Литвинов В.Л. «Решение задач о колебаниях вязкоупругих объектов переменной длины методом Канторовича–Галеркина» Научная мысль, № 2, с. 37-43 (2016)

Приближенный метод Канторовича–Галеркина рассматривается применительно к решению задач, описывающих колебания вязкоупругих объектов с условиями на движущихся границах. Метод позволяет учесть действие на систему сил сопротивления среды, изгибную жесткость, а также граничные условия со слабой нестационарностью. Используя метод Канторовича–Галеркина, находят приближенное решение задачи о вынужденных продольных колебаниях вязкоупругого каната переменной длины, исследуют явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс с применением численных методов. Приводится графическая зависимость максимальной амплитуды колебаний каната при прохождении через резонанс в зависимости от параметра, характеризующего вязкоупругость на основе модели Фойгта.

Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. «Резонансная амплитуда колебаний балки переменной длины» Третья международная конференция «Математическая физика и ее приложения»: Материалы конференции под редакцией чл.-корр. РАН И.В. Воловича и д.ф.-м.н., проф. В.П. Радченко, с. 37-38 (2012)

Лекомцев С.В. «Конечно-элементные алгоритмы расчёта собственных колебаний трёхмерных оболочек» Вычислительная механика сплошных сред, 5, № 2, с. 233-243 (2012)

В рамках двух конечно-элементных реализаций исследованы собственные колебания тонкостенных конструкций. В первой из них оболочка представлена как совокупность плоских элементов, находящихся одновременно под действием мембранных и изгибающих сил. Вторая основана на уравнениях теории упругости. Дискретизация области проводится с помощью 8-узлового конечного элемента с несовместными формами перемещений. В качестве примеров рассмотрены цилиндрические, эллиптические и открытые оболочки. Проанализировано влияние граничных условий и различных геометрических параметров на собственные частоты колебаний. Выявлены достоинства и недостатки каждого из подходов.

Щеглов Г.А. «Использование вортонов для расчета колебаний балки в пространственном потоке» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 4, с. 8-12 (2009)

Описывается модификация бессеточного вихревого метода для решения связанных пространственных задач гидроупругости. Используются симметричные вортоны-отрезки и вортонные рамки на поверхности тела. Полученный алгоритм применяется для анализа колебаний балки в дозвуковом потоке. Приводятся результаты расчета модельной задачи.

Шклярчук Ф.Н. «Расчет колебаний оболочек вращения с жидкостью методом конечных элементов» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 1, с. 17-29 (2015)

Представлен новый вариант метода конечных элементов для расчета осесимметричных и неосесимметричных колебаний оболочек вращения, частично заполненных идеальной несжимаемой жидкостью. В качестве конечных элементов рассматриваются узкие кольцевые полоски оболочки вместе с содержащимися в них тонкими слоями жидкости. Перемещения слоя жидкости с использованием точного аналитического решения уравнения неразрывности с граничным условием безотрывности на поверхности оболочки аппроксимируются одной неизвестной функцией, представляющей осевое перемещение по заданной форме. Получены матрицы жесткости и инерции оболочки и матрицы присоединенных масс жидкости.

Анисимов В.Н., Литвинов В.Л., Корпен И.В. «Вынужденные колебания вязкоупругой балки переменной длины» Математическое моделирование и краевые задачи: Труды 9 Всероссийской научной конференции с международным участием, Самара, 21–23 мая, 2013. Ч. 1. Секц. Математические модели механики, прочности и надежности элементов конструкций, с. 17-19 (2013)

Сафина Г.Ф., Овчинникова А.Р. «Исследования собственных колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки» Труды конференции-конкурса молодых физиков, с. 127-129 (2016)

Проведены исследования свободных колебаний тонкостенной круговой цилиндрической оболочки. С помощью принятых допущений для оболочки получено частотное уравнение спектральной задачи. По решению прямой задачи исследовано влияние на собственные частоты колебаний таких параметров, как радиус, длина и толщина оболочки. Зависимости рассмотрены при различных физических параметрах оболочки, приведены графики и таблицы зависимостей. Проведенные исследования учитываются при постановке и решении обратной спектральной задачи – задачи диагностирования характеристик оболочки по известным частотам ее колебаний. Важным аспектом исследования является также решение задачи сохранения безопасных частот колебаний оболочки посредством изменения ее параметров. Приведены программные реализации алгоритмов решений прямой и обратной задач.

