Кузнецов В.П. «Из истории нелинейной акустики в СССР: 1950–1970-х гг .» Вопросы истории естествознания и техники, 39, № 4, с. 774-782 (2018)

Период 1950–1970 х гг. оказался чрезвычайно плодотворным в истории изучения нелинейных волновых процессов. Главной причиной этого стало создание мощных радио, оптических и акустических источников излучения. В статье кратко рассмотрено развитие в СССР в упомянутый период исследований по нелинейной акустике, в том числе наиболее важные достижения в разработке теории и создании параметрических антенн. Отмечен вклад в эти работы таких ученых, как Н.Н. Андреев, Р.В. Хохлов, О.В. Руденко, В.А. Красильников, В.А. Зверев, В.И. Тимошенко и др.

Юлдашев Т.К. «О разрешимости одной краевой задачи для дифференциального уравнения типа Буссинеска» Дифференциальные уравнения, 54, № 10, с. 1411-1419 (2018)

Рассматриваются вопросы разрешимости и построения решения одной краевой задачи c нелокальным интегральным краевым условием для трёхмерного аналога однородного дифференциального уравнения Буссинеска четвёртого порядка. С использованием метода разделения переменных установлен критерий однозначной разрешимости поставленной нелокальной задачи. Задача рассмотрена также в случае нарушения критерия однозначной разрешимости.

Фаминский А.В. «О задачах управляемости для уравнения Кортевега–де Фриза с интегральным переопределением» Дифференциальные уравнения, 55, № 1, с. 123-133 (2019)

Устанавливаются результаты об однозначной разрешимости задач управляемости для уравнения Кортевега–де Фриза и его линеаризованного аналога в ограниченной области при интегральном условии переопределения. В случае самого уравнения Кортевега–де Фриза накладываются либо условия малости входных данных, либо условия малости временного промежутка. В линейном случае эти ограничения отсутствуют. В качестве управления выбираются либо значение производной решения на одной из границ, либо правая часть уравнения, имеющая специальный вид. В линейном случае эти ограничения отсутствуют. В качестве управления выбираются либо значение производной решения на одной из границ, либо правая часть уравнения, имеющая специальный вид.

Fenchenko V., Khruslov E. «Nonlinear dynamics of solitons for the vector modified Korteweg–de Vries equation» Журнал математической физики, анализа, геометрии, 14, № 2, с. 153-168 (2018)

The vector generalization of the modified Korteweg–de Vries equation is considered and the inverse scattering transform for solving this equation is developed. The solitons and the breather solutions are constructed and the processes of their interactions are studied. It is shown that along with one-component soliton solutions, there are three-component solutions which have essentially a three-component structure.

Блинков Ю.А., Евдокимова Е.В., Могилевич Л.И. «Нелинейные волны в цилиндрической оболочке, содержащей вязкую жидкость, при воздействии окружающей упругой среды и конструкционного демпфирования в продольном направлении» Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 26, № 6, с. 32-47 (2018)

Развивается метод возмущений для моделирования нелинейных волн деформаций в упругой цилиндрической оболочке, заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, окруженной упругой средой и при конструкционном демпфировании в продольном направлении. Наличие окружающей среды приводит к интегродифференциальному уравнению, обобщающему уравнение Кортевега–де Вриза, имеющему то же решение в виде уединенной волны – солитона. Оно не содержит произвольного постоянного волнового числа, в отличие от решения уравнения Кортевега–де Вриза. Поведение вязкой несжимаемой жидкости внутри оболочки описывается уравнениями динамики и неразрывности. Они решаются вместе с граничными условиями прилипания жидкости к стенке оболочки. Решение представляется прямым разложением искомых функций по малому параметру задачи гидроупругости и сводится к задаче для уравнения гидродинамической теории смазки. Решение этих уравнений и определяет напряжения со стороны жидкости, действующие на оболочку в продольном направление и по нормалям. Наличие жидкости в оболочке добавляет в уравнения продольных волн деформаций член уравнения, который не позволяет найти точное решение. Конструкционное демпфирование в продольном направлении добавляет такой же точно член уравнения, что и наличие жидкости. Они имеют разные знаки, когда коэффициент Пуассона меньше 1/2. В противном случае знаки совпадают. Наличие жидкости и конструкционного демпфирования требует численного исследования. Численное исследование проводится с использованием современного подхода, основанного на универсальном алгоритме коммутативной алгебры для интегроинтерполяционного метода. В результате построения разностного базиса Грёбнера сгенерированы разностные схемы типа Кранка–Николсон, полученные с использованием базовых интегральных разностных соотношений, аппроксимирующих исходную систему уравнений.

