Абдрахманова А.И., Султанов Л.У. «Численное исследование нелинейных деформаций с учетом контактного взаимодействия» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 160, № 3, с. 423-434 (2018)

Работа посвящена построению вычислительного алгоритма исследования конечных деформаций трехмерных тел с учетом контактного взаимодействия. Алгоритм основан на так называемом подходе «мастер–слуга» («master–slave»), рассматривается проекция slave-точки на master-поверхность, которая задана параметрически. Построены все необходимые кинематические соотношения. Для поиска зоны контакта применен алгоритм проекции ближайшей точки. Рассмотрен случай контактного взаимодействия без учета трения между контактируемыми поверхностями. Для выполнения условий контакта применяется метод штрафных функций. На основе уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации дана вариационная постановка решения задачи с учетом контактного взаимодействия, построен функционал контактного взаимодействия от неизвестной скорости проникновения одного тела в другое. Определяющие соотношения записаны с помощью упругого потенциала деформации. Для решения полученной нелинейной задачи применен метод пошагового нагружения. Разрешающее уравнение построено на основе линеаризации уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации, получены линеаризированные соотношения, разработан алгоритм решения нелинейной задачи. Приведена конечноэлементная реализация предложенного алгоритма. Пространственная дискретизация построена на основе восьмиузлового конечного элемента и пятиузлового контактного элемента, реализующего решения вариационной контактной задачи. Приведены результаты решения модельных задач.

Аганин А.А., Хисматуллина Н.А. «Расчет волн в упруго-пластическом теле» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 160, № 3, с. 435-447 (2018)

Изучена возможность повышения эффективности расчета упруго-пластических волн в теле за счет применения TVD- и UNO-модификаций классического метода С.К. Годунова. TVD-модификация имеет второй порядок точности, за исключением точек экстремума, тогда как UNO-модификация обладает вторым порядком всюду. Оценка эффективности рассматриваемых модификаций осуществлена путем сравнения результатов их применения для расчета ряда одномерных задач о распространении волн в упруго-пластическом теле в результате различного вида воздействия на его поверхность с точными решениями и результатами расчетов методом С.К. Годунова. Показано, что на аналогичных сетках рассматриваемые модификации дают намного лучшие результаты. В частности, ширина размазывания скачкообразных фронтов как упругих, так и пластических волн при их использовании значительно меньше. При этом UNO-модификация несколько предпочтительнее TVD-модификации, что проявляется, например, в том, что последняя сглаживает экстремумы решения в большей степени при использовании грубых сеток.

Аганин И.А., Давлетшин А.И. «Динамика газовых пузырьков при акустическом возбуждении» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 160, № 3, с. 448-461 (2018)

Рассмотрена динамика двух газовых пузырьков в жидкости под действием ультразвуковой бегущей волны. Жидкостью является вода, условия комнатные, пузырьки воздушные, изначально сферические, волна продольная, плоская, распространяется вдоль прямой, проходящей через центры пузырьков. Изучена зависимость динамики пузырьков от расстояния между ними, суммарной массы содержащегося в них газа, амплитуды воздействующей на них волны при разных соотношениях размеров пузырьков, варьируемых при сохранении их суммарной массы. Использована математическая модель, имеющая четвёртый порядок точности в терминах отношения радиуса пузырьков к расстоянию между ними. В ней учтены малая несферичность пузырьков, эффекты вязкости и сжимаемости жидкости, поверхностного натяжения. Показано, что в рассматриваемых условиях возможны такие сценарии взаимодействия пузырьков, как их схождение и столкновение, их расхождение и разрушение одного из пузырьков в силу больших деформаций. Установлены диапазоны амплитуды волны, расстояния между пузырьками, соотношения между их размерами, величины суммарной массы содержащегося в пузырька газа, при которых указанные сценарии реализуются

Губайдуллин Д.А., Федоров Ю.В., Зарипов Р.Р. «Влияние фазовых переходов на отражение акустических волн от границы загрязненного тумана» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 160, № 3, с. 508-516 (2018)

Представлена математическая модель, определяющая наклонное падение низкочастотной акустической волны на границу раздела между чистым воздухом и парогазовой смесью с каплями жидкости и твердыми частицами. Построены зависимости коэффициента отражения акустической волны от объемного содержания включений и угла падения волны. При нормальном падении акустической волны на границу раздела найдена монотонная зависимость коэффициента отражения от объемного содержания включений, а при наклонном падении установлена ее немонотонная зависимость. Найдено аналитическое выражение критического угла, при котором возможно полное прохождение акустической волны через границу раздела. Установлен диапазон изменения объемных содержаний капель, в котором возможно нулевое значение коэффициента отражения на низких частотах при наклонном падении волны. Показано существенное влияние концентрации пара на зависимость критического угла падения волны от объемного содержания включений. В частном случае найдено хорошее согласие приведенной теории с результатами других авторов.

Михайлова Е.Ю., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В. «Обобщенная линейная модель динамики тонких упругих оболочек» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 160, № 3, с. 561-577 (2018)

Предложена обобщенная линейная модель динамики тонкой упругой оболочки постоянной толщины, учитывающая поворот и обжатие нормального к срединной поверхности оболочке волокна. Используется система координат, включающая криволинейные координаты срединной поверхности и отсчитываемая от срединной поверхности в направлении внешней нормали расстояние (нормальная координата). Найдены связи пространственных метрики и ковариантных производных с аналогичными параметрами срединной поверхности. Поле перемещений оболочки и все характеристики рассматриваются в линейном приближении по нормальной координате. Показано, что перемещения любой точки оболочки определяются тангенциальными и нормальными перемещениями срединной поверхности, двумя углами поворота нормального волокна и его деформацией, а деформированное состояние оболочки задается тензорами тангенциальной деформации и изменения кривизны и деформацией нормального волокна. С помощью линеаризации уравнений совместности деформаций для сплошной среды получены три аналогичных уравнения для тонкой оболочки. Для их построения использовано квадратичное приближение перемещений. Получены формулы для потенциальной и кинетической энергии, а также для работы внешних сил. Показано, что учет поворота нормального волокна и обжатия приводит к появлению дополнительных внутренних силовых факторов – дополнительного момента и нормальной силы. При этом к стандартным внешним силовым факторам добавлены распределенные моменты. Физический закон построен для анизотропного материала, обладающего симметрией относительно срединной поверхности без принятия обычно используемой статической гипотезы о ненадавливаемости волокон. Уравнения движения построены с помощью принципа Гамильтона и состоят из шести тензорных соотношений. Из этого принципа выведены и естественные граничные условия. Показано, из построенной модели как частные случаи вытекают модели Кирхгофа–Лява и типа Тимошенко.