Ильгамов М.А. «Продольные колебания стержня с зарождающимися поперечными трещинами» Известия Российской академии наук. Механика твердого тела, № 1, с. 23-31 (2017)

Приводится простейшая модель продольных колебаний стержня с зарождающимися поперечными трещинами. Существенным допущением является малость размера трещины по сравнению с площадью поперечного сечения стержня и малое отличие форм колебаний стержня с зарождающимися трещинами и неповрежденного стержня. Учитывается различное проявление трещин в фазах деформаций растяжения и сжатия. Определяются собственные частоты колебаний, а также координаты и размеры трещин по экспериментальным значениям собственных частот.

Барышникова О.О., Борискина З.М., Раевский В.А., Шубин А.А. «Использование трехмерного конечноэлементного моделирования колебаний оболочечных конструкций» Электронный журнал: наука, техника и образование, № 2, с. 53-59 (2015)

Проведено исследование трехмерного конечного элемента с учетом колебаний для оболочечных конструкций. При выводе уравнений для получения напряжений используется метод Галеркина, уравнение Коши и изопараметрические и суперпараметрические элементы.

Лежнева А.А. «Изгибные колебания балки переменной длины» Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела, № 1, с. 159-161 (1970)

Ветошкин С.В., Баяндин Ю.В., Наймарк О.Б. «Моделирование динамического нагружения тонкостенной цилиндрической оболочки под действием гидростатического давления» Аэрокосмическая техника, высокие технологии и инновации – 2015: материалы XVI Всерос. науч.-техн. конф., Пермь, 17–18 нояб. 2015 г., № 1, с. 320-323 (2015)

Для создания композитных изделий часто требуется применение комбинаций из нескольких материалов, использование большого количества слоев, уложенных в различных направлениях, правильного подбора последовательности их укладки и т.д. Эти особенности делают процесс разработки конструкций из композиционных материалов значительно более трудоемким в сравнении с изделиями из традиционных материалов. Рассматривается задача подбора оптимального угла армирования оболочки вращения, полученной методом намотки. В качестве армирующих волокон были выбраны базальтовые и стекловолоконные ровинги.

Матвеев К.А., Орлов А.С., Орлов С.А. «Анализ акустического нагружения сотовой панели» Научный вестник Новосибирского государственного технического университета (НГТУ), № 3, с. 131-138 (2013)

Рассматривается анализ нагружения сотовой панели в акустической реверберационной камере с диффузным полем. При анализе используются конечно-элементные модели среды и сотовой панели, решается сопряженная задача. Модель среды строится с использованием трехмерных акустических элементов и различного вида демпфирования, а для сотовой панели применяются плоские элементы с приведенными характеристикам. Проводится сравнение расчетных и экспериментальных данных.

Ерофеев В.И. «Братья Коссера и механика обобщенных континуумов» Вычислительная механика сплошных сред, 2, № 4, с. 5-10 (2009)

Рассказывается о жизни и деятельности Эжена и Франсуа Коссера – основоположников механики обобщенных континуумов. Обсуждается современное состояние механики обобщенных континуумов и перспектив ее развития.

