Рувинская Е.А., Куркина О.Е., Куркин А.А. «Численное исследование сценариев трансформации длинных внутренних гравитационных волн на реалистичных стратифицированных шельфах» 52 школа-конференция "Актуальные проблемы механики" памяти Н.Ф. Морозова. Тезисы докладов конференции. Санкт-Петербург, 23–27 июня 2025 года, с. 180-181 (2025)

Носиков И.А., Толченников А.А., Клименко М.В. «Краевая задача о расчете лучевых характеристик океанических волн, отраженных от береговой линии» Журнал вычислительной математики и математической физики, 64, № 3, с. 534-536 (2024)

Рассматривается вариационный способ решения задачи об отражении лучевых характеристик длинных океанических волн от береговой линии с заданными положениями источника и точки регистрации волны. Показано, что исходная краевая задача может быть сведена к расчету стационарных точек функционала времени распространения волны вдоль луча. Информация о целевой функции в области решений траекторной задачи позволяет построить систематическую процедуру поиска минимумов, седловых точек и максимумов. Особенностью предложенного подхода является оптимизация точки отражения луча вдоль заданной береговой линии.

Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Носиков И.А., Толченников А.А. «Асимптотики длинных волн, порожденных гармоническими по времени пространственно локализованными источниками, в бассейнах с пологими берегами» Журнал вычислительной математики и математической физики, 65, № 5, с. 625-640 (2025)

Для нелинейной и линеаризованной систем уравнений мелкой воды в бассейне с неровным дном и пологими берегами рассматривается задача о коротковолновых асимптотических решениях, описывающих волны, возбуждаемые гармоническим по времени пространственно локализованными источником. В линейном приближении такие асимптотические решения по существу выражаются через решения уравнения Гельмгольца, и задача их построения близка к задаче об асимптотике функции Грина. Мы используем недавно развитый подход, основанный на каноническом операторе Маслова и позволяющий находить глобальное асимптотическое решение линеаризованной задачи в любой наперед заданной области с учетом каустик и фокальных точек, а также вариационный принцип Ферма, который в сочетании с каноническом оператором дает возможность построить такое асимптотическое решение локально, то есть в окрестности заданной точки наблюдения. Линеаризованная задача рассматривается в фиксированной области, которая ограничена береговой линией, соответствующей жидкости в состоянии покоя. На этой линии уравнения вырождаются; соответственно корректная постановка задачи не требует (и не допускает) классических граничных условий, вместо них используется условие конечности интеграла энергии. С точки зрения асимптотической теории береговая линия представляет собой “нестандартную” каустику, в окрестности которой асимптотическое решение линеаризованной задачи выражается через модифицированный канонический оператор. Для исходной нелинейной системы рассматривается задача со свободной границей – положение береговой линии зависит от возвышения свободной поверхности. Согласно недавно развитому подходу, основанному на модифицированном преобразовании Кэрриера–Гринспена, асимптотическое решение нелинейной системы выражается через решение линеаризованной системы в виде параметрически заданных функций. Полученные формулы, в частности, описывают эффекты набега волн на берег.

Калашник М.В. «Приспособление вихревых движений мелкой воды к состоянию циклострофического баланса» Известия РАН. Механика жидкости и газа, № 5, с. 125-133 (2025)

В рамках теории мелкой воды исследован процесс установления состояний циклострофического баланса – баланса между градиентом давления и центробежной силой. Для исследования процесса установления (или приспособления) рассмотрена задача Коши для возмущений с несбалансированным начальным состоянием в форме осесимметричного вихря. Решение линейной задачи представлено суммой стационарного (сбалансированного) и нестационарного (волнового) компонентов. При этом стационарный компонент находится с использованием закона сохранения потенциальной завихренности. Волновой компонент, находится с использованием преобразования Фурье–Бесселя. Этот компонент описывает гравитационные волны, возбуждаемые в процессе приспособления к циклострофическому балансу. С течением времени волновой компонент рассеивается в пространстве и в решении остается только сбалансированная часть. Процесс циклострофического приспособления, таким образом, является важным источником генерации поверхностных гравитационных волн.

Ляпидевский В.Ю., Чесноков А.А. «Обрушение уединенных внутренних волн в трехслойной жидкости над препятствием» Журнал вычислительной математики и математической физики, 65, № 5, с. 673-685 (2025)

Модель трехслойной мелкой воды в приближении Буссинеска, учитывающая эффекты нелинейности, дисперсии и перемешивания, применена для описания распространения и обрушения внутренних волн большой амплитуды при взаимодействии с неровным рельефом дна. Предложенные уравнения движения допускают численную реализацию, основанную на применении метода Годунова с дополнительным обращением эллиптического оператора на каждом шаге по времени. Построены стационарные решения в форме уединенных волн первой моды. Выполнено моделирование процессов перемешивания при обрушении уединенных внутренних волн вследствие их взаимодействия с одиночным или комбинированным препятствием. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с известными экспериментальными данными и прямым численным моделированием.