Пиманов Д.О. «Исследование нелинейных колебаний в математической модели микрорезонатора» Вычислительные технологии, 23, № 2, с. 63-75 (2018)

Исследуются нелинейные колебания материальной точки, описываемые дифференциальным уравнением второго порядка, под воздействием линейной упругой силы, силы трения и силы электростатического притяжения, меняющейся с заданным периодом. Рассматриваемое уравнение представляет математическую модель микрорезонатора, в котором недеформируемая платформа с заданной массой на пружине играет роль материальной точки. В связи с этим формулируется нелинейная краевая задача с условиями периодичности, которая используется для описания нелинейных колебаний платформы. Численное исследование краевой задачи проводится методом продолжения решения по параметру на основе дифференциальных прогонок метода множественной стрельбы. В результате установлены области параметров, в которых существуют периодические решения задачи Коши для рассматриваемого дифференциального уравнения с периодом внешнего воздействия с учетом их множественности и устойчивости. Приведены примеры, в которых периодические решения переходят в хаотические колебания по сценарию Фейгенбаума через удвоение периода.

Камышин В.Э., Мажорова О.С. «Алгоритм решения уравнений Навье–Стокса для моделирования "ползущих" течений» Дифференциальные уравнения, 53, № 7, с. 976-990 (2017)

Исследуется совместный алгоритм решения двумерных уравнений Навье–Стокса в переменных “функция тока–завихренность”. Алгоритм основан на использовании разностной схемы, в которой инерциальные члены в уравнении переноса вихря берутся с нижнего временного слоя, а диссипативные члены – с верхнего. В линейном приближении изучается устойчивость предложенного алгоритма и на тестовых расчётах демонстрируются преимущества его применения при моделировании течений с умеренными значениями числа Рейнольдса. В линейном приближении изучается устойчивость предложенного алгоритма и на тестовых расчётах демонстрируются преимущества его применения при моделировании течений с умеренными значениями числа Рейнольдса.

Рудаков И.А. «О периодических решениях одного уравнения колебаний балки» Дифференциальные уравнения, 54, № 5, с. 691-700 (2018)

Для квазилинейного уравнения колебаний двутавровой балки со свободно опёртыми концами доказана теорема о существовании счётного числа периодических решений.

Полосин А.А. «О смешанной задаче с наклонной производной для уравнения Гельмгольца в полукруге» Дифференциальные уравнения, 54, № 10, с. 1399-1410 (2018)

Для уравнения Гельмгольца в полукруге рассматривается смешанная краевая задача с наклонной производной. Доказана однозначная разрешимость этой задачи при достаточно больших значениях входящего в уравнение параметра, при этом главная часть обращающего оператора построена в явном виде.

Цветков Д.О. «Задача Коши, порожденная колебаниями стратифицированной жидкости» Актуальные направления научных исследований 21 века: теория и практика, 6, № 6, с. 398-400 (2018)

Изучаются вопросы, связанные с сильной разрешимостью задачи Коши для дифференциально-операторного уравнения второго порядка с определенными свойствами для операторных коэффициентов. К задачам такого вида приводит, в частности, проблема малых движений идеальной стратифицированной жидкости в произвольной ограниченной области, частично покрытой упругим льдом.

Safarov Ju.Sh. «Global Solvability of the One-dimensional Inverse Problem for the Integro-differential Equation of Acoustics» Журнал Сибирского Федерального университета. Математика и физика, 11, № 6, с. 753-763 (2018)

Рассматривается гиперболическое интегродифференциальное уравнение акустики. Прямую задачу представляет задача о нахождении акустического давления из начально-краевой задачи для этого уравнения сосредоточенным источником возбуждения, расположенным на границе пространственной области. Для прямой задачи изучается обратная задача, состоящая в определении одномерного ядра интегрального члена по известной в точке x=0 для t>0 решению прямой задачи. Эта задача сводится к решению системы интегральных уравнений относительно неизвестных функций. К последней в пространстве непрерывных функций с весовой нормой применяется принцип сжатых отображений. Доказана глобальная однозначная разрешимость поставленной задачи.