Альтенбах Х., Еремеев В.А. «Об уравнениях оболочек типа Коссера» Вычислительная механика сплошных сред, 2, № 4, с. 11-18 (2009)

Представлен обзор семейства нелинейных моделей оболочек типа Коссера, основанных на прямом подходе в теории оболочек. Начиная с наиболее общей модели деформируемой поверхности, оснащенной p директорами, рассматриваются различные варианты этих теорий в случае упругого поведения материала. Для вывода уравнений равновесия и определяющих соотношений используются принцип виртуальной работы и принцип материальной индифферентности, примененный к поверхностной плотности энергии деформации оболочки. Обсуждаются сходство и различия некоторых часто используемых теорий оболочек – модели оболочки с одним деформируемым директором, микроморфных и микрополярных оболочек, а также моделей типа Тимошенко–Рейсснера–Миндлина.

Гарагаш И.А., Николаевски В.Н. «Механика Коссера для наук о Земле» Вычислительная механика сплошных сред, 2, № 4, с. 44-66 (2009)

Механика Коссера учитывает динамику поворотов частиц, слагающих сплошную среду, если такая кинематическая возможность имеется. Для этого – в соответствии с третьим законом Ньютона – необходимо составить континуальное уравнение для моментов количества движения единичного объема среды. Впервые подобное уравнение построено в книге Е. и Ф. Коссера при рассмотрении динамики упругих деформируемых сред. Причем был произведен правильный вычет внешних моментов, соответствующих повороту объема в целом. В природе часто наблюдаются явления, которые вполне можно объяснять ротационной динамикой индивидуальных частиц, слагающих среду – фрагментов горных массивов или же вихрей турбулентной атмосферы. В предлагаемой статье приведены примеры, которые иллюстрируют возможности механики Коссера в изучении природных процессов, стоящие вне традиционных университетских курсов, при условии дополнительного введения вязких, пластических или иных реологических свойств.

Корепанов В.В., Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. «Аналитические и численные решения в рамках континуума коссера как основа для постановки экспериментов по обнаружению моментных эффектов в материалах» Вычислительная механика сплошных сред, 2, № 4, с. 76-91 (2009)

Осуществлен целенаправленный анализ аналитических и численных решений статических задач в рамках континуума Коссера для установления эффектов проявления моментных свойств материалов. Определены макропараметры и меры их отклика на эти свойства. Найдены решения, обладающие наибольшей информативностью в отношении проявления моментных свойств. На базе этих решений разработан и осуществлен эксперимент по регистрации проявления моментных свойств материала.

Бочкарёв С.А. «Собственные колебания вращающейся круговой цилиндрической оболочки с жидкостью» Вычислительная механика сплошных сред, 3, № 2, с. 24-33 (2010)

С применением метода конечных элементов исследуются собственные колебания вращающихся круговых цилиндрических оболочек, содержащих жидкость, которая вращается с той же угловой скоростью, что и оболочка. Принимается во внимание воздействие на оболочки центробежных и Кориолисовых сил. Матрица геометрической жесткости, учитывающая влияние начального окружного усилия, вызванного центробежными силами, формируется в результате решения статической задачи. Движение жидкости описывается в рамках потенциальной теории. Представлены результаты численных экспериментов, выполненных для оболочек с различными граничными условиями и геометрическими размерами.

Ильгамов М.А., Хакимов А.Г. «Отражение продольной волны от надреза в стержне, погруженном в вязкую жидкость» Вычислительная механика сплошных сред, 3, № 3, с. 58-67 (2010)

Исследуется отражение от поперечного надреза и прохождение продольной затухающей бегущей волны в стержне, погруженном в вязкую жидкость. Использована простейшая модель напряженно-деформированного состояния в зоне надреза. Получена зависимость решения от параметров надреза и характеристик затухания в материале стержня и окружающей жидкости. Решение обратной задачи позволяет определить координату надреза и параметр, содержащий его глубину и длину, по данным падающей и отраженной волн в месте наблюдения.

