Кузнецов Е.А. «Неустойчивость солитонов и коллапс звуковых волн в средах с положительной дисперсией» Журнал экспериментальной и теоретической физики, 162, № 1, с. 143-160 (2022)

Представлен краткий обзор результатов исследования коллапса звуковых волн в средах с положительной дисперсией, который описывается в рамках трехмерного уравнения Кадомцева–Петвиашвили (КП). Рассмотрена неустойчивость КП одномерных солитонов в длинноволновом пределе с помощью разложения для соответствующей спектральной задачи. Продемонстрировано, что неустойчивость КП имеет место также для двумерных солитонов в рамках трехмерного уравнения КП с положительной дисперсией. Согласно Кадомцев Б.Б. (Коллективные явления в плазме. М.: Физматгиз. 1976) эта неустойчивость относится к самофокусировочному типу. Нелинейная стадия этой неустойчивости представляет собой коллапс. Одним из критериев коллапса является неограниченность гамильтониана снизу при фиксированной проекции импульса, совпадающей с L₂-нормой. Этот факт следует из масштабных преобразований, сохраняющих эту норму постоянной. Коллапс по этой причине можно представлять как процесс падения частицы в самосогласованном неограниченном потенциале. Показано, что излучение волн из области с отрицательным гамильтонианом, благодаря его неограниченности снизу, способствует коллапсу волн. Этот сценарий был подтвержден численными экспериментами. Представлены два аналитических подхода исследования коллапса: с помощью вариационного метода и квазиклассического приближения. В отличие от нелинейного уравнения Шредингера с фокусирующей нелинейностью особенность квазиклассического подхода для описания звукового коллапса состоит в том, что этот метод предложен для трехмерного уравнения КП как системы с гидродинамической нелинейностью. В рамках квазиклассического описания найдено семейство автомодельных коллапсов. Верхняя граница этого семейства соответствует сильному коллапсу, при котором энергия, захваченная в особенность, конечна. Существование такого режима подтверждается также с помощью вариационного подхода. Другая граница коллапсирующей иерархии совпадает с автомодельным решением трехмерного уравнения КП, описывающим наиболее быстрый слабый коллапс.

Zemlyanukhin A.I., Bochkarev A.V., Ratushny A.V., Chernenko A.V. «Generalized model of nonlinear elastic foundation and longitudinal waves in cylindrical shells» Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 22, № 2, с. 196-204 (2022)

Выведено неинтегрируемое квазигиперболическое уравнение шестого порядка, моделирующее осесимметричное распространение продольных волн вдоль образующей цилиндрической оболочки Кирхгофа–Лява, взаимодействующей с нелинейно-упругой средой. Введена в рассмотрение шестипараметрическая обобщенная модель нелинейно-упругой среды, сводящаяся в частных случаях к моделям Винклера, Пастернака и Хетеньи. Вывод уравнения осуществлен асимптотическим методом многих масштабов в предположении, что безразмерные параметры нелинейности, дисперсии и тонкостенности имеют одинаковый порядок малости. Использование введенной модели позволило выявить дополнительные высокочастотные и низкочастотную дисперсии, характеризующие реакцию внешней среды на изгиб и сдвиг. Показано, что для выявления нелинейных эффектов, компенсирующих дисперсию, необходимо использовать неклассические теории оболочек. Установлено, что модель Пастернака допускает «бездисперсионное» состояние, когда дисперсия, обусловленная инерцией нормального перемещения, компенсируется дисперсией, порождаемой реакцией нелинейно-упругого основания на сдвиг.