Ерофеев В.И., Ермаков Я.Д., Котов В.Л. «Продольная волна, распространяющаяся в вязкоупругом по модели Максвелла стержне. Часть 1. Анализ дисперсионных характеристик и частотно-зависимого затухания при решении краевых задач» Проблемы прочности и пластичности, 87, № 1, с. 5-13 (2025)

Исследуется динамика стержня, материал которого подчиняется закону деформирования среды Максвелла. Распространение продольной волны в таком стержне описывается одномерным волновым уравнением, дополненным слагаемым, характеризующим вязкость материала. Решение уравнения отыскивается в виде бегущей гармонической волны. От исходного дифференциального уравнения в частных производных осуществляется переход к алгебраическому комплексному дисперсионному уравнению, связывающему частоту и волновое число, позволяющему вычислить фазовую и групповую скорости волны, определить закономерности ее распространения и затухания. При анализе дисперсионного уравнения выделены две задачи: 1) частота считается действительной величиной, а волновое число – комплексной величиной (так принято при решении краевых задач); 2) волновое число считается действительной величиной, а частота – комплексной величиной (так принято при решении задачи Коши). Подробно рассмотрена первая задача. Выявлено, что продольная волна, удовлетворяющая ее условиям, обладает следующими особенностями распространения: при увеличении действительной части волнового числа ее частота возрастает (при малой вязкости возрастает медленно, при большой вязкости – быстро), фазовая скорость сначала возрастает, а затем выходит на горизонтальную асимптоту, групповая скорость возрастает, достигает максимума, затем убывает, выходя на ту же горизонтальную асимптоту, что и фазовая скорость. Во всем диапазоне изменения действительной части волнового числа наблюдается аномальная дисперсия продольной волны (то есть групповая скорость больше, чем фазовая); затухание волны (определяемое мнимой частью волнового числа) сначала увеличивается с ростом частоты, затем выходит на горизонтальную асимптоту и становится частотно-независимым.

Леонтьева А.В. «Распространение продольных волн в стержне Миндлина–Германа, погруженном в нелинейно-упругую среду» Проблемы прочности и пластичности, 87, № 1, с. 70-80 (2025)

Изучается распространение продольных волн в однородном стержне, погруженном в нелинейно-упругую среду. Динамическое поведение стержня определяется теорией Миндлина–Германа, которая пренебрегает гипотезой о пропорциональности поперечных деформаций продольным деформациям при осевом растяжении или сжатии. Для описания движения частиц в поперечном направлении вводится дополнительная функция, обеспечивающая большую точность модели. Исходная система уравнений сводится к одному нелинейному уравнению четвертого порядка относительно продольного смещения частиц стержня. Это уравнение, с одной стороны, позволяет получить эволюционное уравнение и найти его точное решение, с другой – допускает качественное исследование в двух частных случаях в переменных бегущей волны. Показано, что эволюционное уравнение представляет собой уравнение Островского с дополнительным квадратично-нелинейным слагаемым. Методом простейших уравнений для эволюционного уравнения найдены точные решения из класса стационарных волн, сохраняющих свою форму и скорость в процессе распространения. Волны имеют вид солитона классического профиля. Тип нелинейности (мягкая, жесткая) среды влияет на полярность локализованной волны. Среде с мягкой нелинейностью соответствует солитон положительной полярности. Получены зависимости амплитуды, ширины и скорости нелинейной волны от параметров системы, характеризующих нелинейно-упругую среду. Случаи, доступные для качественного исследования, возможны при равенстве нулю коэффициента при старшей производной. В одном случае исследуется уравнение ангармонического осциллятора с двумя типами квадратичной нелинейности. Получен первый интеграл уравнения и построены фазовые портреты при различных соотношениях параметров системы, влияющих на существование и вид фазовых траекторий. В другом случае исследуется классическое уравнение ангармонического осциллятора с квадратичной нелинейностью, которое достаточно хорошо изучено. Качественный анализ частных случаев показывает возможность существования в рассматриваемой системе локализованных и нелинейных периодических волн.

Пшеничнов С.Г. «Волны в неоднородном вязкоупругом полом шаре» Проблемы прочности и пластичности, 87, № 1, с. 103-112 (2025)

Решается задача о распространении нестационарных продольных волн в шаре с концентрической полостью, состоящем из однородных вязкоупругих сферических слоев с условиями непрерывности перемещений и нормальных напряжений на границах между контактирующими слоями. На поверхность шара действует равномерно распределенная нормальная нагрузка, полость остается свободной. Решение задачи построено с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени. Решение в оригиналах получено в новой форме, которая особенно удобна для численной реализации при большом количестве однородных слоев как при регулярных ядрах релаксации, так и при сингулярных ядрах Ржаницына–Колтунова. Эта новая форма, также подходящая для других задач, позволила существенно упростить динамические расчеты и с ростом числа слоев легко перейти к исследованию нестационарных процессов в шаре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с непрерывно изменяющимися в радиальном направлении физико-механическими свойствами. Применен метод аппроксимации непрерывной неоднородности материала шара слоистой средой, часто используемый в стационарных динамических задачах для упругих, термоупругих и пьезоэлектроупругих тел. Правомерность такого подхода для нестационарных задач была ранее подтверждена расчетами автора для тел с цилиндрическими и плоскими границами. Для шара также наблюдалась сходимость результатов с увеличением числа слоев при непрерывном изменении нагрузки во времени. Исследованы переходные процессы при экспоненциальном типе неоднородности материала шара, в том числе неоднородности сингулярного ядра релаксации.