Ильгамов М.А. «Коротковолновая динамика тонких пластин» Вычислительная механика сплошных сред, 5, № 2, с. 134-143 (2012)

Рассматриваются колебания и волны в пластине, контактирующей с газовой средой. Предполагается, что частоты возбуждения находятся в ультразвуковом диапазоне, толщина пластины мала и ее отношение к длине полуволны составляет не более одной пятой. Строится простейшая модель, основанная на теории Тимошенко изгиба пластины и на первом приближении реакции со стороны акустической среды. Изучается динамика пластины конечной и полубесконечной протяженности, оценивается порядок величин входных безразмерных параметров. На основании этого производится упрощение соотношений модели Тимошенко, что позволяет получить обозримые результаты. Дается сравнение решений по моделям Тимошенко и Кирхгоффа.

Filippenko G.V. «Energy aspects of axisymmetric wave propagation in an infinite cylindrical shell fully submerged in liquid» Вычислительная механика сплошных сред, 6, № 2, с. 187-190 (2013)

The paper is devoted to modeling joint vibrations of an ideal acoustic liquid and an infinite thin empty cylindrical shell. The problem of free oscillations of the shell in the liquid space is considered in a rigorous mathematical statement. The propagating waves and energy flux in this system are analyzed. The influence of parameters of the system on vibration and acoustic fields is considered. A comparison is carried out to study the contributions of different energy transfer mechanisms in the shell and the contribution of energy propagating in the liquid to the general energy flux.

Алабужев А.А. «Поведение цилиндрического пузырька под действием вибраций» Вычислительная механика сплошных сред, 7, № 2, с. 151-161 (2014)

Рассматриваются собственные и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью со свободной внешней недеформируемой поверхностью – поверхностью, на которой мало поверхностное натяжение и его можно не принимать во внимание. Пузырек ограничен в осевом направлении двумя параллельными твердыми плоскостями. На систему действует внешнее однородное пульсационное поле давления. Динамика контактной линии учитывается с помощью эффективного граничного условия: скорость движения контактной линии предполагается пропорциональной отклонению краевого угла от равновесного значения, равного 90°. Изучена осесимметричная мода собственных колебаний; исследована зависимость частот и декрементов затухания от параметров задачи. Показано существование «антирезонансных» частот, то есть таких значений внешних частот, при которых поверхность пузырька не отклоняется от равновесного состояния.

Серёгин С.В. «Численное и аналитическое исследование свободных колебаний круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединенную массу, линейно распределенную вдоль образующей» Вычислительная механика сплошных сред, 7, № 4, с. 378-384 (2014)

В рамках теории пологих оболочек изучается влияние линейно и равномерно распределенной вдоль образующей присоединенной массы на частоты и формы свободных колебаний тонкой оболочки. Предлагается уточнение математической модели, согласно которому считается, что уже в линейной постановке возбуждение изгибных колебаний оболочки по одной из собственных форм приводит не только к возникновению сопряженной изгибной формы, но и к возникновению радиальных колебаний. Механизмом, «запускающим» взаимодействие изгибных колебаний с радиальными, является малая присоединенная масса. Решение краевой задачи строится методом Бубнова-Галёркина. Полученная система динамических уравнений показывает, что присоединенная масса приводит к связанности низкочастотных изгибных колебаний и высокочастотных радиальных колебаний оболочки. При этом радиальные колебания выступают в качестве дополнительной инерционной связи между сопряженными изгибными формами. Обнаружено более сильное расщепление изгибного частотного спектра, обусловленное не только влиянием присоединенной массы, но и значениями параметров волнообразования, зависящих от относительных геометрических размеров оболочки. Установлены диапазоны относительных длин и толщин, при которых взаимодействием изгибных и радиальных колебаний можно пренебречь. Полученные теоретические результаты сопоставляются с численным решением, выполненным методом конечных элементов из программного комплекса MSC «Nastran».