Алтынбеков Ш. «Многопараметрическая математическая модель процесса консолидации неоднородных грунтов» Математическое моделирование, 30, № 10, с. 44-66 (2018)

Составлены основные уравнения консолидации соленых грунтов для случаев: фазы несжимаемы, влияние начального градиента напора мало существенно; фазы сжимаемы, влияние начального градиента напора существенно. Установлена новая нелинейная зависимость между суммой главных напряжений и коэффициентом пористости, описывающая одновременно три вида неоднородности. Предложена функция, характеризующая изменение возраста скелета грунта в зависимости от пространственных координат. Описаны свойства параметров ползучести, входящих в эту зависимость. Доказано, что свойство неоднородного старого грунта можно описать функциями пространственных координат. На основе этой зависимости на базе существующих и разработанных моделей сконструирована многопараметрическая математическая модель процесса консолидации грунтов, содержащая в себе ранее существующие. Исследованы вопросы существования, единственности и корректности для краевой задачи. Обоснованы методы ее решения. Доказана возможность применения методов итерации, суммарной аппроксимации и прогонки. Исследованы погрешность аппроксимации, устойчивость и сходимость локально-одномерной схемы (ЛОС). Дана оценка решению задачи при помощи формулы прогонки.

Феодоритова О.Б., Новикова Н.Д., Жуков В.Т. «Адаптивный чебышевский итерационный метод» Математическое моделирование, 30, № 10, с. 67-85 (2018)

Построен адаптивный чебышевский итерационный метод численного решения краевых задач для трехмерных эллиптических уравнений. В адаптивном методе неизвестная нижняя граница спектра дискретного оператора уточняется в дополнительном итерационном цикле, а в качестве верхней границы спектра берется ее оценка по теореме Гершгорина. Такая процедура обеспечивает сходимость построенного адаптивного метода с вычислительными затратами, близкими к затратам стандартного чебышевского метода, использующего точные границы спектра дискретного оператора.

Сызранова Н.Г., Андрущенко В.А. «Математическое моделирование падения и дробления Сихотэ-Алинского болида» Математическое моделирование, 30, № 11, с. 5-12 (2018)

Численно исследована задача о гиперзвуковом движении, разрушении и дроблении Сихотэ-Алинского болида в атмосфере под воздействием силовых и тепловых нагрузок. Учитывались два механизма теплопередачи от газа к поверхности небесного тела – конвективный и радиационный – с изучением приоритета каждого из них на различных участках траектории падения. Процесс прогрессивной фрагментации болида рассматривался в рамках модели последовательного дробления. На завершающем этапе падения учитывался процесс разрушения мелких осколков в пыль за счет температурных напряжений. Отмечено качественно правильное отражение результатами расчетов реального процесса фрагментации болида

Матюшин П.В. «Эволюция течения, индуцированного диффузией на диске, погруженном в стратифицированную вязкую жидкость» Математическое моделирование, 30, № 11, с. 44-58 (2018)

Приведены результаты математического моделирования эволюции пространственного (3D) течения, индуцированного диффузией на диске (диаметром d и толщиной H=0.76·d), погруженном в линейно стратифицированную по плотности несжимаемую вязкую жидкость (описываемую системой уравнений Навье–Стокса в приближении Буссинеска). Диск покоится на уровне нейтральной плавучести (который совпадает с его осью симметрии z) и нарушает однородность фонового диффузионного потока в жидкости, формируя сложную систему медленных течений (гравитационных внутренних волн). Со временем у верхней и у нижней частей диска формируются по две тонкие горизонтальные конвективные ячейки, вытянувшиеся параллельно оси z и примыкающие к базовой ячейке толщиной d/2. В работе впервые подробно анализируется фундаментальный механизм формирования каждой новой полуволны около вертикальной оси x (проходящей через центр диска) через каждый промежуток времени, равный половине периода плавучести жидкости T_b. В основе этого механизма лежит гравитационная неустойчивость. Начало реализации этой неустойчивости зафиксировано при 0.473·T_b на высоте 3.9·d над центром диска. Этот же механизм реализуется и над местом начала движения тела в горизонтальном направлении. Пространственная вихревая структура течения визуализируется при помощи построения изоповерхностей мнимой части комплексно-сопряженных собственных значений тензора градиента скорости. Для математического моделирования используется хорошо зарекомендовавший себя на протяжении последних 3030 лет метод МЕРАНЖ с явной гибридной конечно-разностной схемой для аппроксимации конвективных членов уравнений (второй порядок аппроксимации, монотонность).

