Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек (1972). 408 с.

Веклич Н.А. «Распространение упругих волн в прямоугольном клине при ударе гранью о плоскую неподвижную преграду» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 70-86 (2005)

Приведено точное аналитическое решение плоской задачи об ударе упругого прямоугольного клина (четверти плоскости) о неподвижную идеально гладкую преграду. Она является составной частью более сложной плоской задачи о соударении двух упругих стержней, когда не учитываются отражения волн от свободных боковых поверхностей стержней. Кроме того, ее можно рассматривать как частный случай более сложной задачи о волновом движении упругой полуплоскости со свободной поверхностью, при подходящих начальных условиях. Общее решение волновой задачи для полуплоскости при произвольных начальных условиях было ранее. Задача о соударении двух упругих стержней впервые рассматривалась методом функционально-инвариантных решений, но в ряде существенных деталей это решение оказалось несовершенным. Некоторые критические замечания по этому поводу были высказаны ранее. Анализ решения показывает, что противоречивость данной там волновой картины, некоторых графиков и выводов вызвана невыполнением граничных условий для касательных напряжений на свободной боковой поверхности стержня. В предлагаемой работе система уравнений движения, записанная в перемещениях, решалась для клина с помощью интегральных преобразований, применявшихся, в частности, при исследовании удара акустической полосы о преграду. Полученное решение дает возможность полного количественного описания всех характеристик распространения упругих волн в клине при ударе о преграду в принятой линейной постановке задачи. На его основе можно проводить динамические расчеты, связанные с учетом распространения упругих волн в твердых телах. Оно может быть применено в качестве тестового примера, необходимого при разработке правильных и достоверных численных методов решения двумерных динамических задач теории упругости. Оно позволяет получить обоснованную теоретическую оценку условий, при которых применима приближенная одномерная теория Сен-Венана соударения упругих стержней.

Светлицкий В.А. «Нестационарные колебания стержней при импульсном нагружении» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 69-76 (2006)

Рассмотрены нестационарные колебания стержневых элементов (в общем случае пространственно-криволинейных) приборов и машин, возникающих при импульсном нагружении. Изложен алгоритм определения скоростей (линейных и угловых), вызванных импульсными нагрузками и алгоритм приближенного численного решения системы линейных уравнений колебаний стержня, возникающих после окончания действия импульсной нагрузки.

Бейлин А.Б., Пулькина Л.С. «Задача о колебаниях стержня с нелинейным затуханием второго порядка» Вестник Самарского государственного университета, № 3, с. 9-20 (2015)

Рассматривается начально-краевая задача с динамическим нелинейным граничным условием для псевдогиперболического уравнения. Она представляет собой математическую модель одномерных продольных колебаний короткого толстого стержня, называемую стержнем Рэлея, с нелинейным затуханием второго порядка. Доказаны существование и единственность обобщенного решения. Доказательство базируется на полученных в работе априорных оценках и методе Галеркина. Предложенный способ доказательства существования решения позволяет построить приближенные решения задачи в форме, удобной для практического применения.

Садовский В.М. «К исследованию структуры поперечных ударных волн конечной амплитуды в пластической среде» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 40-49 (2003)

Муницын А.И. «Нелинейные колебания нити с натяжным устройством» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 24-30 (2001)

Садовский В.М. «К теории ударных волн в сжимаемых пластических средах» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 87-95 (2001)

Кукуджанов В.Н. «Распространение волн в упруговязкопластических материалах с диаграммой общего вида» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 96-11 (2001)

Израилович М.Я. «Виброгашение вынужденных квазигармонических колебаний в нелинейных системах» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 3-11 (2003)

Юсифов В.Г. «К распространению волн сильного разрыва в нелинейно-упругих стержнях» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 167-170 (2004)

Рассматривается задача распространения волны сильного разрыва в нелинейно-упругих стержнях. Полученное еще Риманом решение задачи о распространении волны сильного разрыва в газах привело к нарушению закона сохранения механической энергии. Впоследствии Гюгонио устранил этот недостаток, привлекая термодинамические соображения. В общей постановке решение этой задачи для нелинейно-упругого стержня рассматривал Х.А. Рахматулин и показал, что закон сохранения механической энергии при переходе через поверхность сильного разрыва невыполним. В настоящей работе показано, что одного представления о волне сильного разрыва как о геометрическом месте точек пересечений характеристик положительного наклона недостаточно, так как оно не приводит к решению задачи и потому нуждается, как и в случае газовой динамики, дополнительных соображениях.