Филиппенко Г.В. «Изгибные волны в балке с периодически расположенными точечными массами» Вычислительная механика сплошных сред, 8, № 2, с. 153-163 (2015)

Предметом исследования в данной работе являются стационарные колебания упругой бесконечной одномерной балки (балки Бернулли–Эйлера), нагруженной периодической системой точечных масс. Поведение всех процессов во времени предполагается гармоническим. Рассматривается как бесконечная балка, так и ее изолированная ячейка периодичности. Задача решается в строгой математической постановке. Получено точное аналитическое представление для потока энергии в бесконечной периодической системе. Исследуется асимптотика границ полос пропускания и запирания, а также потока энергии в бесконечной периодической системе в зависимости от роста массы точечных инерционных включений и частоты колебаний. Анализируется эффект относительного ослабления потока энергии в первой зоне пропускания с увеличением массы точечных включений. Рассматриваются характер и «степень неоднородности» волнового процесса в балке в зависимости от расположения соответствующего волнового числа относительно границ зон пропускания. Эффект изучается на примере колебаний, которые соответствуют различным полосам пропускания и запирания системы. Обсуждаются свободные колебания в изолированной ячейке периодичности в случае ее несимметрии и прослеживается связь краевых эффектов с параметрами задачи. Анализируется расположение точечных масс относительно узлов и псевдоузлов стоячей и бегущей волн в бесконечной системе, и относительно узлов стоячей волны в изолированной ячейке периодичности, в зависимости от параметров задачи. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании и конструировании периодических структур с заранее заданным расположением собственных частот (внутри полос пропускания или запирания), а также для анализа краевых эффектов в них. С этой целью необходимо учитывать свойства симметрии ячейки, а также осуществлять подбор граничных условий.

Ализаде А.Н. «О потери устойчивости стержня, находящегося в упругой среде и контактирующего с жестким основанием» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 1, с. 32-35 (2005)

Исследуется поведение горизонтального тяжелого стержня, сжатого продольной силой, находящегося в упругой среде и равноудаленного от горизонтальной поверхности. Показано, что при некоторых значениях параметров задачи возможно существование двух форм равновесия стержня, т.е. потери устойчивости.

Ерофеев В.И., Лисенкова Е.Е., Семерикова Н.П. «Дисперсионные зависимости и самомодуляция изгибных волн в балке Тимошенко, лежащей на упругом основании» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 4, с. 27-31 (2006)

Исследуются дисперсионные свойства балки модели Тимошенко, лежащей на упругом основании, в зависимости от параметров системы. Показано, что при определенных соотношениях между ними частота, начиная с которой в балке возбуждаются волны, уменьшается. Учет нелинейности упругого основания приводит к самомодуляции волны и генерации высших гармоник. Установлено, что эффект самовоздействия волны будет преобладать над эффектом генерации, в результате чего исследование исходного нелинейного уравнения сведется к исследованию уравнения Шредингера.

Гуськов А.М., Пановко Г.Я. «Вибрационная стабилизация вертикальной оси гибкого стержня» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 5, с. 13-19 (2006)

Исследуются параметрические колебания вертикально установленного однородного упругого стержня постоянного поперечного сечения с консольным закреплением одного из своих концов. Рассматривается гибкий стержень, который в статических условиях только под действием равномерно распределенной по длине силы тяжести теряет устойчивость. Устанавливаются возможность и условия стабилизации прямолинейной формы оси стержня при вертикальных колебаниях основания.

Асташев В.К., Пичугин К.А. «Резонансная настройка и оптимизация параметров ультразвуковой стержневой системы с пьезокерамическим возбудителем колебаний» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 5, с. 5-11 (2013)

Исследована динамика ультразвуковой стержневой системы с пьезокерамическим возбудителем колебаний. На основе анализа уравнений колебаний электромеханической системы рассмотрены способы резонансной настройки. Выявлены основные особенности конструкций и поведения системы в резонансных режимах. Найдены пути выбора оптимальных параметров системы, при которых амплитуда колебаний рабочего элемента системы максимальна.