Петров И.Б., Фаворская А.В. «Исследование особенностей трещиноватых зон путем полноволнового численного моделирования» Математическое моделирование, 30, № 11, с. 105-126 (2018)

Изложены этапы и результаты исследования особенностей волновых процессов в нефтеносных трещиноватых зонах путем применения анализа пространственных динамических картин (wave patterns), полученных в результате суперкомпьютерного моделирования сеточно-характеристическим методом. Полноволновое моделирование нередко используется в геофизике для построения синтетических сейсмограмм и как часть решения обратных задач. В данной работе продемонстрировано, что путем анализа самих рассчитанных пространственных динамических волновых полей можно получать выводы, которые в дальнейшем могут быть использованы при проведении геофизических исследований. Предложенный метод анализа волновых картин упрощает изучение динамики различных типов волн по сравнению с методами анализа и интерпретации сейсмограмм и при этом более точен, чем лучевой метод (геометрическое приближение). Были рассмотрены три вида трещиноватых кластеров: "Сплошные", "Прерывистые" и "Шахматные". В результате исследований был получен ряд характерных закономерностей, например, зависимость угла рассеяния сейсмических волн от используемой частоты источника и геометрических особенностей расположения трещин в кластере и зависимость от частоты источника траектории и скорости движения точки отрыва продольной головной волны от поперечной волны. Эти зависимости впоследствии могут быть использованы для разработки более эффективных способов сейсмической разведки углеводородов и изучения трещиноватых зон, например, для подбора оптимального оборудования и метода сейсмической съемки. Кроме того, в работе показана важность изучения пространственных динамических волновых картин при разработке и тестировании численных методов, контактных и граничных условий, в том числе, неотражающих. Также в работе предложен подход построения нелинейной шкалы, позволяющей одновременно анализировать пространственные динамические волновые процессы, в которых амплитуды волн отличаются более чем в 20 раз.

Ложников М.А. «Об одной разностной схеме на треугольных сетках для уравнений газовой динамики» Математическое моделирование, 31, № 1, с. 3-26 (2019)

Для уравнений динамики идеального баротропного газа предложена разностная схема на треугольных сетках, обеспечивающая выполнение сеточного аналога закона сохранения массы и гарантирующая положительность сеточной функции плотности. Для решения разностной задачи доказано выполнение энергетического неравенства. Доказано существование разностного решения.

Кильдибаева С.Р., Гималтдинов И.К. «Математическая модель затопленной струи с учетом влияния 3d течения окружающей воды» Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математическое моделирование и программирование, 12, № 1, с. 137-143 (2019)

Рассматривается течение затопленной струи, состоящей из капель нефти, пузырьков газа, пузырьков гидарата и вовлеченной в струю воды. Для моделирования струи используется интегральный лагранжевый метод контрольного объема, согласно которому струя рассматривается в виде последовательности элементарных контрольных объемов, содержащих сведения о массе, плотности, скорости и температуре компонентов струи. Зная эти параметры для контрольного объема, можно получить сведения о струе. Вследствие того, что рассматривается разлив на глубине 1500 м, что соответствует глубоководной добыче, существует риск распространения углеводородов в толще воды и загрязнения водоема как это было при аварии в Мексиканском заливе в 2010 г. Для быстрого и качественного предотвращения таких разливов необходимо разрабатывать способы прогнозирования течения углеводородов. В условиях стабильного существования гидрата на поверхности пузырьков образуется гидратная оболочка, которая превращает газовый пузырек в гидратный. Для моделирования гидратообразования принята схема, когда процесс лимитируется диффузией газа. На струю действует течение окружающей воды, под действием которого струя искривляется. В работе впервые рассмотрен случай, когда на струю действует трехмерное течение окружающей воды. Получены траектория струи, зависимость температуры, скорости и плотности струи от вертикальной координаты. Развит интегральный лагранжевый метод контрольного объема, а также определено влияние трехмерного течения затопленной струи на ее параметры.

Лялинов М.А. «Функция Грина для уравнения Гельмгольца в многоугольной области специального вида с идеальными краевыми условиями» Записки научных семинаров ПОМИ. Математические вопросы теории распространения волн, 471, с. 150-167 (2018)

Предложен формальный подход для построения функции Грина в многоугольной области с условиями Дирихле на границе. Используется комплексная форма преобразования Конторовича–Лебедева и редукция к системе интегральных уравнений. Обсуждается также асимптотика дальнего рассеянного поля.

Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Остапенко В.В., Тишкин В.Ф. «О точности разрывного метода Галеркина при расчете ударных волн» Журнал вычислительной математики и математической физики, 58, № 89, с. 148-156 (2018)

Изучена точность разрывного метода Галеркина третьего порядка аппроксимации на гладких решениях при расчете разрывных решений квазилинейной гиперболической системы законов сохранения с ударными волнами, распространяющимися с переменной скоростью. В качестве примера рассмотрена аппроксимация системы законов сохранения теории мелкой воды. Показано, что подобно TVD- и WENO-схемам повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях, разрывный метод Галеркина, несмотря на высокою точность на гладких решениях и при локализации ударных волн, снижает свой порядок сходимости до первого порядка в областях влияния ударных волн.