Эшматов Б.Х. «Нелинейные колебания и динамическая устойчивость вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки с учетом деформации сдвига и инерции вращения» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 102-117 (2009)

Рассмотрены нелинейные задачи о колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругой круговой цилиндрической оболочки по уточненной теории Тимошенко, учитывающей деформацию сдвига и инерцию вращения, в геометрически нелинейной постановке. Данные задачи сводятся к системам нелинейных интегродифференциальных уравнений с сингулярными ядрами релаксации, которые решаются методом Бубнова–Галеркина в сочетании с численным методом, основанным на использовании квадратурных формул. Исследована численная сходимость метода Бубнова–Галеркина. В широких диапазонах изменения физико-механических и геометрических параметров изучено динамическое поведение оболочки. Показано влияние вязкоупругих свойств материала на процесс нелинейного колебания и динамической устойчивости круговой цилиндрической оболочки. Приведены сравнения результатов, полученных по различным теориям.

Тимергалиев С.Н. «Разрешимость краевых задач геометрически и физически нелинейной теории пологих оболочек типа Тимошенко» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 3, с. 118-129 (2009)

Работа посвящена доказательству существования решений геометрически и физически нелинейной краевой задачи для пологих оболочек типа Тимошенко, учитывающих деформации поперечных сдвигов. Край оболочки предполагается частично защемленным. Для исследования задачи предлагается вариационный метод, основанный на отыскании точек минимума функционала полной энергии системы оболочка-нагрузка в некотором пространстве обобщенных перемещений. Показывается, что существует обобщенное решение задачи, доставляющее функционалу полной энергии минимум на слабо замкнутом множестве пространства обобщенных перемещений.

Кубенко В.Д. «Волновые процессы в упругой полуплоскости при ударе затупленным твердым телом» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 118-129 (2011)

Рассматривается задача нестационарного деформирования упругой полуплоскости, в поверхность которой в некоторый начальный момент времени вдавливается тупое твердое тело, обусловливающее возникновение расходящихся нестационарных упругих волн и деформирование среды. Формулируется соответствующая начально-краевая задача, решение которой строится для раннего этапа взаимодействия. Применяются интегральные преобразования Лапласа по временной переменной и Фурье по одной из пространственных переменных. Получено решение задачи в изображениях и построено формальное решение в оригиналах. Для тела с фиксированной областью контакта в аналитическом виде получено выражение для нормального напряжения в произвольной точке полуплоскости как функции времени. Для тела в виде тупого клина аналитическое выражение для нормального напряжения и перемещения получены для произвольной точки на оси симметрии задачи. На основе выполненных вычислений проанализированы особенности распространения волн в среде в зависимости от времени, расстояния от поверхности, механических свойств материала.

Бабицкий В.И., Крупенин В.Л. Колебания в сильно нелинейных системах (1985). 384 с.

Медин С.А., Паршиков А.Н. «Моделирование распространения волн разрушения при ударном сжатии хрупких материалов (стекол)» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 2, с. 102-113 (2012)

Получено аналитическое решение для плоской волны хрупкого разрушения материала, нагруженного упругой волной сжатия, в котором применена модель с условием типа Друкера–Прагера и заданной величиной скорости распространения волны разрушения. Осуществлено обобщение волновой модели разрушения, дополненной пороговыми критериями, на двумерные течения в разрушающихся пластинах. Проведено моделирование соударения стеклянных пластин с жесткой стенкой. Получены трехволновые и двухволновые структуры разрушения в пластине. Получены данные по затуханию головной упругой волны и остановке волны разрушения под воздействием догоняющей разгрузки, распространяющейся из области растекания разрушенного материала у стенки.