Мочалин А.А. «Устойчивость цилиндрической оболочки переменной толщины от неравномерной радиальной нагрузки» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 1, с. 12-17 (2014)

На базе полубезмоментной теории В.З. Власова рассматривается задача об устойчивости цилиндрической изотропной оболочки переменной вдоль образующей толщины при действии осесимметричного изменяющегося вдоль оси оболочки радиального давления. При одном соотношении изменения толщины и давления получено точное решение для нахождения одной из величин в законе изменения давления, при которой происходит потеря устойчивости оболочки.

Фирсанов В.В., Чан Н.Д. «Свободные колебания произвольных оболочек на основе неклассической теории» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 5, с. 21-29 (2014)

На основе трехмерных уравнений теории упругости и вариационного принципа Лагранжа с помощью разложения перемещений по нормальной к срединной поверхности координате построены двумерные уравнения динамики теории произвольных оболочек и соответствующие граничные условия, позволяющие учитывать поперечные сдвиг и обжатие оболочки. Рассматриваются собственные колебания круговой цилиндрической оболочки. Собственные частоты колебаний определяются методом Бубнова–Галеркина. Анализируется влияние различных типов краевых условий и геометрических параметров оболочки на величину собственных частот. Приводится сравнение результатов расчетов с разными вариантами классической теории оболочек, а также трехмерной теории упругости.

Мочалин А.А. «Моделирование собственных колебаний изотропной цилиндрической оболочки переменной толщины и плотности» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 5, с. 48-53 (2015)

На базе полубезмоментной теории В.З. Власова рассматривается задача об определении собственных частот колебаний цилиндрической изотропной оболочки переменной вдоль образующей толщины и плотности. При одном соотношении изменения толщины и плотности получено точное решение для нахождения частоты основного тона колебаний цилиндрической оболочки, имеющей вдоль образующей переменную толщину и плотность. В настоящей статье исследуются собственные несимметричные колебания изотропной цилиндрической оболочки переменной толщины и плотности. Примером могут служить оболочки, полученные из абсолютно спаянных между собой металлических колец различной толщины и плотности, а также оболочки, изготовленные из пористых металлов.

Селезов И.Т. «О развитии теории Тимошенко поперечных колебаний упругих стержней» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 1, с. 16-23 (2016)

Представлены ключевые этапы развития обобщенных динамических теорий из- гибных колебаний стержней, пластин и оболочек, основанных на сдвиговой модели выдающегося отечественного ученого С.П. Тимошенко, предложенной в 1921 г. Приведено математическое построение уравнений теории пластин, полученных как гиперболические аппроксимации задачи эластодинамики для слоя, и определено аналитическое выражение коэффициента сдвига. Отмечаются некоторые современные исследования. В качестве примера исследуется распространение волн вдоль упруго защемленной полосы.

Крупенин В.Л. «Вибрация струны, расположенной между протяженным и точечным ограничителями» Проблемы машиностроения и надежности машин, № 2, с. 13-22 (2017)

Рассмотрена струна, совершающая плоские колебания и находящаяся между двумя ограничителями хода: прямой протяженной стенкой и точечным препятствием. Модель виброударной системы с распределенными ударными элементами изучается в рамках консервативной модели, а затем – в предположении действия автоколебательного механизма возбуждения. Рассмотрена схема исследования резонансных процессов при воздействии периодических вынуждающих факторов. Показана роль стоячих волн – “хлопок”. Описываются динамические эффекты. Предложены расчетные схемы струнных систем для применения в конструировании датчиков, измерительных устройств, объектов, моделируемых посредством абсолютно гибких стержней, находящихся в набегающих потоках жидкости или газа.