Петров А.Г. «Точное решение уравнений осесимметричного движения вязкой жидкости между параллельными плоскостями при их сближении и раздвижении» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 1, с. 58-67 (2019)

Исследуются точные решения уравнений Навье–Стокса в слое между параллельными пластинами, расстояние между которыми меняется по произвольному степенному закону. На границе пластин ставится условие прилипания. Точные решения уравнений Навье–Стокса строятся как ряды по степеням числа Рейнольдса. Подробно изучены случаи замедленного движения по закону квадратного корня из времени, равномерного движения и равномерно ускоренного движения плоскостей. Для первого случая ряды сходятся, в других случаях решение определяется с помощью асимптотических рядов. Определено критическое число Рейнольдса, соответствующее появлению противотока.

Секундов А.Н., Якубовский К.Я. «Анализ гипотез Колмогорова в сжимаемом турбулентном потоке» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 2, с. 38-47 (2019)

Численными методами исследуются структурные функции в однородной изотропной турбулентности. Рассматривается как одномерная, так и трехмерная турбулентность. Анализируются методы построения сжимаемой турбулентности.

Лунев В.В. «О модификации осредненных уравнений Навье–Стокса» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 2, с. 134-144 (2019)

Путем осреднения “по Рейнольдсу” уравнений Навье–Стокса, в рамках общепринятой модели осредненных (по спектру) пульсаций, в явной форме получена новая форма уравнений Навье–Стокса, содержащих новые члены, обусловленные пульсациями плотности, и придана физическая обоснованность некоторым ранее “интуитивным” членам этих уравнений. Для вывода уравнений k–ω-модели применен “метод моментов”, и из общего уравнения импульсов выведено новое уравнение для пульсаций вихря ω, которое ранее выписывалось на “интуитивно-аналоговом” уровне.

Долбин И.В., Козлов Г.В. «Структурный вариант уравнения Освальда–Вейля: фрактальная трактовка» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 2, с. 145-149 (2019)

Предложена структурная трактовка уравнения Освальда–Вейля с привлечением представлений фрактального анализа для описания реологических свойств систем каучук/дисперсный наполнитель. Показано, что величина вязкости и тип течения системы определяются структурой частиц (агрегатов частиц) наполнителя, характеризуемой их фрактальной размерностью. В свою очередь, указанную размерность определяет механизм формирования агрегатов. Предложенная модель позволяет прогнозировать вязкость систем каучук/дисперсный наполнитель при разных содержаниях наполнителя и скоростях сдвига.

Шульгина Ю.В., Костина М.А., Солдатов А.И., Солдатов А.А., Сорокин П.В. «Исследование погрешностей измерений при двухчастотном методе зондирования на основе математического моделирования» Дефектоскопия, № 1, с. 17-22 (2019)

Приведены математическое моделирование определения временной координаты момента прихода эхоимпульса для двухчастотного метода зондирования, а также графики зависимости погрешности измерения от изменения порога срабатывания компаратора для разных соотношений частот, расстояния и соотношения частот излучаемых импульсов. Математическое моделирование выявило предельные случаи, при которых погрешность измерений возрастает и может достигать 3–4%. Анализ полученных результатов позволил выявить дополнительные требования к математической обработке принятых сигналов, что позволит сохранить погрешность в 1-процентном диапазоне.

Алиев А.Б., Исаева С.Э. «Существование и поведение глобальных решений смешанной задачи с акустическими условиями сопряжения для нелинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией» Доклады академии наук, 483, № 2, с. 121-124 (2018)

Рассматривается смешанная задача с акустическими условиями сопряжения для нелинейных гиперболических уравнений с нелинейной диссипацией. Доказаны существование, единственность и экспоненциальное убывание глобальных решений для этой задачи с фокусирующими нелинейными источниками; доказаны также существование глобальных решений и разрушение решений за конечное время для случая с дефокусирующими нелинейными источниками.

Балакин А.А., Фрайман Г.М. Основы теории колебаний и волн. Динамика сосредоточенных и распределенных систем (2016). 232 с.

Представлен курс лекций по теории колебаний и волн, читаемый авторами более тридцати лет студентам факультета "Высшая школа общей и прикладной физики" Нижегородского государственного университета, базового факультета Института прикладной физики РАН. Основной отличительной особенностью курса является акцент на нелинейных колебаниях и волнах. В поддержку лекционного курса приведено большое количество задач с решениями для развития навыков работы с нелинейными системами.