цепи. Полученные формулы и рассмотренные модели имеют как теоретическую ценность, так и хорошую применимость для прикладных задач.

Карпов В.В., Бакусов П.А., Масленников А.М., Семенов А.А. «Математические модели деформирования оболочечных конструкций и алгоритмы их исследования. Часть II. Алгоритмы исследования оболочечных конструкций» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 25, № 3, с. 345-365 (2025)

Математические модели деформирования тонких оболочек, описанные в первой части статьи, представляют собой или вариационную задачу о минимуме функционала энергии деформации оболочки, или краевую задачу для дифференциальных уравнений равновесий оболочки. И в том, и в другом случае задаются еще краевые условия исходя из вида закрепления контура оболочек. Для решения поставленных задач рассмотрены различные методы. Применяя метод Ритца к вариационной задаче о минимуме функционала энергии деформации оболочки или метода Бубнова–Галеркина к краевой задаче для дифференциальных уравнений равновесий оболочки, получаются системы алгебраических уравнений линейных или нелинейных. Применение метода конечных элементов (МКЭ) к решению задач теории оболочек также приводит к системам алгебраических уравнений, порядок которых может быть очень большим. Для решения линейных систем алгебраических уравнений может быть применен метод Гаусса, если порядок системы не превышает 10³. Если же порядок системы линейных алгебраических уравнений превышает 10³, то для решения таких систем применяют итерационные методы. Для решения нелинейных задач теории оболочек применяют методы продолжения решения по параметру. Если за параметр принимается нагрузка, то это будет метод последовательных нагружений В. В. Петрова, который позволяет свести решение нелинейных задач к последовательному решению линейных задач с изменяющимися на каждом этапе нагружения коэффициентами. Для решения нелинейных задач теории оболочек рассмотрен также метод итераций, когда нелинейные члены переносятся в правую часть и последовательно изменяются на каждом этапе итерации. Для решения нелинейных задач теории оболочек рассмотрен еще метод наискорейшего спуска. А. Л. Гольденвейзером разработан специальный метод – метод асимптотического интегрирования уравнений теории оболочек, который также описан в предлагаемой статье. Если уравнение равновесия оболочек содержит разрывные функции (единичные функции, дельта-функции), то Г.Н. Белосточным разработан специальный метод решения таких уравнений, который также описан в статье. Приводятся примеры применения описанных методов для решения конкретных задач теории оболочек.

Старовойтов Э.И., Леоненко Д.В. «Термосиловое резонансное нагружение трехслойной пластины» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 25, № 3, с. 408-416 (2025)

Исследовано воздействие теплового удара на вынужденные колебания круговой трехслойной пластины, возбужденные резонансной нагрузкой. Пластина несимметричная по толщине, теплоизолированная на нижней поверхности и контуре. Распределение нестационарной температуры по толщине пластины вычисляется по приближенной формуле, полученной в результате решения задачи теплопроводности при усреднении теплофизических свойств материалов трехслойного пакета. В соответствии с гипотезой Неймана на свободные колебания, вызванные тепловым ударом (мгновенным падением теплового потока), накладываются вынужденные колебания от резонансной нагрузки. Использованы следующие кинематические гипотезы. Несущие слои предполагаются тонкими, высокопрочными. Для них приняты гипотезы Кирхгофа. В относительно толстом заполнителе выполняется гипотеза Тимошенко, согласно которой нормаль к срединной поверхности в процессе деформации перестает быть нормалью, но остается прямолинейной и несжимаемой. В постановку начально-краевой задачи входят дифференциальные уравнения поперечных колебаний пластины в частных производных, полученные вариационным методом, однородные начальные условия и граничные условия шарнирного опирания контура. Искомыми функциями выступают прогиб пластины, угол поворота нормали в заполнителе (относительный сдвиг) и радиальное перемещение срединной поверхности заполнителя. Для их получения использована известная система собственных ортонормированных функций. Приведены соответствующие расчетные формулы и результаты числового параметрического анализа зависимости решения от интенсивности и времени воздействия теплового потока, величины силовой нагрузки.