Литвинов В.Л., Анисимов В.Н. «Поперечные колебания вязкоупругой балки переменной длины на упругом основании с учетом действия сил сопротивления среды» Вестник научно-технического развития, № 3, с. 15-21 (2017)

Используя метод Канторовича–Галеркина находится приближенное решение задачи о поперечных колебаниях вязкоупругой балки с движущейся границей, лежащей на упругом основании. Зависимость силы сопротивления движению балки принимается пропорциональной ее скорости. Учитывается изгибная жесткость балки. Приводятся результаты, полученные для амплитуды колебаний, соответствующих n-ной динамической моде. Исследуется явление установившегося резонанса и прохождения через резонанс. Решение получено для наиболее распространенного на практике случая, когда внешние возмущения действуют на движущейся границе.

Тактаров Н.Г., Кормилицин А.А., Лемясева Н.А. «Поперечные волны в вязкой жидкости, вызванные вращательным колебательным движением пористого шара» Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки, № 4, с. 3-13 (2016)

Изучение движения жидкостей через пористые материалы представляет значительный интерес для исследования природных явлений, а также технологических процессов. В статье рассматривается движение вязкой жидкости, вызванное вращательным колебательным движением пористого шара в жидкости, помещенной в концентрическую с шаром непроницаемую сферическую оболочку. Материалы и методы. Для решения задачи используются методы математической физики и векторного анализа. Задача решается в сферической системе координат с началом в центре шара. Для построения графиков использованы численные методы. Результаты. Определено движение вязкой жидкости внутри и вне пористого шара. Получены точные аналитические решения нестационарного уравнения Бринкмана в области внутри шара и уравнения Навье–Стокса – вне шара. Выводы. Показано существование внутренних поперечных волн в жидкости, в которых скорость перпендикулярна направлению распространения волны. Внутри шара скорость жидкости изменяется от нуля в центре до некоторого значения на его поверхности. А вне шара скорость изменяется до нуля при удалении от его поверхности. На поверхности шара скорость непрерывна.

Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки (1956). 419 с.

В книге рассматриваются тонкие пластинки и оболочки, упругие прогибы которых сравнимы с их толщиной, но малы по сравнению с основными размерами и содержатся теоретические и экспериментальные данные, полученные автором в период с 1941 по 1955 г. Первая часть книги (главы 1–4) посвящена гибким пластинкам. Рассмотрены задача о больших прогибах прямоугольной и круглой пластинок при поперечной нагрузке, а также вопросы устойчивости и закритической деформации этих пластинок. Вторая часть книги (главы 5–10) посвящена гибким оболочкам. Рассмотрены задача о больших прогибах пологих оболочек при поперечной нагрузке и вопросы устойчивости цилиндрических панелей, замкнутых цилиндрических оболочек и сферических оболочек. Последняя 11 глава книги содержит очерк развития теории гибких пластинок и оболочек.

Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. 2-е изд., переработ. и доп. (1967). 984 с.

Классическая книга по устойчивости упругих систем. Подробно рассматривается устойчивость стержней, пластин и оболочек. Разделы: Устойчивость сжатых стержней в пределах упругости Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости Более сложные задачи устойчивости стержней Устойчивость стержневых систем Тонкостенные стержни. Устойчивость плоской формы изгиба. Влияние температуры. Продольный изгиб при ползучести. Устойчивость стержней при динамическом нагружении. Упругие волны и устойчивость. Устойчивость прямоугольных пластинок в пределах упругости. Устойчивость прямоугольных пластинок за пределами упругости. Круглые пластинки. Общие сведения об оболочках. Устойчивость цилиндрических оболочек в пределах упругости. Устойчивость цилиндрических оболочек за пределами упругости. Конические оболочки. Сферическае оболочки. Тороидальные оболочки. Устойчивость пологих оболочек при действии поперечной нагрузки. Устойчивость трехслойных пластинок и оболочек. Пластинки и оболочки при высоких температурах . Устойчивость пластинок и оболочек при динамическом нагружении.. Устойчивость пластинок и оболочек при ударе. Некоторые задачи гидроупругости. Некоторые задачи аэроупругости. Применение статистических методов. Приложение теории случайных процессов. Общие критерии устойчивости упругих систем.