Лукьянов А.А. «О структуре ударных волн в анизотропных углеродно-волокнистых композитах» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 126-137 (2013)

Предлагается аналитическая связь состояний Гюгонио с другими термодинамическими состояниями при высоких давлениях для углеродно-волокнистых композитов. С использованием соотношений для нелинейной анизотропной среды и обобщенной декомпозиции тензора напряжений исследована двойная структура ударной волны в углеродно-волокнистых композитах в различных направлениях, состоящая из нелинейной анизотропной и изотропной упругих частей. Проведенные численные расчеты уровней напряжений Гюгонио хорошо согласуются с экспериментальными данными для выбранного углеродно-волокнистого эпоксидного композита.

Беляев А.К., Лобачев А.М., Модестов В.С., Пивков А.В., Полянский В.А., Семенов А.С., Третьяков Д.А., Штукин Л.В. «Оценка величины пластических деформаций с использованием акустической анизотропии» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 5, с. 124-131 (2016)

Путем экспериментальной проверки показано, что образцы свидетели и разгрузка конструкции не позволяют адекватно оценить пластическую деформацию с помощью измерений величины акустической анизотропии. Получены аналитические оценки скоростей распространения плоских акустических волн различной поляризации в упругопластическом материале в направлении, ортогональном действию предварительного одноосного растяжения. Анализ полученных соотношений указал на преимущество использования абсолютных значений скорости продольной и поперечной волн для идентификации пластических деформаций. В отличие от акустической анизотропии, скорости меняются монотонно в более широком диапазоне пластических деформаций. Вместе с тем упругие деформации на скорость продольной волны не влияют, что позволяет провести оценку характера деформаций на основании измерений.

Гамзаев Х.М. «Численное решение комбинированной обратной задачи для обобщенного уравнения Бюргерса» Сибирский журнал чистой и прикладной математики, 15, № 4, с. 35-42 (2015)

Рассматривается обратная задача по восстановлению источника и граничного режима для обобщенного уравнения Бюргерса с нелокальным дополнительным условием. Данная задача относится к классу комбинированных обратных задач. Путем интегрирования поставленная задача преобразуется к обратной краевой задаче с локальными условиями. Построен разностный аналог дифференциальной задачи в виде неявной разностной схемы и предложен безытерационный вычислительный алгоритм решения полученной системы разностных уравнений. На основе предложенного метода были проведены численные эксперименты.

Блинкова А.Ю., Иванов С.В., Кузнецова Е.Л., Могилевич Л.И. «Нелинейные волны в вязкоупругой цилиндрической оболочке, содержащей вязкую несжимаемую жидкость и окруженной упругой средой» Труды Московского авиационного института, № 78, с. 8 (2014)

Получено уравнение, обобщающее известное уравнение Гарднера, описывающее волны деформации с помощью асимптотических методов решения связанной задачи гидроупругости, включающей уравнения динамики геометрически нелинейной вязкоупругой оболочки, окруженной упругой средой с учетом уравнений динамики вязкой несжимаемой жидкости, находящейся внутри оболочки, с соответствующими граничными условиями. Вследствие того, что радиус срединной поверхности оболочки значительно меньше длины волны деформации, в уравнениях динамики вязкой несжимаемой жидкости сделан асимптотический переход к классическому уравнению гидродинамической теории смазки. В данной работе при численном решения задачи Коши для полученного нового уравнения, с учетом влияния жидкости и окружающей оболочку упругой среды, применяется подход к построению разностной схемы, основанный на построении переопределенной системы разностных уравнений, получаемой из аппроксимации интегральных законов сохранения и интегральных соотношений, связывающих искомые функции и их производные. В результате разностная схема определяется как условие совместности для данной системы и получаемая разностная схема, автоматически обеспечивает выполнение интегральных законов сохранения по областям, составленным из базовых конечных объемов. Наличие жидкости в оболочке, окруженной упругой средой, приводит к росту амплитуды волны деформации или ее падению в зависимости от величины коэффициента Пуассона для вязкоупругой среды. Упругая среда, окружающая оболочку, приводит к увеличению скорости нелинейной волны деформации. Использование данных моделей в свою очередь позволит существенно расширить возможности анализа экспериментальных данных по исследованию систем подачи топлива, систем охлаждения для авиакосмической техники, и т.д. динамика которых носит принципиально нелинейный характер.