Букатов А.А. «Нелинейные колебания плавающей продольно сжатой упругой пластинки при взаимодействии волновых гармоник конечной амплитуды» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 2, с. 48-58 (2019)

Методом многих масштабов получены уравнения для трех нелинейных приближений изгибно-гравитационных колебаний продольно сжатой упругой пластинки, учитывающие нелинейность ускорения ее вертикальных смещений. Неограниченная в горизонтальных направлениях ледовая пластинка плавает на поверхности однородной идеальной жидкости. На основе полученных уравнений построены асимптотические разложения до величин третьего порядка малости для возвышения поверхности пластинка–жидкость и потенциала скорости движения жидких частиц при нелинейном взаимодействии двух гармоник прогрессивных поверхностных периодических волн. Выполнен анализ зависимости амплитудно-фазовых характеристик формируемого возвышения поверхности от глубины бассейна, параметров ледовой пластинки и взаимодействующих гармоник, нелинейности ускорения вертикальных смещений льда.

Абдрахманова А.И., Султанов Л.У. «Численное исследование нелинейных деформаций с учетом контактного взаимодействия» Ученые записки Казанского государственного университета. Серия Физико-математические науки, 160, № 3, с. 423-434 (2018)

Работа посвящена построению вычислительного алгоритма исследования конечных деформаций трехмерных тел с учетом контактного взаимодействия. Алгоритм основан на так называемом подходе «мастер–слуга» («master–slave»), рассматривается проекция slave-точки на master-поверхность, которая задана параметрически. Построены все необходимые кинематические соотношения. Для поиска зоны контакта применен алгоритм проекции ближайшей точки. Рассмотрен случай контактного взаимодействия без учета трения между контактируемыми поверхностями. Для выполнения условий контакта применяется метод штрафных функций. На основе уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации дана вариационная постановка решения задачи с учетом контактного взаимодействия, построен функционал контактного взаимодействия от неизвестной скорости проникновения одного тела в другое. Определяющие соотношения записаны с помощью упругого потенциала деформации. Для решения полученной нелинейной задачи применен метод пошагового нагружения. Разрешающее уравнение построено на основе линеаризации уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации, получены линеаризированные соотношения, разработан алгоритм решения нелинейной задачи. Приведена конечноэлементная реализация предложенного алгоритма. Пространственная дискретизация построена на основе восьмиузлового конечного элемента и пятиузлового контактного элемента, реализующего решения вариационной контактной задачи. Приведены результаты решения модельных задач.

Маков Ю.Н. «Локализованные волновые структуры, определяемые точными решениями уравнения Хохлова–Заболотской» Акустический журнал, 65, № 3, с. 291-297 (2019)

Дана краткая характеристика физически содержательных точных решений нелинейных уравнений в частных производных, описывающих конкретные физические объекты, процессы и т.п. Представлены новые точные и имеющие физический смысл решения уравнения Хохлова–Заболотской (в т.ч. стационарного относительно направления распространения волновой структуры варианта уравнения), соответствующие описанию локализованных волновых структур либо только с пространственной локализацией (пучки в режиме самолокализованного распространения), либо с пространственно-временной локализацией (структуры импульсного типа, иногда именуемые волновыми (акустическими) пулями). Найденные решения и описываемые ими локализованные структуры не являются для нелинейной акустики очевидными или предсказуемыми из “физических соображений” (как, например, для самолокализованного распространения пучков в нелинейной оптике), поскольку при ее бездисперсионности отсутствуют явные условия баланса “нужных” эффектов.

Руденко О.В. «Возбуждение колебаний и волн в квадратично-нелинейных системах с селективным подавлением второй гармоники» Акустический журнал, 65, № 3, с. 298-304 (2019)

Изучены процессы возбуждения колебаний и волн в системах с квадратичной нелинейностью при наличии селективного поглощения на частоте второй гармоники. Рассмотрен ряд примеров: возбуждение волн источниками, движущимися со скоростью, близкой к скорости собственных возмущений в среде; возбуждение волн в плоском слое (одномерном резонаторе) за счет колебаний одной из стенок; вынужденные колебания двух связанных осцилляторов. Показано, что с увеличением коэффициента поглощения второй гармоники амплитуда колебаний на основной частоте возрастает. Такая же закономерность проявляется для недиспергирующих нелинейных волн, в которых происходит формирование ударных фронтов и “растекание” энергии по высшим гармоникам. Подавление второй гармоники “запирает” каскадный процесс передачи энергии вверх по спектру и “выключает” нелинейное поглощение. Ряд описанных систем уже создан и изучен в экспериментах. Селективно поглощающие среды для высокочастотных волн можно рассматривать как метаматериалы и синтезировать их на основе соответствующих технологий.

Николаев А.А. «Убывание решений обобщенного уравнения Кортевега–де Фриза при больших временах» Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 15, № 125, с. 99-111 (2019)

Автор сообщает, что доказано существование слабых решений для нелинейного обобщенного уравнения Кортевега–де Фриза и найдены условия, при которых слабые решения убывают к нулю при больших временах.

Аникин В.М. «"Бифуркационная летопись" физико-математического факультета Саратовского университета. 1917–1945» Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 26, № 6, с. 5-19 (2018)

Отражены важные вехи истории физико-математического факультета Саратовского университета 1917–1945 гг., сыгравшего роль важнейшего образовательного и научного центра Волжского региона и Востока России. Факультет был образован Постановлением Временного правительства 1 (14) июля 1917 г. и начал свою работу с сентября того же года. В довоенные годы из состава факультета были выделены биологический, химический, географический и геологический факультеты. В 1945 г. на его основе были созданы физический и механико-математический факультеты. В 1945–-1990 гг. выпускники физического факультета обеспечили превращение Саратова в «электронную столицу» СССР, составили костяк научно-исследовательских кадров открытых в 1980-х гг. в городе академических институтов и преподавательских кадров университета и других высших учебных заведений Саратова, создали новые университетские научно-образовательные направления. В статье прослеживается изменение структуры факультета в довоенный период в общем контексте развития высшего образования в стране в тот период.

Пиманов Д.О. «Исследование нелинейных колебаний в математической модели микрорезонатора» Вычислительные технологии, 23, № 2, с. 63-75 (2018)

Исследуются нелинейные колебания материальной точки, описываемые дифференциальным уравнением второго порядка, под воздействием линейной упругой силы, силы трения и силы электростатического притяжения, меняющейся с заданным периодом. Рассматриваемое уравнение представляет математическую модель микрорезонатора, в котором недеформируемая платформа с заданной массой на пружине играет роль материальной точки. В связи с этим формулируется нелинейная краевая задача с условиями периодичности, которая используется для описания нелинейных колебаний платформы. Численное исследование краевой задачи проводится методом продолжения решения по параметру на основе дифференциальных прогонок метода множественной стрельбы. В результате установлены области параметров, в которых существуют периодические решения задачи Коши для рассматриваемого дифференциального уравнения с периодом внешнего воздействия с учетом их множественности и устойчивости. Приведены примеры, в которых периодические решения переходят в хаотические колебания по сценарию Фейгенбаума через удвоение периода.

Алиев А.Б., Исаева С.Э. «Существование и поведение глобальных решений смешанной задачи с акустическими условиями сопряжения для нелинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией» Доклады академии наук, 483, № 2, с. 121-124 (2018)

Рассматривается смешанная задача с акустическими условиями сопряжения для нелинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией. Доказаны существование, единственность и экспоненциальное убывание глобальных решений для этой задачи с фокусирующими нелинейными источниками; доказаны также существование глобальных решений и разрушение решений за конечное время для случая с дефокусирующими нелинейными источниками.

Руденко О.В., Шварцбург А.Б. «О нелинейных и линейных волновых явлениях в узких трубках» Акустический журнал, 65, № 3, с. 305-310 (2019)

Рассмотрены явления, возникающие при распространении волн в узких трубках. Для нелинейных волн, описываемых обобщенным уравнением типа Вебстера, получено упрощенное нелинейное уравнение. Оно учитывает низкочастотную геометрическую дисперсию, которая приводит к несимметричному искажению профиля периодической волны, качественно похожему на искажение нелинейной волны в дифрагирующем пучке. Исследован режим туннелирования волны через сужение трубки специального вида. Обсуждены возможные приложения явления и его связь с задачами квантовой механики, обусловленная аналогией базовых уравнений типа Клейна–Гордона и Шредингера. Указано на важность изучения туннелирования нелинейных волн и широкополосных сигналов.

Москалева М.А. «Об обосновании численного метода решения некоторых нелинейных задач на собственные значения теории волноводов» Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, № 4, с. 39-49 (2018)

Рассматриваются нелинейные задачи на собственные значения типа Штурма–Лиувилля, возникающие в теории волноводов. Основная цель исследования – обосновать численный метод нахождения приближенных собственных значений. Применены классические и современные методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказана глобальная однозначная разрешимость задач Коши, отвечающих исследуемым задачам. Указанный результат позволяет обосновать метод пристрелки по спектральному параметру для вычисления собственных значений. Численный метод, обоснованный в данной работе, является эффективным способом приближенного вычисления собственных значений.