Асташев В.К., Крупенин В.Л. «Волны в распределенных и дискретных виброударных системах и сильно нелинейных средах» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 5, с. 13-30 (1998)

Лунев А.Г., Надежкин М.В., Зуев Л.Б. «Влияние локализации пластической деформации на характеристики волн Рэлея в металлах с прерывистой текучестью» Известия вузов. Физика, 59, № 7-2, с. 149-153 (2016)

Представлены исследования изменения скорости распространения и затухания рэлеевских волн в зависимости от локализации пластической деформации в материалах с эффектом Портевена–Ле Шателье. Измерения характеристик ультразвуковых волн производились непосредственно в процессе деформирования материала с постоянной скоростью нагружения при комнатной температуре. Методом цифровой спекл-фотографии велась регистрация кинетики зон локализованной деформации в процессе нагружения. Установлена закономерность изменения скорости ультразвука при прохождении зоны локализации через область измерения ультразвука.

Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. «Крутильные и изгибные волны конечной амплитуды в упругих стержнях» Вестник научно-технического развития, № 7, с. 29-34 (2016)

Предложены математические модели, описывающие крутильные колебания стержней при конечных углах закрутки, а также изгибные колебания балки с конечными прогибами и конечными углами поворота поперечного сечения. При линеаризации полученные уравнения совпадают, соответственно, с уравнением крутильных колебаний в технической теории Кулона и с уравнениями изгибных колебаний балки Тимошенко. Объединяет эти модели то, что для описания волновых процессов они могут быть сведены к уравнению «Двойной синус-Гордона», имеющему постоянные решения нулевой энергии, известные в физике как вакуумные состояния. Показано, что переход от одного состояния системы к другому может быть описан с помощью уединенной стационарной волны (солитона). Найдены аналитические решения исходных уравнений.

Худаяров Б.А., Тураев Ф.Ж. «Численное моделирование нелинейных колебаний вязкоупругого трубопровода с жидкостью» Вестник Томского государственного университета. Математика и механика, № 5, с. 90-98 (2016)

Приведена математическая модель задачи о нелинейных колебаниях вязко-упругого трубопровода с протекающей через неё жидкостью. С помощью метода Бубнова–Галеркина математическая модель задачи сводится к решению системы обыкновенных интегродифференциальных уравнений, решаемая численным методом исключения слабосингулярных особенностей в интегральных и интегродифференциальных уравнениях. Установлено, что для выявления влияния вязкоупругих свойств материала конструкций на колебания трубопровода, необходимо использовать слабосингулярные ядра наследственности типа Абеля. DOI: 10.17223/19988621/43/10

Коробов А.И., Воронов Б.Б. «Коэффициенты упругости третьего порядка кристалла титаната стронция» Физика твердого тела, 38, № 7, с. 2159-2163 (1996)

Из измерений зависимости скорости акустических объемных волн от внешнего одностороннего сжатия определены все нелинейные коэффициенты упругости третьего порядка в кристалле титаната стронция. Результаты экспериментальных измерений обрабатывались методом наименьших квадратов.

Петушков В.А. «О волновой динамике повреждаемых оболочек, взаимодействующих с объемом кавитирующей жидкости» Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки, 20, № 2, с. 366-386 (2016)

Изучены особенности распространения ударных волн в системе, состоящей из деформируемой среды (оболочек) с повреждениями и двухфазной жидкости с пузырьками газа или пара. При этом моделируются нелинейные процессы взаимодействия сред с учетом фазовых превращений в жидкости и кинетики повреждаемости деформируемой среды. Разрушение деформируемой среды рассматривается как эволюция микроповреждений – пор сферической формы, принимаемых по аналогии с кавитирующей жидкостью в виде пузырьков газа, объединение которых в процессе вязкопластического течения ведет к образованию макротрещины. Сформулирована нелинейная краевая задача динамики многофазной среды, включающей в себя уравнения взаимодействия фаз и фазовых превращений. Решение задачи строится на основе методов расщепления (разложения решения по процессам), конечных разностей и конечных элементов. Представлены результаты, представляющие интерес для практических приложений.

Терегулов И.Г., Тимергалиев С.Н. «Исследование разрешимости краевых задач геометрически и физически нелинейной теории тонких оболочек» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 6, с. 116-128 (2000)